28 ĐỀ THI HSG TOÁN 9

Câu VI 3,0 điểm Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn và có hai đường chéo AC và BD cắtnhau tại I.. Câu III 3,0 điểm Giải các phương trình: đi qua một điểm cố định khi đường thẳng d t

Trang 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THÀNH PHỐ

Câu I (4,0 điểm) Cho phương trình mx2+ 2(m − 2)x + m − 3 = 0, (x là ẩn số)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơnnghiệm dương

Câu II (4,0 điểm) Giải các phương trình:

Câu III (4,0 điểm)

a) Chứng minh rằng: (a2− b2)(c2− d2) ≤ (ac − bd)2 với a, b, c, d là các số thực

Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Trang 3

Câu I (4,0 điểm) Thu gọn các biểu thức:

a) A = (2 −

√a)2− (3 +√a)2

Câu III (3,0 điểm) Cho phương trình: x2− (3m − 2) x + 2m2− 5m − 3 = 0, (x là ẩn số)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương

c) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm

a) Chứng minh OI = OM và tứ giác OM HI là tứ giác nội tiếp được

b) Từ O kẻ đường vuông góc với BI tại K Chứng minh OK = KH Điểm K di động trên đường

cố định nào khi M di động trên OB?

Câu VI (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại B và góc ABC bằng 800 Lấy điểm I trong tam giácABC sao cho góc [IAC bằng 100 và góc [ICA bằng 300 Hãy tính góc [AIB

——— HẾT ———

Trang 4

a) A =

q

8 + 2p10 + 2√

5 +q

: a + 8

a − 1

, với a ≥ 0, a 6= 9

Câu II (4,0 điểm) Cho phương trình (m + 3) x2− 3 (m + 2) x + (m + 2) (m + 4) = 0

a) Định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

R nhỏ hơn AH Từ B vẽ tiếp tuyến BM với đường tròn (A; R) với M là tiếp điểm Đường thẳng

HM cắt đường tròn (A; R) tại điểm thứ nhì là N

a) Chứng minh hai tam giác ABC và M AN đồng dạng với nhau

b) Chứng minh đường thẳng CN là tiếp tuyến của đường tròn (A; R)

Câu VI (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn và có hai đường chéo AC và BD cắtnhau tại I Gọi E, F, G, H lần lượt là hình chiếu của I trên AB, BC, CD, DA Chứng minhrằng tứ giác EF GH ngoại tiếp một đường tròn

——— HẾT ———

Trang 5

a) A =

2r

3 −q

2√ab

√b

a −√

ab+

√b

a +√ab

! , với a > 0, b > 0, a 6= b

Câu II (4,0 điểm) Cho phương trình (m + 3) x2+ 3 (m − 1) x + (m − 1) (m + 4) = 0

a) Định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Định m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm

Câu III (3,0 điểm) Giải các phương trình:

đi qua một điểm cố định khi đường thẳng (d) thay đổi

Câu VI (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax Từ M thuộc Ax kẻ tiếptuyến thứ hai M C với đường tròn (O) với C là tiếp điểm Đường vuông góc với AB tại O cắt BC

ở N

a) Có nhận xét gì về tứ giác OM N B ?

b) Trực tâm H của tam giác M AC di động trên đường cố định nào khi M di động trên Ax ?

——— HẾT ———

Trang 6

Từ A hạ AH vuông góc BC và vẽ đường tròn đường kính HA cắt AB; AC ở M và N

——— HẾT ———

Trang 7

Câu I (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức:

A =

√4x3− 16x2+ 21x − 9

Câu III (5,0 điểm)

a) Tìm 7 số nguyên dương sao cho tích các bình phương của chúng bằng 2 lần tổng các bìnhphương của chúng

b) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giátrị nhỏ nhất của:

B = (4x2+ 3y)(4y2+ 3x) + 25xy

Câu IV (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC

a) Vẽ về phía ngoài tam giác ABC nửa đường tròn (I) đường kính AB và nửa đường tròn (K)đường kính AC Đường thẳng qua A cắt hai nửa đường tròn (I), (K) lần lượt tại các điểm

M, N (M khác A, B và N khác A, C) Tính các góc của tam giác ABC khi diện tích tamgiác CAN bằng ba lần diện tích tam giác AM B

b) Cho AB < AC và điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = AB Gọi điểm E là hình chiếu củađiểm D trên đường thẳng BC và điểm F là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng DE Sosánh AF

AB và

AF

AC với cos \AEB.

Câu V (2,0 điểm) Hai người chơi trò chơi như sau: Trong hộp có 311 viên bi, lần lượt từng người lấy

k viên bi, với k ∈ {1; 2; 3} Người thắng là người lấy được viên bi cuối cùng trong hộp bi đó.a) Hỏi người thứ nhất hay người thứ hai thắng và chiến thuật chơi thế nào để thắng ?

b) Cũng hỏi như câu trên, khi đề bài thay 311 viên bi bằng n viên bi, với n là số nguyên dương?

