SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNGMôn Thi : TOÁN ; Khối :A Lần thứ hai Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.. Tính thể tích lăng trụ ABC.A’
Trang 1SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
Môn Thi : TOÁN ; Khối :A
Lần thứ hai
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề.
Đề gồm 01 trang
Câu 1: ( 2,0 điểm)
Cho hàm số y x= 4−2m x2 2+2 (1)
1) Với m=1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2) Tìm m (m∈¡ ) để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị lập thành 3 đỉnh của một tam giác vuông
Câu 2: (2,0 điểm)
1) Cho hai phương trìnhcosx m+ sinx 1 (1)= và msinx cos+ x m= 2 (2)
Tìm m (m∈¡ ) để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của (2)
2) Giải phương trình 2 4 2 2
2
4
x
Câu 3: (1,0 điểm)
Tính tích phân
0
sinx I
1 sin
x dx x
π
= +
∫
Câu 4: (1,0 điểm)
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu của
A trên (A’B’C’) trùng với trọng tâm G của ∆A’B’C’ Mặt phẳng (BB’C’C) tạo với (A’B’C’) góc 600 Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a
Câu 5: (1,0 điểm)
Trong hệ toạ độ Oxy, Cho đường tròn (C): 2 2
- 2 4 - 20 0
x +y x+ y = , điểm A(4;2)
Gọi I là tâm của (C), d là tiếp tuyến của (C) tại A Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua I cắt d tại B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 25
Câu 6: ( 1,0 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S), 2 đường thẳng d d1, 2 có phương trình (S):
3
1 2
= +
Viết phương trình mặt phẳng song song với d d1, 2 và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi là 8π
Câu 7: ( 1,0 điểm).
Cho số phức z thoả mãn 2
z − z+ = Gọi f(z) là số phức xác định bởi
f z =z −z + z + z − +z
Tính mô đun của f(z)
Câu 8: (1,0 điểm)
Cho ∆ABC Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2
tan 2 tan 5 tan
………….………Hết………
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:………; Số báo danh:………
Chữ kí giám thị:………
Trang 2Híng dÉn chÊm TOÁN KHÓI A
Câu1
(2,0đ)
1)1,0 đ 1) m=1 =>y x= 4−2x2+2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x= 4−2x2+2
1 Tập xác định: D=¡
2 Sự biến thiên của hàm số
* Giới hạn tại vô cựccủa hàm số.
lim
x
x
y
→+∞
→−∞
= +∞
* Lập bảng biến thiên
' 4 4 ; ' 0
1 ( 1) 1
0,25
bảng biến thiên
x -∞ -1 0 1 +∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
y +∞ 2 +∞
1 1
0,25
Hàm số đồng biến trêncác khoảng (-1;0) và (1;+ ∞)
Hàm số nghịch biến trêncác khoảng (-∞;-1) và (0;1)
Hàm số đạt cực đại tại x=0 =>ycđ=2
Hàm số đạt cực tiểu tại x= ± ⇒1 y ct =1
0.25
3 Đồ thị
-Giao của đồ thị hàm số và Ox: y=0=>x∈φ
- Giao của đồ thị hàm số và Oy: x=0=>y=2
- đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.
0,25
2)1,0đ 2)Tìm m (m∈¡ )để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị lập thành 3 đỉnh của một tam giác
vuông
y x= − m x +
y = x − m x
m=0 ⇒ y' 4= x3= ⇔ = ⇒0 x 0 hàm số không có 3 cực trị ⇒m=0 loại
≠ ⇒ = ⇔
0,25
y
Trang 3Bảng biến thiên
x -∞ -|m| 0 |m| +∞
y’ - - 0 + + 0 - - 0 + +
y 2
4
2 m− 4
2 m− mọi m≠0 đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là A(0;2), B(-|m|;2-m4), C(|m|;2-m4)
0,25
AB= m +m = AC BC= m
A,B,C lập thành 3 đỉnh của một tam giác vuông ⇔ ∆ABC vuông tại A
0,15
1
m
m
=
kết hợp m≠0 được m= ±1
0,25
Câu 2:
(2,0đ) 1)Cho hai phương trìnhcosx m+ sinx 1 (1)= và msinx cos+ x m= 2 (2)
Tìm m (m∈¡ ) để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của (2)
Thuận:
Ta thấy x=0 là 1 nghiệm của (1) do vậy để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của (2) thì x=0
cũng là 1 nghiệm của (2) Thay x=0 vào (2) ta được m2 = ⇔ = ±1 m 1
0,5
Đảo:
Với m=1 (1) ⇔
2 1
2
x k
π
=
= +
¢
(2)⇔sinx+cosx=1 ⇒m=1 thoả mãn.
