ĐÊ THI THU ĐH-2013

1 điểm Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của

A> PHẦN CHUNG:( 7 điểm).

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y= f x( )=x4−2x2.(C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

2 Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là a và b.Tìm điều

kiện đối với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau

Câu II (1 điểm) Giải phương trình : 4 4 1 2

sin cos cos 2 sin 2 0 (1)

4

x+ x− x+ x=

Câu III (1 điểm) Giải hệ phương trình:







Câu IV (1 điểm) Tính tích phân :

4 1

3

2

x x

x

−

Câu V (1 điểm) Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B

nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 450 Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ

Câu VI (1 điểm) Cho , ,a b c là những số dương thỏa mãn: a2+ + =b2 c2 3

Chứng minh bất đẳng thức:

a b b c c a+ + ≥ a +b +c

B>PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2)

1 Theo chương trình chuẩn.

Câu VII.a (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng ∆ định bởi:

2 2

( ) :C x +y −4x−2y=0; ∆ +:x 2y− =12 0.Tìm điểm M trên ∆ sao cho từ M vẽ được với (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 600

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2;1;0), B(1;1;3), C(2;-1;3), D(1;-1;0) Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Câu VIII.a(1điểm) Tìm số phức z thỏa mãn z 1 1

z i+ = + và z− +2 2i =2 2.

2 Theo chương trình nâng cao.

Câu VII.b(2 điểm)

1 Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 8x + 6y + 21 = 0 và đường thẳng d: x+y−1=0 Xác định tọa

độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A ∈ d

2 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho 3 điểm A(2;0;0), C(0; 4; 0), S(0; 0; 4) Tìm tọa độ điểm B thuộc mặt phẳng (0xy) sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật.Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, B, C, S

Câu VIII.b(1điểm).

Xét số phức z thỏa mãn điều kiện: 2z− − =6i 2 0,tìm giá trị nhỏ nhất của z

-Hết -Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh: ………

TRƯỜNG THPT TRẦN SUYỀN

-ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN – Khối A,A1,B,D

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

ĐÁP ÁN

ĐỀ THI THỬ TOÁN LẦN I – KHỐI AA1,B,D – NĂM 2013

(Biểu điểm gồm 06 trang)

+ Sự biến thiên

• Giới hạn: limx→−∞y= +∞; limx→+∞y= +∞

1

x

x

=



• Bảng biến thiên

y = y − = − y = y = − yC§ = y =

0,25

• Đồ thị

0,25

2 Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là a và b.Tìm điều

kiện đối với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau

1,00

Ta có f x'( ) 4= x3−4x Gọi a, b lần lượt là hoành độ của A và B

Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là

k = f a = a − a k = f b = b − b

Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là:

y= f a x a− + f a = f a x f a+ − ;

y= f b x b− + f b = f b x f b+ −b

0,25

( ) ( )

A B

k =k ⇔ − − b⇔ a b a− +ab b+ − =

Vì A và B phân biệt nên a b≠ , do đó (1) tương đương với phương trình:

a +ab b+ − =

0,25

Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a b

Giải hệ này ta được nghiệm là (a;b) = (-1;1), hoặc (a;b) = (1;-1), hai nghiệm này

tương ứng với cùng một cặp điểm trên đồ thị là (− −1; 1) và (1; 1− )

Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau

là

1

a ab b a

a b

 ≠ ±



 ≠



0,5

II

sin cos cos 2 sin 2 0 (1)

4

+Ta có: sin4 os4 (sin x cos )2 2 2 2sin os2 2 1 1sin 22

2

x c+ x= + x − x c x= − x 0,25

(1) (1 sin 2 ) os2 sin 2 0

2

os 2 4cos 2 3 0

cos 2x 1

III

Giải hệ phương trình:







1,00

Hệ phương trình tương đương :

2

x y x y







Điều kiện: x+y≥0, x-y≥0

0,25

Đặt: u x y

v x y

= +



 = −

0,25

3 (2) 2

u v uv

u v uv

uv





Thế (1) vào (2)

ta có: uv+8 uv+ −9 uv= ⇔3 uv+8 uv+ = +9 (3 uv)2 ⇔uv=0

0,25

Kết hợp (1) ta có: 0 4, 0

4

uv

u v

u v

=

 + =

 (vỡ u>v) Từ đó ta có:

x =2; y =2.(Thỏa đ/k)

KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2).