——— HẾT ———

Trang 8

Câu I (4,0 điểm) Tính giá trị của biểu thức: A = (x31+ x3− x2010)2009với x =3(2 +

√5).p3 17√

5 − 38

√

5 +p14 − 6√

5

Câu IV (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Gọi D là một điểmbất kì thuộc cung nhỏ AC (D khác A và C) Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ Dtới các đường thẳng AB, AC Gọi P là giao điểm các đường thẳng M N, BC

a) Chứng minh DP và BC vuông góc với nhau

b) Đường tròn (I; r) nội tiếp tam giác ABC Tính IO với R = 5cm, r = 1, 6cm

Câu V (2,0 điểm) Tìm các số x, y nguyên dương để C là số nguyên dương với

C =x

3+ x

xy − 1.

——— HẾT ———

Trang 9

a) Giải phương trình khi m = 3

b) Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có nghiệm lớn hơn 1

Câu IV (4,0 điểm) Cho đường tròn (O; 3) và điểm A cố định (A khác O) Chứng minh:

a) Nếu HK là đường kính của đường tròn (O; 3) thì AH ≥ 3 hoặc AK ≥ 3

b) Tồn tại hình thang cân M N P Q nội tiếp đường tròn (O; 3) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

M A + N A + P A + QA > 12 và M N + N P + P Q + QM < 12

Câu V (4,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và C là điểm chính giữa của cung

AB Lấy điểm M tuỳ ý trên cung BC (M khác B) Gọi N là giao điểm của hai tia OC và BM Gọi H, I lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AO, AM Gọi K là giao điểm các đường thẳng

BM và HI

a) Chứng minh các điểm A, H, K và N cùng nằm trên một đường tròn

b) Xác định vị trí của điểm M trên cung BC (M khác B) sao cho AK = R

√10

2 .

——— HẾT ———

Trang 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH

Câu I (4,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức sau: A =

r

8 +√15

r

8 −√15

2 .b) Giải phương trình: x

3

√

16 − x2 + x2− 16 = 0

Câu II (4,0 điểm)

a) Chứng minh rằng n3− n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n lẻ

b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:

a2+ b2+ c2= (a − b)2+ (b − c)2+ (c − a)2.Chứng minh rằng nếu c ≥ a và c ≥ b thì c ≥ a + b

Câu III (3,0 điểm) Cho phương trình x2− (m − 1)x − 6 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệmphân biệt x1và x2 sao cho biểu thức A = x2− 9

a) Chứng minh ba điểm I, O, M thẳng hàng

b) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác M CD không đổi

Câu V (3,0 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn xy = 1 Chứng minh rằng:

(x + y + 1)(x2+ y2) + 4

x + y ≥ 8

——— HẾT ———

Trang 11

5 −√24

a) Biến đổi phương trình về dạng phương trình tích

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm dương.Câu IV (6,0 điểm)

1 Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau Chứng minh:

Câu V (2,5 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z Chứng minh rằng:

Trang 12

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2thỏa mãn hệ thức

Câu IV (6,0 điểm) Cho tam giác ABC, điểm M ở trong tam giác, các đường thẳng AM, BM, CM ,lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại P, R, Q Kí hiệu SABC là diện tích tam giác ABC.a) Chứng minh rằng: M A.BC + M B.CA + M C.AB ≥ 4SABC

b) Xác định vị trí của M để diện tích tam giác P QR lớn nhất

——— HẾT ———

Trang 13

Câu I (3,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên (m, n) sao cho 2n3− mn2− 3n2+ 14n − 7m − 5 = 0

Câu II (3,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực khác 0 và 1

a) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất

b) Chứng minh rằng khi M thay đổi, HN luôn đi qua một điểm cố định

Câu VI (3,0 điểm) Chứng minh rằng:

Trang 14

x − 1

1 + √1x

với x > 0; x 6= 1 Rút gọn biểuthức A và tìm các giá trị nguyên của x để A là số nguyên

a) Chứng minh ba đường phân giác của ba góc \BAC, \BDE, \DEC đồng quy

b) Cho AB có độ dài 1 đơn vị Chứng minh M A + M B < 4

3.Câu V (1,0 điểm) Cho tam giác ABC không cân, vẽ phân giác trong Ax của góc A Vẽ đường thẳng(d) là trung trực của đoạn thẳng BC Gọi E là giao của Ax và (d) Chứng minh E nằm ngoài tamgiác ABC

Câu VI (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa điều kiện xyz = 1 Chứng minh rằng:

Trang 15

Câu I (2,0 điểm) Cho biểu thức M = a + 1√

b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N = 6

M ∈ Z ?Câu II (2,0 điểm)

a) Cho các hàm số bậc nhất y = 0.5x + 3; y = 6 − x; y = mx có đồ thị lần lượt là các đườngthẳng (d1) ; (d2) ; (∆m) Với những giá trị nào của m thì đường thẳng (∆m) cắt hai đườngthẳng (d1) ; (d2) lần lượt tại hai điểm A, B sao cho điểm A có hoành độ âm còn điểm B cóhoành độ dương?

