Chứng minh BĐT nhờ Tích phân, định lý Lagrang

Bài 1: Chứng minh a b lna a b (1), a b, , 0 b a

− < < − ∀ ∈¡ < <

Cách 1: Sử dụng định lý Lagrang

Ta thấy (1) có dạng: 1 lna lnb 1

−

< <

− , biểu thức

lna lnb

a b

−

− gợi ý cho ta sử dụng định lý Lagrang Xét hàm số ( ) lnf x = xtrên [ ; ]b a Vì ( ) f x liên tục trên [ ; ] b a và khả vi trên khoảng ( ; ) b a nên theo

định lý Lagrang, c ( ; ) : '( )b a f c f a( ) f b( ) 1 lna lnb

Vì c ( ; )b a 1 1 1 1 lna lnb 1 a b lna a b

∈ ⇒ < < ⇒ < < ⇔ < <

Cách 2: Sử dụng tích phân

Ta thấy (1) có dạng: 1(b a) lna lnb 1(a b)

a − < − <b − , gợi ý sử dụng tích phân Với x ( ; )b a 1 1 1

∀ ∈ ⇒ < < Hàm số f x( ) 1

x

= liên tục trên [ ; ]b a nên ta có:

a b

< < ⇒ < < ⇒ < − <

Một số bài tương tự:

Vận dụng kết quả bài 1, ta có kết quả sau:

Bài 2: Chứng minh

1

*

+

 +  < < +  ∀ ∈

Hướng dẫn:

1

n

+

⇔ < <

+ , có dạng của (1) với a n= +1,b n=

Một số bài tương tự:

Bài 3: Chứng minh rằng: , 0; ,

2

a b  π  a b

∀ ∈ ÷ <

  , ta có: cos2 cos2

tgb tga

− < − < −

Hướng dẫn:

Cách 1: Sử dụng tích phân

Ta có 12 12 12 ; ,0

cos a cos x cos b x a x b 2

π

< < ∀ < < < <

Suy ra: 12 12 12

a < x < b

Cách 2: Sử dụng định lý Lagrang

tgb tga

−

< <

−

Bài 4: Cho x> >y 0 Chứng minh rằng:

2006y2005(x y− )<x2006−y2006<2006x2005(x y− )

Hướng dẫn:

Cách 1: Sử dụng tích phân

y dt< t dt< x dt

Cách 2: Sử dụng định lý Lagrang

Biến đổi về

2006 2006

x y

−

< <

−

1

x

x < + < ∀ >

+

Cách 1: Sử dụng tích phân

x < t <

Cách 2: Sử dụng định lý Lagrang

Biến đổi về: 1 ln(1 ) ln(1 0) 1

x

Bài 6: Chứng minh:

1

1

x

+

 +  > +  ∀ >

Hướng dẫn:

1

⇔ +  + ÷>  + ÷⇔ + >

+

1 ( ) ln 1

f x x

x

=  + ÷

Ta chứng minh rằng ( )f x là hàm số đồng biến trong khoảng (0;+∞) Thật vậy:

Mặt khác theo kết quả của bài 1 với a x= +1,b x= Ta có: 1 ln 1 1 1 ln( 1) ln

x

+

< < ⇒ < + −

Do đó '( ) 0,f x > ∀ >x 0

Hàm f đồng biến nên ( f x+ >1) f x( )./

Bài 7: Chứng minh rằng 2 1

ln(1 1 x ) lnx

x

+ + < + (7) với mọi x∈(0;+∞)

Hướng dẫn:

(7)

2

2

+ + < ⇔ + + <

1

t x

= , bài toán đưa về chứng minh ln(t+ 1+t2)<t

, ∀ ∈t (0;+∞) (7.1)

Cách 1: (Sử dụng tích phân): Ta có

0

t

x < ∀ > ⇒ x < ∀ > ⇒ + + < ⇒ + + <

Cách 2: (Sử dụng định lý Lagrang): Biến đổi (7.1) về dạng:

ln( 1 ) ln(0 1 0 )

1 0

t

+ + − + + <

− Xét hàm số f x( ) ln(= x+ 1+x2) trên [0; ]t Ta thấy ( ) f x liên tục trên [0; ] t , khả vi trên (0; ) t nên

2

0

(0; ) : '( )

0 1

x

−

Vì

2

2 2

0

1

t x

+ +

< ⇒ < ⇔ + + <

1+xln(x+ 1+x )> 1+x ,∀ >x 0 (8) với mọi x∈(0;+∞)

Hướng dẫn:

(8)

x

+ +

2

Cách 1: Sử dụng tích phân

, : 0

x < t ∀ < < ⇒ x < t

0

1

x

∫

Cách 2: Sử dụng định lý Lagrang

Xét hàm số f t( ) ln(= t+ 1+t2) trên [0; ]x Do ( ) f x liên tục trên [0; ] x và khả vi trên (0; ) x Do đó

tòn tại

2

0

(0; ) : '( )

0 1

x

− +

Do 0 2 2 2

0

(0; )

2

2

+ + >

+ +