Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số... a CMR: BD vuông SAC; b Tìm tan của góc hợp bởi SC và ABCD; c Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng SBC.. Viết phương trình tiếp tuyến của
Trang 1A ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
1 Chứng minh dãy số (un) có giới hạn 0.
Phương pháp:
- Vận dụng định lí: Nếu |u n | ≤ v n, ∀n và lim v n = 0 thì limu n = 0
- Sử dụng một số dãy số có giới hạn 0: lim1 0
n = , lim 1 0
n = , lim31 0
n = , limq n =0với | q| < 1
2 Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số.
Phương pháp:
- Vận dụng các định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực
- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số:
+) Nếu limun = +∞ thì lim 1 0
n
u =
- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số:
+)Nếu ( )
0
lim
x x f x
( ) 0
x→x f x =
- Chú ý khi gặp các dạng vô định: ; ;0 ;0
0
∞ ∞ − ∞ ∞
∞ ta phải khử các dạng vô định đó bằng
cách: chia tử và mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu thành nhân tử để đơn giản, nhân cả tử và mẫu với một lượng liên hợp;…
3 Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cho CSN (un) lùi vô hạn (với q <1), ta có :
1
S u u q u q
q
+
−
limun limvn =
L lim(unvn)
limun=L limvn
Dấu của
vn
lim n n
u v
Trang 24 Xét tính liên tục của hàm số
Phương pháp: Xét tính liên tục của hsố f(x) tại x0:
+) Tính f(x 0 )
+) Tìm ( )
0
lim
x x f x
→ (nếu có)
- Nếu ( )
0
lim
x x f x
→ không tồn tại⇒ f(x) gián đoạn tại x 0
- Nếu ( ) ( )
lim
x x f x L f x
→ = ≠ ⇒ f(x) gián đoạn tại x 0
- Nếu ( ) ( )
lim
x x f x L f x
→ = = ⇒ f(x) liên tục tại x 0.
2
sin ' cos
cos ' sin
1 tan '
cos
1 (cot ) '
sin
x
x x
x
=
= −
=
= −
Chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình
Phương pháp: Vận dụng hệ quả của định lí về giá trị trung gian: Nếu hàm số y = f(x) liên
tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong (a ; b)
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
1 Tìm đạo hàm của hàm số
Phương pháp: Áp dụng các công thức tính đạo hàm
+) Các quy tắc tính đạo hàm:
Trang 32
'
2
( ) ' ' '
( ) ' ' '.
( ) ' '
' '.
u v u v v u
k u k u
v
=
−
=
÷
= −
÷
( )
1 '
2
2
x
−
÷
( )
( )
1 '
2
' '
' '
2
u
u u
u
−
=
= −
÷
=
+) Đạo hàm của hàm hợp: Nếu g x ( ) = f u x [ ( )] thì g'x= f u u' x'
+) Đạo hàm của các hàm số lượng giác:
2
sin ' cos
cos ' sin
1 tan '
cos 1 (cot ) '
sin
x
x x
x
=
= −
=
= −
2
sin ' '.cos cos ' '.sin
' tan '
cos ' (cot ) '
sin
u u
u u u
u
=
= −
=
= −
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Phương pháp: Pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng:
y = f’(x 0 ) (x – x 0 ) + f(x 0 )
3 Vi phân
- Vi phân của hàm số tại nột điểm: df x( )0 = f x'( ).0 ∆x
- Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: f x( 0+ ∆ ≈x) f x( )0 + f x'( )0 ∆x
- Vi phân của hàm số: df x( )= f x dx'( ) hay dy= y dx'
4 Đạo hàm cấp cao
- Đạo hàm cấp hai của hàm số: f’’= (f’)’
Trang 4- Đạo hàm cấp n của hàm số: f(n) = [f(n-1)]’.
B HÌNH HỌC
I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
Dạng 1 : Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc
• Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 900
• Phương pháp 2: a b ⊥ ⇔ u v r r = 0 (u v r r , lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b).
• Phương pháp 3: Chứng minh a ⊥ ( ) α ⊃ b hoặc b ⊥ ( ) β ⊃ a
• Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc ( a⊥ ⇔ ⊥b a b' với b’ là hình chiếu của đt b lên mp chứa đt a)
Dạng 2 : Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P).
