Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau... ĐÁP ÁN2 Xác định các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là số nguyên... Tìm hệ thức liên hệ giữa b
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN
TRƯỜNG THPT TRẦN SUYỀN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10
NĂM HỌC 2012- 2013
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (2 điểm)
1) Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: m 2x - 6= 4x + 3m
2) Xác định các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là số
nguyên
Câu II (2 điểm)
1) Chứng minh rằng:
sin3x = 3sinx – 4sin3x
2) Giải và biện luận (theo tham số m) bất phương trình: ( 1) 2
1 2
m x
< +
Câu III (3 điểm)
1) Giải các bất phương trình : 2
2 3
2 2
2
>
+ + x x x
2) Tìm m để biểu thức sau luôn dương :
f(x) = 2x2 − (m+ 2 )x+ 3m
3) Giải hệ phương trình 7 2 5
Câu IV (2 điểm)
1) Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và · BAC=60 0 Các điểm M, N được xác
định bởi MCuuur= −2MBuuur và uuurNB= −2uuurNA Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN
vuông góc với nhau
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ABC có A(1;3), B(2;-4) và C(0;6)
a) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao BH b) Tính diện tích của ∆ABC
Câu V (1 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 +y2 − 2x+ 2y− 23 0 = Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(7 ; 3) và cắt (C) tại hai điểm B, C sao cho AB = 3AC
-HẾT -Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:
Trang 2ĐÁP ÁN
2) Xác định các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là số nguyên. 2 đ
I.1
(1đ)
Tập xác định của PT là ¡
PT ⇔ (m 2 - 4)x = 3m + 6
⇔(m - 2 m + 2 x = 3 m + 2) ( ) ( )
Khi m -2 m 2 ≠ ∧ ≠ thì PT có nghiệm duy nhất x = 3
m - 2 Khi m = 2 thì phương trình trở thành 0x = 12 nên vô nghiệm
Khi m = -2 thì phương trình trở thành 0x = 0 nên có nghiệm tuỳ ý
I.2
(1đ)
Khi m -2 m 2 ≠ ∧ ≠ thì PT có nghiệm duy nhất x = 3
m - 2
3
m - 2 ∈ ⇔ ¢
m - 2 = -1; 1; - 3; 3
Vậy các giá trị của m thỏa mãn ycbt : m = -1, m = 1, m = 3, m = 5
CâuII
1) Chứng minh rằng:
Sin3x = 3sinx – 4sin3x
2) Giải và biện luận (theo tham số m) bất phương trình: ( 1) 2
1 2
m x
− +
< +
II.1
(1,00đ)
Sin( x + 2x) =sinx.cos2x + sin2x.cosx
0,25
II.2
(1,00đ)
BPT ⇔ ( 1)( 2) (1 ) 2 0
2
x
+ − + − − >
0 2
x
− + >
Nếu m > 0 thì m + 2 > 2 nên BPT nghiệm đúng với mọi x∈ −∞ ( ;2) ( ∪ m+ +∞ 2; ) 0,25
Nếu m < 0 thì m + 2 < 2 nên BPT nghiệm đúng với mọi x∈ −∞ + ∪ ( ;m 2) (2; +∞ ) 0,25
Câu III
1) Giải các bất phương trình : 2
2 3
2 2
2
>
+ + x x x
2) Tìm m để biểu thức sau luôn dương :
f(x) = 2x2 − (m+ 2 )x+ 3m
3) Giải hệ phương trình 7 2 5
3 đ
III.1,2
0,5
Trang 3+Kết luận nghiệm 0,25 +Chỉ ra được ∆ < 0
+Giải được
0,25
III.3
(1,25đ)
x y
x y
+ ≥
+ ≥
= + ≥
= + ≥
2 2
7 2
= +
= +
2 2
5
5
0,25 HPT trở thành: 2 25 2 2
u v
+ =
− − + + =
5
u v
+ =
− + − =
= −
− − + − =
5
= −
− − + =
5
5 14 0 (*)
= −
+ − =
(*) ⇔ v = 2 (nhận) hoặc v = − 7 (loại) ; nên HPT trên ⇔ 3
2
u v
=
=
Do đó HPT đã cho trở thành 7 9 1
+ = =
Câu IV
1)Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và · BAC=60 0 Các điểm M, N được xác
định bởi MCuuur= −2MBuuur và NBuuur= −2uuurNA Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và
CN vuông góc với nhau.
2)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ABC có A(1;3), B(2;-4) và C(0;6)
a) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao BH
IV.1
(1đ)
Ta có: MCuuuur= − 2MBuuur⇔uuur uuuurAC AM− = − 2(uuur uuuurAB AM− ) ⇔ 3uuuurAM = 2uuur uuurAB AC+ 0,50
⇔ (2uuur uuur uuurAB AC AB+ )( − 3uuurAC) 0 = ⇔ 2AB2 − 3AC2 − 5uuur uuurAB AC = 0 0,25
⇔ 2 2 3 2 5 0
2
bc
c − b − = ⇔ 4c2 − 6b2 − 5bc= 0
0,25
IV.2
(1đ)
* Pt đường cao AH: AH ⊥ BC nên nhận BCuuur làm vtpt
0,25
Đường cao AH đi qua A(1;3) có vtpt BCuuur =(-2;10) nên có pttq:
Độ dài đường cao AH của tam giác chính là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC Ta
có:
2
( ; )
13 26
+ ;BC=2 26 Suy ra S = 2 (đvdt)
0,5
Câu V
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 +y2 − 2x+ 2y− 23 0 = Viết
phương trình đường thẳng đi qua điểm A(7 ; 3) và cắt (C) tại hai điểm B, C sao
Trang 4(1,00đ)
52 5
AI = > ⇒ A nằm ngoài (C) Gọi H là trung điểm của BC.
Khi đó HB HC= =AC và IH ⊥BC Từ các ∆ vuông IHB và IHA ta có
= −
2 2
3
0,25
Đt ∆ đi qua A(7 ;3) và có VTPT nr(a ; b), a2 +b2 ≠ 0 có pt
2 2
a x− +b y− = d I ∆ = ⇔ a+ b = a +b
5
0,25 Với a = 0, chọn b = 1 ta được : ∆ y− = 3 0
5
a= − b, chọn b = 5 ta được a = -12 Pt : 12 ∆ − x+ 5y+ 69 0 =
I
0,25