Toán Bồi dưỡng khối 4

Nếu viết thêm một chữ số 0 vào bên phải số thứ nhất và giữ nguyên số thứ hai thì đợc tổng mới là 362.. Nếu viết thêm chữ số 4 vào bên phải số thứ hai và giữ nguyên số thứ nhất thì tổng

Bài 2: Hai số có tổng bằng 6479, nếu giữ nguyên số thứ nhất, gấp số thứ hai lên 6 lần

thì đợc tổng mới bằng 6789 Hãy tìm hai số hạng ban đầu

Bài 3: Tìm hai số có tổng bằng 140, biết rằng nếu gấp số hạng thứ nhất lên 5 lần và

gấp số hạng thứ hai lên 3 lần thì tổng mới là 508

Tổng khi Số hạng thứ nhất gấp lên 5 lần hơn tổng cũ là

184 - 140 = 48

Số hạng thứ hai là

48 : 2 = 24

Tự luyện:

Bài 4: Tìm hai số tự nhiên có tổng là 254 Nếu viết thêm một chữ số 0 vào bên phải

số thứ nhất và giữ nguyên số thứ hai thì đợc tổng mới là 362

Bài 5: Tìm hai số có tổng bằng 586 Nếu viết thêm chữ số 4 vào bên phải số thứ hai

và giữ nguyên số thứ nhất thì tổng mới bằng 716

Bài 6: Tổng của hai số thập phân là 16,26 Nếu ta tăng số thứ nhất lên 5 lần và số thứ

hai lên 2 lần thì đợc hai số có tổng mới là 43,2 Tìm hai số đó

Bài 7: Tổng của hai số là 10,47 Nếu số hạng thứ nhất gấp lên 5 lần, số hạng thứ hai

gấp lên 3 lần thì tổng mới sẽ là 44,59 Tìm hai số ban đầu

3-1 = 2 phần

Số bị trừ cũ là:

330 : 2 = 165

Số trừ cũ là :165- 23 = 142

Bài 2: Tìm hai số có hiệu là 383, biết rằng nếu giữ nguyên số bị trừ và gấp số trừ lên

458 – (75 x 4) = 158 đúng

Bài 3: Hiệu của hai số tự nhiên là 4441, nếu viết thêm một chữ số 0 vào bên phải số

trừ và giữ nguyên số bị trừ thì đợc hiệu mới là 3298

Bài 4: Hiệu của hai số tự nhiên là 134 Viết thêm một chữ số vào bên phải của số bị

trừ và giữ nguyên số trừ thì hiệu mới là 2297 Tìm chữ số viết thêm và hai số

Tlại:

240 -106 = 134

2403 -106 = 2297 đúng

Bài 5: Hiệu của hai số là 3,58 Nếu gấp số trừ lên 3 lần thì đợc số mới lớn hơn số bị

trừ là 7,2 Tìm hai số đó

Bài giải

Số bị trừ cũ là ;7,2 – (3- 1) = 3,6

Số trừ cũ là :3,6 – 3,58 = 0,02

Bài 6 : Hiệu của hai số là 1,4 Nếu tăng một số lên 5 lần và giữ nguyên số kia thì đợc

hai số có hiệu là 145,4 Tìm hai số đó

6 x2 – 9,8 =

C Phép nhân Bài 1: Tìm tích của 2 số, biết rằng nếu giữ nguyên thừa số thứ nhất và tăng thừa số

thứ 2 lên 4 lần thì đợc tích mới là 8400

Bài giải

Tích của hai số là :

8400 : 2 = 4200 ( Vì trong một tích nếu có một thừa số gấp lên nlần và thừa số kia gữ

nguyên thì thích đó gấp lên nlần và ngợc lại.)