• Phương pháp 1: Chứng minh: d ⊥ a và d ⊥ b với a ∩ b = M; a,b ⊂ (P)
• Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a ⊥ (P)
• Phương pháp 3: Chứng minh: d ⊂ (Q) ⊥ (P), d ⊥ a = (P) ∩ (Q)
• Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) ∩ (R) và (Q) ⊥(P), (R) ⊥ (P)
Dạng 3 : Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc.
• Phương pháp 1: Chứng minh (P) ⊃ a ⊥ (Q)
• Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) ⊥ (Q)
• Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a ⊥ (Q)
Dạng 4 : Tính góc giữa 2 đt a và b.
• Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ ∩ b’ = O)
- Khi đó: (a, b) = (a’, b’)
Dạng 5 : Tính góc giữa đt d và mp(P).
• Phương pháp: Gọi góc giữa đt d và mp(P) là ϕ
+) Nếu d ⊥ (P) thì ϕ = 900
+) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P)
- Khi đó: ϕ = (d,d’)
Dạng 6 : Tính góc ϕ giữa hai mp (P) và (Q)
• Phương pháp 1:
- Xác định a ⊥ (P), b ⊥ (Q)
- Tính góc ϕ = (a,b)
• Phương pháp 2: Nếu (P) ∩ (Q) = d
- Tìm (R) ⊥ d
- Xác định a = (R) ∩ (P)
- Xác định b = (R) ∩ (Q)
- Tính góc ϕ = (a,b)
Dạng 7 : Tính khoảng cách.
Trang 5• Tính khoảng từ một điểm M đến đt a:
Phương pháp: d M a ( , ) = MH (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a).
• Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P):
Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P).
- d(M, (P)) = AH
• Tính khoảng giữa đt ∆ và mp (P) song song với nó : d( ∆ , (P)) = d(M, (P)) (M là điểm thuộc ∆)
• Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b:
+) Phương pháp 1: Nếu a ⊥ b :
- Dựng (P) ⊃ a và (P) ⊥ b
- Xác định A = (P) ∩ b
- Dựng hình chiếu H của A lên b
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b
+) Phương pháp 2:
- Dựng (P) ⊃ a và (P) // b
- Dựng hình chiếu b’ của b lên (P) b’ // b, b’ ∩ a = H
- Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b
+) Phương pháp 2:
- Dựng đt (P) ⊥ a tại I cắt b tại O
- Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O)
- Kẻ IK ⊥ b’ tại K
- Dựng đt vuông góc với (P) tại K, cắt b tại H
- Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b
MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO
ĐỀ 1
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2 – TOÁN 11
Thời gian: 90 phút Năm học: 2012 – 2013
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC HỌC SINH (8,0 điểm)
Câu I (3,0 điểm)
1) (2.0 điểm) Tính giới hạn của hàm số và dãy số
3
lim
+ +
5 3 lim
3 2
−
+
−
x x
2) (1.0 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = –1:
− −
= +
Câu II (3,0 điểm)
Trang 61) (2.0 điểm) Tính đạo hàm của hàm số
= +2 + − 32 + 14 =cos +
) 3 1 )
sin
x x
2) (1.0 điểm) Cho hàm số y x x= 2( +1) Giải bất phương trình y′ ≤0
Câu III (2,0 điểm)
Câu 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, đường cao SO = a 3 với O
là tâm của hình vuông ABCD
a) CMR: BD vuông (SAC);
b) Tìm tan của góc hợp bởi SC và (ABCD);
c) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC)
II PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (2,0 điểm)
A PHẦN 1 (THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN)
Câu IVa ( 2,0 điểm)
1) (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình 2x5 +10x−7=0 có ít nhất một nghiệm dương
2) (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) : y= x2 −3x+7 tại điểm có hoành độ bằng 1
B PHẦN 2 (THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO)
Câu IVb (2,0 điểm)
1) (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình 2x5 +10x−7=0có ít nhất một nghiệm dương 2) (1,0 điểm) Cho hàm số y =4x2 −x4 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành
ĐỀ 2
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8.0 điểm)
Câu I (3,0 điểm):
1 Tìm các giới hạn sau:
→
− +
−
x
x x a
x
2 1
/ lim
1
4 2 4
/ lim
b
− + +
2 Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm tại x0 =1:
− <
= − −
x neáu x
x neáu x
Câu II (2,0 điểm)
1 Cho hàm số y x= cos Tính y x
2
π
′′ ÷
Trang 72 Cho hàm số y f x= ( )= −2x3−3x2+9x+2013
Giải bất phương trình: f x′( ) 0 >
Câu III (3,0 điểm): Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A
và D , AB AD a= = , CD=2a Cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD , )
6
SD a=
a) Chứng minh:∆SBClà tam giác vuông
b) Tính góc hợp bởi SB và (ABCD )
c) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC )
II PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3.0 điểm)
Học sinh chỉ được chọn một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
Phần 1: Theo chương trình chuẩn
Câu IV.a (1,0 điểm): Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm:
+ − − =
x6 3x2 2x 1 0
Câu V.a (1,0 điểm): Cho hàm số y f x= ( )= −2x3−3x2+9x+2013
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2
Phần 2: Theo chương trình nâng cao
Câu IV.b (1,0 điểm): Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m.