Tương tự m=-1 thoả mãn
KL
0,5
1)1,0đ
2)Giải phương trình
2
2
4
x
ĐKXĐ:x>0
2
(1) (2log ) 4 log 8 (2 log )
4
x
0,25
4log 4log 8 4(2 log 2) log log 2 (2log 2) (*)
0,25
Trang 42 2
2
2 (2 2)
1 2
t t
=
⇔ =
t=1 ta có log2x=1⇔x=2
t=2 ta có log2x=2 ⇔x=4
kết hợp với ĐKXĐ⇒ phương trình đã cho có 2 nghiệm là x=2 và x=4
0,25
Câu 3:
(1,0đ) Tính tích phân
0
sinx I
1 sin
x dx x
π
= +
∫
( )
π
π
= − ⇒ = −
Nếu 0
0
π π
= ⇒ =
= ⇒ =
0
( )sin
1 sin
t
π
π −
+
∫
0,25
0
sin
2 1 sin
t
t
π
π
⇔ =
+
∫
0,25
0
π
0
t
π
π
Câu 4:
(1,0đ)
a
A'
C'
B'
C
B
A
M H
M' G
gọi M,M’ lần lượt là trung điểm BC,B’C’⇒A’,G,M’ thẳng hàng và AA’M’M là hình bình
hành A’M’⊥ B’C’, AG⊥B’C’ ⇒B’C’⊥(AA’M’M)⇒góc giữa (BCC’B’) và (A’B’C’) là
góc giữa A’M’ và MM’ bằng M MA· ' =600
0,25
Trang 5đặt x=AB
∆ABC đều cạnh x có AM là đường cao ⇒ 3 ' ', ' 2 3
AM = = A M A G= AM =
Trong∆AA’G vuông có AG=AA’sin600= 3
2
A G= AA c = = ⇔ =x
0,25
diện tích ∆ABC là 1 0 2 3 3 3 2 3 2 3
ABC
thể tích khối lăng trụ là ' ' ' 3 3 2 3 9 3
Câu 5:
I
(C): 2 2
- 2 4 - 20 0
x +y x+ y = Tâm I(1;-2) bán kính r=5IAuuv=(3;4)
d là tiếp tuyến của (C) tại A ⇒ d IA
A d
⊥
∈
⇒d đi qua A và nhận IA=(3;4)
uuv
làm véc tơ pháp tuyến
⇒phương trình của d :3(x-4)+4(y-2)=0⇔ 20 3
4
x
y= −
0,5
Gọi ∆là đường thẳng đi qua I cắt d tại B ( ;20 3 )
4
x
B x −
⇒ sao cho diện tích ∆IAB bằng 25
Do ∆IAB vuông tại A nên 1 15 25 10
IAB
S∆ = IA AB= IB= ⇔ AB=
= ⇒ −
⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ − = ⇒ = − ⇒ −
0,25
Nếu B(12;-4) ∆là đường thẳng đi qua I nhận IBuuv=(11; 2)− làm véc tơ chỉ phương có phương
trình là 1 2 2 11 20 0
− nếu B(-4;8) tương tự phương trình ∆:2x+y=0
KL
0,25
Câu 6:
(1,0đ)
(S):x2+y2+ −z2 4x−4y+2z− =16 0 1 2
3
1 2
= +
(S) có tâm I(2;2;-1) bán kính R=5
1
d đi qua điểm M1 (1;-1;1) có véc tơ chỉ phương là uuv1= −( 1; 4;1)
2
d đi qua điểm M2(3;0; 1)− có véc tơ chỉ phương là uuuv2 =(1; 2; 2)
( 4 1 1 1 1 4 )
[ , ]u uuv uuv = ; − ; − =(6;3; 6) 3(2;1; 2)− = −
0,25
Trang 6Gọi (P) là mặt phẳng song song với d d1, 2 ⇒(P) nhận 1[ , ]=(2;1;-2)1 2
3 u u
uv uuv
làm véc tơ phép tuyến
⇒phương trình của (P):2x y+ −2z D+ =0.
(P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r chu vi là
8π =2πr⇔ = =r 4 R −d I P( ,( )) = 25−d I P( ,( ))⇔d I P( ,( )) 9= ⇔d I P( ,( )) 3=
0,25
1
| 2.2 1.2 2( 1) |
3 | 8 | 9
17
2 1 ( 2)
D D
D
D
=
D=3⇒phương trình của (P1):2x y+ −2z+ =1 0
D=-15⇒phương trình của (P2):2x y+ −2z− =17 0
0,25
ta thấy M1,M2 không thuôc ( )P2 nên ( )P2 thoả mãn đề bài
1(1; 1;1)
M − nằm trên ( )P1 nên ( )P1 chứa d1 ⇒( )P1 :2x y+ −2z+ =1 0 loại.
Vậy phương trình của (P) thoả mãn đề bài là2x y+ −2z− =17 0
0,25
Câu 7:
(1,0đ) Cho số phức z thoả mãn 2
z − z+ = Gọi f(z) là số phức xác định bởi
f z =z −z + z + z − +z
Tính mô đun của f(z)
z2−2z+ =3 0 (1)
(1)có ∆=-2<0 nên (1) có 2 nghiệm phức là 1 1 2
2
| | | | 3
z z
= −
= +
0,5
nếu z z= ⇒1 f z( )1 = ⇒z1 | ( ) | | |f z1 = z1 = 3
nếu z z= ⇒2 f z( )2 = ⇒z2 | ( ) | |f z2 = z2|= 3
Vậy | ( ) |f z = 3
0,25
Câu 8:
(1,0đ) Cho ∆ABC Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2
tan 2 tan 5 tan
Chứng minh được tan tan tan tan tan tan 1
0,25
(tan tan tan ) (tan 2 tan ) 0
ABC
tan 2 tan 5 tan 2(tan tan tan tan tan tan ) 0
ABC
0,5
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
3 tan
2
1
A
=
vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2
0,25