Bài 2: Tìm 2 số có tích bằng 5292, biết rằng nếu giữ nguyên thừa số thứ nhất và tăng

thừa số thứ hai thêm 6 đơn vị thì đợc tích mới bằng 6048

Bài giải

Tăng thừa số thứ hai lên 6 đơn vị thì 6 lần thừa số tứ nhất là:

6048 – 5292 = 756Thừa số thứ hai là:

756 : 6 = 126Thừa số thứ nhất là :

1932 : 84 = 23

II Dãy số

1 Dãy số cách đều:

a) Tính số lợng số hạng của dãy số cách đều:

Số số hạng = (Số hạng cuối - Số hạng đầu) : d + 1

(d là khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp)

Ví dụ: Tính số lợng số hạng của dãy số sau:

là 3 đơn vị Nên số lợng số hạng của dãy số đã cho là:

(100 - 1) : 3 + 1 = 34 (số hạng)b) Tính tổng của dãy số cách đều:

Ví dụ : Tổng của dãy số 1, 4, 7, 10, 13, …, 94, 97, 100 là:

2

34 ) 100 1 ( + x

Bµi 6: Cho d·y sè : 3, 18, 48, 93, 153,

a) T×m sè h¹ng thø 100 cña d·y b) Sè 11703 lµ sè h¹ng thø bao nhiªu cña d·y?

Bµi 7: Cho d·y sè : 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; ; 108,9 ; 110,0

a) Dãy số này có bao nhiêu số hạng? b) Số hạng thứ 50 của dãy là số nào?

c) Tính tổng của 100 số tự nhiên đầu tiên

Bài giải

a) Khoảng cách giữa các số là :1,1

Có số lợng số hạng là :(110 – 1, 1) : 1,1 + 1 = 100 (số hạng)b) Dãy số có 50 số hạng nên có 49 khoảng cách ( 50-1)

49 số có số đơn vị là :

49 x1,1 = 53,9 ( đơn vị)

Số hạng thứ 50 là : 1,1 + 53,9 = 55c) Tổng của 100 số hạng đầu tiên là :(1,1 + 110 ) X 100 :2 = 5555

Bài 16: Để đánh số trang sách của một cuốn sách dày 220 trang, ngời ta

phải dùng bao nhiêu lợt chữ số?

Bài 17: Trong một kỳ thi có 327 thí sinh dự thi Hỏi ngời ta phải dùng bao nhiêu lợt

chữ số để đánh số báo danh cho các thí sinh dự thi?

Bai 18: Để đánh số thứ tự các trang sách của sách giáo khoa Toán 4, ngời ta phải

dùng 216 lợt các chữ số Hỏi cuốn sách đó dày bao nhiêu trang?

9 + 90 = 9 = 108 trang

Bài 19: Trong một kỳ thi học sinh giỏi lớp 5, để đánh số báo danh cho các thí sinh dự

thi ngời ta phải dùng 516 lợt chữ số Hỏi kỳ thi đó có bao nhiêu thí sinh tham dự?

Bài 20: Cho dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 1983 đợc viết theo thứ tự liền nhau nh

sau: 12345678910111213…19821983 Hãy tính tổng của tất cả các chữ số vừa viết

Bài giải

Có tất cả các chữ số là :( 1983 – 1 ): 1 + 1 = 1983 chữ số

Tổng của dãy là :(1983 + 1) x 1983 : 2 =1967136

iii Dấu hiệu chia hết

I Kiến thức cần ghi nhớ

II Bài tập

Bài 1: Từ 3 chữ số 0, 1, 2 Hãy viết tất cả các số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 2 Bài 2: Viết tất cả các số chia hết cho 5 có 4 chữ số khác nhau từ 4 chữ số 0, 1, 2 , 5.