0,25

IV

1điểm

x

x dx

x

x x

−

=

∫ −

3

1 3

3 2 1

3

1 4

x dt t x

t x

2

3 3

2

2 3

1

1 1

x

3 2

3

−

=

Khi đó:

dt

t dx

x

x

2 3 1

1

3 3

3 2

−

=

3

1

=

⇒

=

=

⇒

8

3 2

0

2 0

4

3

=

= t dt t

CD Khi đó OM ⊥AB và O N' ⊥CD Giả sử I là giao điểm của MN và OO’

Đặt R = OA và h = OO’ Khi đó:

OM

I

∆ vuông cân tại O vì góc (IM0) = 450 nên:

OM =OI = IM ⇒ = ⇒ =h a

0,25

Ta có:

2

R OA AM MO    

và

2

2 2

xq

0,25

VI

a b b c c a+ + ≥a +b +c

1,00

x y

Áp dụng bất đẳng thức 1 1 4 .(x 0,y 0)

x+ ≥y x y > >

+

0,25

.Tacó:

a b b c+ ≥ a b c b c c a+ ≥a b c c a a b+ ≥

Ta lại có:

2 2 2

a b c a b c a

2b c a ≥b 7 2c a b ≥c 7

0,25

a b b c c a+ + ≥ a +b +c

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

0,25

B PHẦN RIÊNG ( 3 ĐIỂM)

VIIa 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng ∆ định

( ) :C x +y −4x−2y=0; ∆ +:x 2y− =12 0.Tìm điểm M trên ∆ sao cho từ

M vẽ được với (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 600

1,00

Đường tròn (C) có tâm I(2;1) và bán kính R= 5

Gọi A, B là hai tiếp điểm của (C) với hai tiếp tuyến của (C) kẻ từ M Nếu hai tiếp

tuyến này lập với nhau một góc 600 thì IAM là nửa tam giác đều suy ra

2R=2 5

IM =

Như thế điểm M nằm trên đường tròn (T) có phương trình:

( ) (2 )2

x− + −y =

0,25

Mặt khác, điểm M nằm trên đường thẳng ∆, nên tọa độ của M nghiệm đúng hệ

phương trình: ( ) (2 )2

2 12 0 (2)

x y





Khử x giữa (1) và (2) ta được:

5

y

y

=





 =



0,25

Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: M( )6;3 hoặc 6 27;

5 5

M 

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2;1;0), B(1;1;3),

C(2;-1;3), D(1;-1;0) Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 1,00

Ta tính được AB CD= = 10,AC BD= = 13,AD BC= = 5 0,5 Vậy tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau Từ đó ABCD là một

tứ diện gần đều Do đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện là trọng tâm G của

Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm là 3;0;3

G 

 , bán kính là 14

2

R GA= =

0,25

VIIIa

Tìm số phức z thỏa mãn z− +2 2i =2 2 và z 1 1

z i+ =

1,00

Giả sử z x yi x y= + ,( , ∈¡ Từ giả thiết ta có:)

1

z

+

0,5

Ta được hệ:

0, 0

x y

x y

Vậy z= −4 4 ;i z=0

0,25

VII.b

1 Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 8x + 6y + 21 = 0 và đường thẳng d: x+y−1=0

Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A ∈ d

1,00

Đường tròn (C) có tâm I(4, –3), bán kính R = 2

Tọa độ của I(4, –3) thỏa phương trình (d): x + y – 1 = 0 Vậy I ∈ d Vậy AI là một đường chéo của hình vuông ngoại tiếp đường tròn, có bán kính

R = 2 , x = 2 và x= 6 là 2 tiếp tuyến của (C ) nên

Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 2 ⇒ A(2, –1) Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 6 ⇒ A(6, –5)

0,50

Khi A(2, –1) ⇒ B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1)

Khi A(6, –5) ⇒ B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5) 0,50

2 Trong không gian với hệ tọa độ Đeecac vuông góc Oxyzcho 3 điểm A(2;0;0),

C(0; 4; 0), S(0; 0; 4) Tìm tọa độ điểm B thuộc mặt phẳng (0xy) sao cho tứ giác

OABC là hình chữ nhật.Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, B, C, S

1,00

* Tìm tâm: I ( 1; 2; 2 ) 0,25

Bán kính :R = 1SB=1 4 16 16 3+ + =

Vậy phương trình mặt cầu (x 1− ) (2+ −y 2)2+ −(z 2)2=9 0,25

VIIIb Xét số phức z thỏa mãn điều kiện: z− − =3i 1 0,tìm giá trị nhỏ nhất của z 1,00

Đặt z = x + iy ta có z− = ⇔3i 1 x2+ −(y 3)2 =1

( 3) 1

Do đó z = x2+y2 ≥ 0 2+ 2 =2

Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng thì cho điểm tối đa?