+m x2 3+x2− =
Câu V.b (2,0 điểm): Cho hàm số = + +
+
x x y
x
1 có đồ thị (C).
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung Hết.
Trang 8ĐỀ 3 I/ PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC HỌC SINH: (8 điểm)
CÂU I: (3 điểm)
1/ Tìm các giới hạn sau:
8
x
2/ Xét tính liên tục của hàm số sau tại x0 = 1
1
x
x
−
CÂU II: (2 điểm)
1/ Cho hàm số: cos
sinx 1
x
+ Tính y ' 2
π
÷
2/ Cho hàm số: f x ( ) 3cos = x + 4sin x + 5 x
Giải phương trình: f x '( ) 0 =
CÂU III: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại B, AB=a Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho SA=a
a/ Chứng minh rằng: ( SAB ) ( ⊥ SBC )
b/ Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
c/ Tính góc hợp bởi đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC)
II/ PHẦN RIÊNG-PHẦN TỰ CHỌN: (2 điểm)
A/ PHẦN 1: (Theo chương trình chuẩn)
CÂU IVa: (2 điểm)
1/ Chứng minh rằng phương trình: x5 − 3 x − = 7 0 luôn có nghiệm
2/ Cho hàm số: y x = 2 − 4 x + 4 có đồ thị ( ) C Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại điểm có tung độ bằng 1
B/ PHẦN 2: (theo chương trình nâng cao)
CÂU IVb: (2 điểm)
1/ Chứng minh rằng phương trình: c os2 x = 2sin x − 2 có ít nhất 2 nghiệm thuộc
6
π π
2/ Cho hàm số: y = 2 x + 1 có đồ thị ( ) C Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C , biết hệ số góc tiếp tuyến là 1
3 (Hết)
Trang 9ĐỀ 4 I/ PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC HỌC SINH: (8 điểm)
CÂU I: (3 điểm)
1/ Tìm các giới hạn sau:
8
x
2/ Xét tính liên tục của hàm số sau tại x0 = 1
1
x
x
−
CÂU II: (2 điểm)
1/ Cho hàm số: cos
sinx 1
x
+ Tính y ' 2
π
÷
2/ Cho hàm số: f x ( ) 3cos = x + 4sin x + 5 x
Giải phương trình: f x '( ) 0 =
CÂU III: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại B, AB=a Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho SA=a
a/ Chứng minh rằng: ( SAB ) ( ⊥ SBC )
b/ Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
c/ Tính góc hợp bởi đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC)
II/ PHẦN RIÊNG-PHẦN TỰ CHỌN: (2 điểm)
A/ PHẦN 1: (Theo chương trình chuẩn)
CÂU IVa: (2 điểm)
1/ Chứng minh rằng phương trình: x5 − 3 x − = 7 0 luôn có nghiệm
2/ Cho hàm số: y x = 2 − 4 x + 4 có đồ thị ( ) C Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại điểm có tung độ bằng 1
B/ PHẦN 2: (theo chương trình nâng cao)
CÂU IVb: (2 điểm)
1/ Chứng minh rằng phương trình: c os2 x = 2sin x − 2 có ít nhất 2 nghiệm thuộc
6
π π
2/ Cho hàm số: y = 2 x + 1 có đồ thị ( ) C Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C , biết hệ số góc tiếp tuyến là 1
3 (Hết)