Bài 3: Em hãy viết vào dấu * ở số 86* một chữ số để đợc số có 3 chữ số và là số:

a) Chia hết cho 2 b) chia hết cho 3

c) Chia hết cho 5 d) chia hết cho 9

e) Chia hết cho cả 2 và 5 g) Chia hết cho cả 3 và 9

Bài 4: Hãy tìm các chữ số x, y sao cho 17x8 y chia hết cho 5 và 9

Bài 5: Tìm x, y để x765 ychia hết cho 3 và 5

Đáp số: Y = 0 ta có các số : x= 3, 6 9

Y = 5 ta có x = 14,7

Bài 6: Tìm x và y để số 1996xy chia hết cho 2, 5 và 9

Bài 7: Tìm a và b để 56a3 b chia hết cho 36

Đáp số: ( Chia hết cho 36 thỡ tổng của 56a3b chia hết cho 4 và 9)

Đáp số: 37 + 2 + 5 = 41 vậy x = 1, 4 , 7

Bài 10: Tìm a và b để số a391 b chia hết cho 9 và chia cho 5 d 1

Bài giải

Chia 5 d 1 thì b = 1 hoặc 6 và a + 3 + 1+9 + 6 chia hết cho 9 và a + 3 + 1+9 + 1

Bài 11: Tìm tất cả các số có 3 chữ số khác nhau abc, biết:

B= 5 thì ac = 2 x 19 = 39

B= 8 thì ac = 2 x 29 = 54

Bài 12: Một ngời viết liên tiếp nhóm chữ TOQUOCVIETNAM thành dãy

TOQUOCVIETNAM TOQUOCVIETNAM …

a) Chữ cái thứ 1996 trong dãy là chữ gì?

b) Ngời ta đếm đợc trong dãy đó có 50 chữ T thì dãy đó có bao nhiêu chữ O?

a)Nhúm từ TOQUOCVIETNAM gồm 13 chữ cỏi

Ta cú 1996 : 13 = 153 dư 7 nờn chữ cỏi thứ 1996 là chữ C

b)- Trong dóy cú 2 chữ T và 2 chữ O nếu cú 50 chữ T thỡ xẽ cú 50 chữ O và cú 50 : 2

+ 1 chữ I = 26 chữ I

Bài 13 : Một ngời viết liên tiếp nhóm chữ CHAMHOCCHAMLAM thành dãy

CHAMHOCCHAMLAM CHAMHOCCHAMLAM …

a) Chữ cái thứ 1000 trong dãy là chữ gì?

b) Ngời ta đếm đợc trong dãy đó có 1200 chữ H thì dãy đó có bao nhiêu chữ A?

c) Bạn Bình đếm đợc trong dãy có 2008 chữ C Hỏi bạn ấy đếm đúng hay sai? Vì sao ?

IV Các bài Toán dùng chữ thay số

1 Sử dụng cấu tạo thập phân của số

1.1 Phân tích làm rõ chữ số

ab = a x 10 + b

abc = a x 100 + b x 10 + c

Ví dụ: Cho số có 2 chữ số, nếu lấy tổng các chữ số cộng với tích các chữ số của số

đã cho thì bằng chính số đó Tìm chữ số hàng đơn vị của số đã cho

Bài giải Bớc 1 (tóm tắt bài toán)

Gọi số có 2 chữ số phải tìm là ab (a > 0, a, b < 10)

Theo bài ra ta có ab = a + b + a x b

Bớc 2: Phân tích số, làm xuất hiện những thành phần giống nhau ở bên trái và bên

phải dấu bằng, rồi đơn giản những thành phần giống nhau đó để có biểu thức

Khi viết thêm số 21 vào bên trái số abta đợc số mới là 21ab

Bµi gi¶i C¸ch 1:

Bài 1: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 4 vào bên trái số đó, ta

