Trên nửa mặt phẳng có bờ lμ đường thẳng AB, kẻ tia Ax, By cùng vuông góc với AB.. Trên tia Ax lấy điểm I IA.. Đường thẳng vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K ; đường tròn đường kính
Trang 1Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoỏ
Thanh Hóa Năm học 2011 - 2012
Môn : Toán (dùng chung cho tất cả thí sinh)
Thời gian lμm bμi 120 phút không kể thời gian phát đề
Ngμy thi: 18 tháng 6 năm 2011
Câu1 (2 điểm) Cho biểu thức A
3
3 2 1
2 3 3 2
11 15
x
x x
x x
x x
1.Rút gọn biểu thức A (với x 0,x 1)
2 Chứng minh rằng A
3 2
Câu 2(2 điểm)
Cho parabol (P): 2
2
1
x
y vμ đường thẳng (d): y= mx –m +2 (với m lμ tham số)
1 Tìm m để (d) cắt (P ) tại điểm có hoμnh độ x=4
2 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Câu 3 : (2 điểm)
1 Giải hệ phương trình :
19 2 5
12 3 2
y x
y x
2 Giải phương trình 6 2
9
3
x
x x
Câu 4: (3 điểm) Gọi C lμ một điểm nằm trên đoạn thẳng AB ( C ,A CB) Trên nửa mặt phẳng có bờ lμ đường thẳng AB, kẻ tia Ax, By cùng vuông góc với AB Trên tia Ax lấy
điểm I (IA) Đường thẳng vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K ; đường tròn đường kính IC cắt IK tại P
1.Chứng minh rằng:
a) Tứ giác CPKB nội tiếp được trong đường tròn Xác định tâm của đường tròn đó
b)Tam giác ABP lμ tam giác vuông
2 Cho A, I, B cố định Tìm vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB sao cho tứ giác ABKI có diện tích lớn nhất
Câu 5: (1 điểm)Cho a, b, c lμ ba số thực dương thỏa mãn a+b+c = 2 Tính giá trị lớn nhất
của biểu thức: P=
b ca
ca a
bc
bc c
ab
ab
2 2
-Hết -
(cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ vμ tên thí sinh……… Số báo danh………
Chữ ký của giám thị số 1: ……… chữ ký của giám thị số 2………
Đề CHíNH THứC
Trang 2Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoá
§¸p ¸n C©u1 : Rút gọn biÓu thøc A
3
3 2 1
2 3 3 2
11 15
x
x x
x x
x x
A=
3
3 2 1
2 3 ) 3 )(
1
(
11 15
x
x x
x x
x
x
=
) 3 )(
1 (
) 1 )(
3 2 ( ) 3 )(
2 3 ( 11 15
x x
x x
x x
x
A=
) 3 )(
1 (
3 3 2 2 6 2 9 3 11
15
x x
x x x x
x x x
=
) 3 )(
1 (
5 2 7
x x
x x
) 3 )(
1 (
) 5 2 )(
1 (
x x
x x
A=
)
3
(
)
5
2
(
x
x
2- với A
3
2 ta có
) 3 (
) 5 2 (
x
x 3
2
nên
3
2-
) 3 (
) 5 2 (
x
x 0
) 3 (
3
) 5 2 (
3 ) 3 ( 2
x
x
) 3 (
3
15 6 6
2
x
x x
0
) 3 (
3
17
x
x
0 là đúng vì x 0 nên 17 x 0 và 3.( x+3) > 0
vậy A
3
2
được chứng minh
C©u 5-a)V× a + b+ c = 2 2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c2+ ab = (ca+ c2)+( bc + ab) = c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b) 2c+ab = (c+a)(c+b)
vì a ; b ; c > 0 nên 1 0
c
c
b áp dụng cosi ta có
c
a
1
c
b 1 2
) )(
(
1
c b c
a dấu (=) khi
c
a
1
c
b
1
a + c = b + c a = b
2
1 ) )(
(
1
b c a c b
c a
ab a c
ab b
c a c
ab ab
c
ab
2
1 ) (
bc b a
cb a
bc
bc
2
1
ca b c
ca ca
b
ac
2
1
cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) ta có
: P=
b ca
ca a
bc
bc c
ab
ab
2 2
1
(
b c
ab a c
ab
cb a b
cb
ac a b
ac
P
2
1
ab
ac b a
cb b
c
ac c b
ab a
c
cb a c
ab
( ) (
)
2
1
b a
a b c c b
c b a a c
b c
(
P=
b ca
ca a
bc
bc c
ab
ab
2 2
2
1 2
min P = 1 khi a = b = c =
3 2
2
1
x
y vμ ®−êng th¼ng (d): y= mx –m +2 (víi m lμ tham sè)
Trang 3Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoỏ
y
P
x
K
C
I
O
O'
4 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Giải :
a) toạ độ giao điểm của parabol (P): 2
2
1
x
y vμ đường thẳng (d): y= mx –m +2
là nghiệm của hệ
2 2
1 2
m x m y
x
y phương trỡnh hoành độ giao điểm là :
2
2
1x2 m xm vi (d) cắt (P ) tại điểm có hoμnh độ x=4 thay vào ta cú :
8 = 4m - m +2 3m = 6 m = 2 vậy thỡ (d) cắt (P ) tại điểm có hoμnh độ x=4 b) để (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi hệ
2 2
1 2
m x m y
x y
2
1 2
m x m
x x2 -2mx +2m - 4 = 0 cú 2 nghiệm phõn biệt > 0
mà = 4m2 -4(2m - 4 ) = 4m2 -8m + 16 = (2m)2 – 2.2m.2+ 4+12 = ( 2m – 2)2 + 12 > 0 với mọi giỏ trị của m Vậy với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Câu 3 : 1- Giải hệ phương trỡnh :
19 2 5
12 3 2
y x
y x
Đặt a =
y
1 và b =
x
1 ta cú hệ
19 2 5
12 3 2
a b
a b
57 6 15
24 6 4
a b
a b
33 11
12 3 2
b
a b
3
12
3
2
b
a
b
3
2
b
a
y
1 =2 y =
2 1
và
x
1= 3 x =
3
1 vậy nghiệm của hệ
2 1 3 1
y x
2-Giải phương trình 6 2
9
3
x
x
x điều kiện x >3 hoặc x <-3
ta thấy x = 0 khụng phải là nghiệm ư
nờn
x x
2 6 9
3
1
9
3
x
9
3
2
x
Câu 4: 1.Chứng minh rằng:
a) Tứ giác CPKB nội tiếp được trong đường tròn Xác định
tâm của đường tròn đó
Xột đường trũn tõm O đường kớnh IC ta cú P(O)
Nờn I ˆ P C = 900 do đú K ˆ P C = 900 ( kề bự với
C
P
K ˆ = 900 )
theo bài ra ta cú By AB mà K By ; C AB
C
B
K ˆ = 900 K ˆ P C + K ˆ B C= 1800 mà K ˆ B C và K ˆ P C
Trang 4Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoỏ
nờn KC là đường kớnh
b)Tam giác ABP lμ tam giác vuông
Xột ( O ;
2
IC) ta cú P Aˆ C C IˆP ( nội tếp cựng chắn cung PC ) (1)
Xột ( O’ ;
2
KC ) ta cú P Kˆ C P BˆC ( nội tếp cựng chắn cung PC ) (2)
Theo bài ra thỡ IC KC tại C nờn I ˆ C K = 1V nờn C Iˆ P C KˆI = 1V (3) thay (1) ; (2) vào (3) ta cú P ˆ A C + P ˆ B C = 1V vậy Tam giác ABP lμ tam giác vuông.tại P
2-Cho A, I, B cố định Tìm vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB sao cho tứ giác ABKI có diện tích lớn nhất Ta cú tứ giỏc ABKI cú AI//BK ( cựng AB) và Bˆ = 1V nờn ABKI
là hỡnh thang vuụng nhận AI và BK là hai đỏy và AB là đường cao
SABKI =
2
1(AI+ BK) AB mà A ; B ; I cố đinh nờn AI ; AB khụng đổi nờn để SABKI đạt Max khi BK đạt Max BK =AI lỳc bấy giờ (O) và (O’) bằng nhau nờn CI = CK
CIK cõn CP và đường cao nờn PI = PK
mà PC // BK ( cựng vuụng gúc AB) nờn PC là đường trung bỡnh của hỡnh thang ABKI nờn C là trung điểm của AB