b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M, N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt trên trụchoành và trục tung sao cho đường thẳng M N luôn đi qua điểm cố định I(1; 2) Tìm hệ thứcliên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất cảu biểu thức

Q = 1

OM2 + 1

ON2.Câu III (2,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình:

(17x + 2y = 2011 |xy|

x − 2y = 3xy .b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho√

a) Chứng minh A, E, F thẳng hàng

b) Chứng minh rằng tích AM.AN không đổi

c) Chứng minh A là trọng tâm tam giác BN F khi và chỉ khi N F ngắn nhất

Câu V (1,0 điểm) Tìm 3 chữ số tận cùng của tích mười hai số nguyên dương đầu tiên

——— HẾT ———

Trang 16

.Tính giá trị của biểu thức P khi x = 4 − 2√

Câu III (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số y = |x| có đồ thị là (G) Trên đồ thị(G) lấy hai điểm A, B có hoành độ lần lượt là −1 và 3

a) Vẽ đồ thị (G) và viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B

b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d)

Câu IV (3,0 điểm)

a) Cho một điểm P ngoài đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến P A với đường tròn Từ trung điểm

B của đoạn P A kẻ cát tuyến BCD (C nằm giữa B và D) Các đường thẳng P C và P D lầnlượt cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E và F Chứng minh DCE = DP E + CAF và tamgiác P BC đồng dạng với tam giác DBP

b) Cho tam giác ABC thỏa điều kiện BC > CA > AB Trong tam giác ABC lấy điểm O tùy ý.Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm O trên các đường thẳng BC, CA, AB.Chứng minh rằng:

OI + OJ + OK < BC

——— HẾT ———

Trang 17

(1 −√x)2

Tính giá trị biểu thức P khi x = √ 1

2 − 1.b) Đặt a =p3 2 −√

b) M là trung điểm của đoạn DE

——— HẾT ———

Trang 18

x.b) Cho x, y, z là các số thực khác 0 thỏa mãn: xy + yz + zx = 0 Tính giá trị của biểu thức:

M = yz

x2 +zx

y2 +xy

z2.Câu III (4,5 điểm)

a) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + zx = 6 Chứng minh rằng:

a) Chứng minh rằng: N P song song với BC

b) Gọi giao điểm của đường thẳng M N và đường thẳng OI là K Xác định vị trí của điểm Atrên tia đối của tia BC để tam giác ON K có diện tích lớn nhất

——— HẾT ———

Trang 19

x2+ y2+ z2≥ 1

3.Câu IV (6,0 điểm) Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O) Qua A vẽ đường thẳng cắt (O) tại B, C(B nằm giữa A và C) và các tiếp tuyến AM, AN (M, N là các tiếp điểm và M thuộc nửa mặtphẳng bờ AC có chứa O) Gọi H là trung điểm của BC

a) Chứng minh rằng AM2= AB.AC

b) Gọi I là giao điểm của AO với M N Chứng minh rằng IN là tia phân giác của góc [BIC

——— HẾT ———

Trang 20

a) Cho các số nguyên a1, a2, a3, , an Đặt S = a3+ a3+ + a3

n và P = a1+ a2+ + an.Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6

N và P lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB và AC

Câu V (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung

BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C) Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắtđường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F Chứngminh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định

——— HẾT ———

Trang 21

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2+ n + 2 không chia hết cho 3

b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2+ 17 là một số chính phương

2y + x = y2

Câu III (3,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =4x + 3

x2+ 1.Câu IV (4,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao

BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H

a) Chứng minh rằng BH.BE + CH.CF = BC2

b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh rằng K ∈ (O)

Câu V (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung

BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C) Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắtđường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F Chứngminh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định

——— HẾT ———

Trang 22

Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB Vẽ các tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm

O (D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O0) Hai đường thẳng AD và AE cắtđường tròn tâm O0 lần lượt tại M và N (M và N khác với điểm A) Đường thẳng DE cắt M N tại

I Chứng minh rằng:

a) M I.BE = BI.AE

b) Khi điểm C thay đổi thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định

Câu V (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD Điểm M di động trên đoạn

AD Gọi N và P lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và AC Vẽ N H⊥P D tại H Xác định

vị trí của điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất

——— HẾT ———

Trang 23

BC Chứng minh rằng:

a) M A = M B + M C

b) M A2+ M B2+ M C2= 6R2

Câu V (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD Điểm M di động trên đoạn

AD Gọi N và P lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và AC Vẽ N H⊥P D tại H Xác định

vị trí của điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất

——— HẾT ———

Trang 24

3 +1

b +

1c

3 + 1

c +

1a

Trong đó các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c ≤ 3

2.Câu IV (5,5 điểm) Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc nhau E là một điểmtrên cung nhỏ AD (E không trùng với A và D) Nối EC cắt OA tại M ; nối EB cắt OD tại N a) Chứng minh rằng: AM.ED =√

——— HẾT ———

Định dạng
Số trang	29
Dung lượng	5,2 MB