Bài 3: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta

Bài 6: Tìm số có 4 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta đợc

số lớn gấp 5 lần số nhận đợc khi ta viết thêm chữ số 1 vào bên trái số đó

Bài 7: Cho số có 3 chữ số, nếu viết thêm chữ số 1 vào bên phải số đó, viết thêm chữ

số 2 vào bên trái số đó ta đều đợc số có 4 chữ số mà số này gấp 3 lần số kia

Bài giải

Gọi số phải tìm là abc ( 0 < a; ≤b,c< 10Theo đầu bài ta có hai khả năng: abc 1 > 2abc hoặc abc1 < 2abc

a) Xét khả năng abc1 > 2abc

- Theo đầu bài ta có :abc1 = 3 x 2abcabc x10 + 1 = (2000 +abc) x3 ( Ctạo số )

abc x 3 + abcx7 + 1 = 6000 + abc x 3 ( Một số nhân với 1 tổng)

abc x 7 + 1 = 6000 ( Bớt cả hai vế cho abc x 3)abc x7 = 6000 -1( Tìm số hạng của tổng)abc = 599 : 7857 ( Tìm một thừa số )

Bài 8: Cho một số có 3 chữ số, nếu xoá đi chữ số hàng trăm thì số đó giảm đi 3 lần

Tìm số đó

Bài giải

Gọi số phải tìm là abc ( 0 < a ; bc< 10)

Theo đầu bài ta có :abc = 3 x bc

Nừu a = 1 thì a x 5 = 1 x 5 = 5 Suy ra b không có giá trị thích hợp

Thử chọn ta có a = 5 nên b = 4Vậy số cần tìm là 45

Bài 11: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng số đó gấp 11 lần tổng các chữ số của nó.

Bài giải

Gọi số phải tìm là abc : ĐKiệnTheo đầu bài ta có :Abc = ( a + b+ c) x 11Abc = 11 x a + 11 x b + 11 x c

100

75

mà mẫu số là số tròn chục và có 2 chữ số

75/100 =15/20 ,3/4 = 30/403/4 =60/80

Bài 2: Viết tất cả các phân số bằng phân số

39

21

mà mẫu số có 2 chữ số và chia hết cho 2 và 3

Bài giải

Mẫu số có 2 chữ số chia hết cho 2 và 3 là p/s :

78 42

Bài 3: Viết mỗi phân số sau thành tổng 3 phân số có tử số là 1 nhng có mẫu số khác

nhau: ;

8

7 3

2

; 8 3

7 = 1+ 3 + 4

Ta có:

2

1 4

1 8

1 8

4 8

2 8

1 8

4 3

a) 7/12 = 5/12 + 2/12

= 5/12 + 1/6b) 13/27 = 9/27 + 4/27

b) Viết 5 p/s có mẫu số bằng nhau và mỗi p/s đều bé hơn

2 1

c) Viiét 3 p/s có tử số bằng 1 mà mỗi p/s đều lớn hơn

6

1 nhng bé hơn

3 2

Bài 6: Hãy viết mỗi phân số sau thành tổng các phân số có tử số bằng 1 và mẫu số

khác nhau

27

25

; 16

1 của 6m

b) 7

1của 21kg

c) 10

1của 5 1

d) 9

8của 4 3

- Phần bù với đơn vị của phân số là hiệu giữa 1 và phân số đó.

- Trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ

Bớc 1: (Tìm phần bù)

Ta có :

2001

1 2001

2000

1-2002

1 2002

1 > nên

2002

2001 2001

2000 <

* Chú ý: Đặt A = Mẫu 1 - tử 1

B = mẫu 2 - tử 2

Cách so sánh phần bù đợc dùng khi A = B Nếu trong trờng hợp A ≠B ta có thể

sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đa về 2 phân số mới có hiệu giữa mẫu số và tử số của hai phân số bằng nhau:

Ví dụ:

2001

2000

và 2003

2001 +) Ta có: 20002001 = 20012000ìì22 = 40024000

1 -

4002

2 4002

4000

=

1-2003

2 2003

2 < nên

2003

2001 4002

4000 > hay

2003

2001 2001

2000 >

2 So sánh phân số bằng cách so sánh phần hơn với đơn vị của phân số:

- Phần hơn với đơn vị của phân số là hiệu của phân số và 1

- Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn

Ví dụ: So sánh:

2000

2001

và 2001 2002

Bớc 1: Tìm phần hơn

Ta có:

2000

1 1 2000

2001 − =

2001

1 1 2001

1 > nên

2001

2002 2000

2001 >

* Chú ý: Đặt C = tử 1 - mẫu 1

D = tử 2 - mẫu 2

Cách so sánh phần hơn đợc dùng khi C = D Nếu trong trờng hợp C ≠D ta có

thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đa về hai phân số mới có hiệu giữa tử số và mẫu số của hai phân số bằng nhau

Ví dụ: So sánh hai phân số sau:

2000

2001

và 2001 2003

Bớc1: Ta có: 20002001= 20012000ìì22 = 40004002

2001

2 1 2001

2003 4000

2 1 4000

Bớc 2: Vì

2001

2 4000

2 < nên

2001

2003 4000

4002 < hay

2001

2003 2000

Bớc 1: Ta có:

2

1 8

4 9

4 2

1 6

3 5

Bớc 2: Vì

9

4 2

1 5

3 > > nên

9

4 5

Bớc 1: Ta có:

3

1 90

30 90

31 3

1 60

20 60

Bớc 2: Vì

90

31 3

1 60

Vì

101

100 1 100

101

>

Ví dụ 4: So sánh hai phân số bằng cách nhanh nhất.

57

40

và 55 41

Bài giải

+) Ta chọn phân số trung gian là :

55 40

+) Ta có:

55

41 55

40 57

1

(ví dụ 1, 2, 3) bằng cách tìm thơng của mẫu số

và tử số của từng phân số rồi chọn số tự nhiên nằm giữa hai thơng vừa tìm đợc

Số tự nhiên đó chính là mẫu số của phân số trung gian còn tử số của phân số trung gian chính bằng 1

- Trong trờng hợp tổng quát: So sánh hai phân số

2 , 2 1

) thì ta

nhân cả tử số và mẫu số của cả hai phân số lên một số lần sao cho hiệu giữa hai

tử số và hiệu giữa hai mẫu số của hai phân số là nhỏ nhất Sau đó ta tiến hành chọn phân số trung gian nh trên

Ví dụ: So sánh hai phân số

23

15

và 117 70

Bớc 2: Chọn phân số trung gian là:

115 70

Bớc 3: Vì

115

75 115

70 117

70 < < nên

115

75 117

70 < hay

23

15 117

70 <

4 Đa hai phân số về dạng hỗn số để so sánh

- Khi thực hiện phép chia tử số cho mẫu số của hai phân số ta đợc cùng thơng thì ta đa hai phân số cần so sánh về dạng hỗn số, rồi so sánh hai phần phân số của hai hỗn số đó

Ví dụ: So sánh hai phân số sau:

15

47

và 21

65

Ta có:

21

2 3 21

65 15

2 3 15

Vì

21

2 15

2 > nên

21

2 3 15

2

3 > hay

21

65 15

Ta có:

10

3 2 10

23 11

8 3 11

Vì 3 > 2 nên

10

3 2 11

* Chú ý: Khi mẫu số của hai phân số cùng chia hết cho một số tự nhiên ta có thể nhân cả hai phân số đó với số tự nhiên đó rồi đa kết quả vừa tìm đợc về hỗn

số rồi so sánh hai hỗn số đó với nhau

Ví dụ: So sánh

15

47

và 21

65

65 3 21

65 5

2 9 5

+) Vì

7

2 5

2 > nên

7

2 9 5

2

9 > hay

15

47 >

21 65

5 Thực hiện phép chia hai phân số để so sánh

- Khi chia phân số thứ nhất cho phân số thứ hai, nếu thơng tìm đợc bằng 1 thì hai phân số đó bằng nhau; nếu thơng tìm đợc lớn hơn 1 thì phân số thứ nhất lớn hơn phân số thứ hai; nếu thơng tìm đợc nhỏ hơn 1 thì phân số thứ nhất nhỏ hơn phân số thứ hai

Ví dụ: So sánh

9

5

và 10 7

Ta có:

9

5 : 10

10

7

7

d) 1999

1998

và 2000

1999 Phần bùb)

2001

1999

và 11

12

So sánh với 1c)

27

13

và 41

24 ( Trung gian)

Bài 2: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất:

a)

25

15

và 7

17

SS với 15/49b)

60

13

và 100

27 Trung gian26/120 e)

15

47

và 35

29 ( TS > MS)c)

1995

1993

và 998

997 (997x2) SS phần bù

g) 27

16

và 29

15

SS 16/29

Bài 3: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất:

a)

15

13

vµ 25

23 (SS phÇn bï) c)

25

12

vµ 49

25

SS 24/49b)

28

23

vµ 27

VËy trung b×nh céng sè bi cña ba b¹n lµ:

Vậy số trung bình cộng của ba bạn là:

Có bốn bạn An, Bình, Dũng, Minh cùng chơi bi Biết An có 18 viên bi, Bình có 16

viên bi, Dũng có số bi bằng trung bình cộng số bi của An và Bình Minh có số

bi bằng trung bình cộng số bi của cả bốn bạn Hỏi Bạn Minh có bao nhiêu viên bi?

Bài giải

Dũng có số bi là :(18 + 16 ) : 2 = 17 ( viên)Minh có số bi là :

18 + 16 + 17 = 17 (viên bi)

Đáp số : 17 viên bi

Ví dụ 5 :

Một ô tô trong 3 giờ đầu, mỗi giờ đi đợc 40km, trong 3 giờ sau, mỗi giờ đi đợc

50 km Nếu muốn tăng mức trung bình cộng mỗi giờ tăng thêm 1km nữa thì

đến giờ thứ 7, ô tô đó cần đi bao nhiêu ki-lô-mét nữa?

Bài giải

Trong 6 giờ đầu, trung bình mỗi giờ ô tô đi đợc:

(40 x 3 + 50 x 3 ) : 6 = 45 (km)Quãng đờng ô tô đi trong 7 giờ là :

(45 + 1) x 7 = 322 (km)Giờ thứ 7 ô tô cần đi là:

322 - (40 x 3 + 50 x 3) = 52 (km)

Đáp số: 52km

Bài tập

Bài 1: Tìm số trung bình cộng của các số cách đều nhau 4 đơn vị : 3, 7, 11, …,95, 99,

103

Bài giải

Trung bình cộng của dãy là:

(103+3) : 2 = 53

Bài 2: Tìm số trung bình cộng của các số : 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18.

Em có cách nào tính nhanh số trung bình cộng của các số trên không?

Bài giải

(4 + 18 ) : 2 = 11

Bài 3: Trung bình cộng tuổi của bố, mẹ, Bình và Lan là 24 tuổi, trung bình cộng tuổi

của bố mẹ và Lan là 28 tuổi Tìm tuổi của mỗi ngời, biết tuổi Bình gấp đôi tuổi Lan,

tuổi Lan bằng

6

1tuổi mẹ

Bài giải

Ttuổi của bố, mẹ, Bình và Lan là : 24 x 4 = 96 tuổi

Tuổi của bố mẹ và Lan là : 28 x 3 = 84 tuổi

Tuổi của Bình là : 96 – 84 = 12 tuổi

Tuổi Lan là : 12 : 2 = 6 Tuổi

Tuổi mẹ Lan là : 6 x 6 = 36 tuổi

Tuổi Bố Lan là : 96 – ( 36 + 12 + 6 ) = 42 tuổi

Đáp số :

Bài 5: Hai ngời đi xe máy khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm cách nhau 216km

và đi ngợc chiều nhau Họ đi sau 3 giờ thì gặp nhau Hỏi trung bình một giờ mỗi ngời đi đi đợc bao nhiêu ki- lô-mét?

Bài giải

Trung bình mỗi giờ mỗi ngời đi đợc số ki lô mét là :

216 : ( 3 x2 ) = 36 km/giờ