Do đó BĐT cần chứng minh tơng đơng với.
Trang 11 Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 Chứng minh rằng :
2 2
2
2 +b +c +d +a b+c +b c+d +d c+a ≥
a
Hửụựng daón:
Ta coự: a2 +b2 ≥2ab
c2 +d2 ≥2cd
Do abcd =1 nên cd =
ab
1 (dùng
2
1
1 ≥ +
x
Ta có 2 + 2 + 2 ≥2( + )=2( + 1 )≥4
ab ab cd
ab c
b
a
Mặt khác: a(b+c) (+b c+d) (+d c+a)=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
2 2 2 1 1
+ +
+
+
bc
bc ac
ac ab
ab
Vaọy a2 +b2 +c2 +d2 +a(b+c) (+b c+d) (+d c+a)≥10
2 Cho xy ≥ 1 Chứng minh rằng : x y ≥ +xy
+
+
2 1
1 1
1
2 2
Hửụựng daón
Ta có
xy y
2 1
1 1
1
2 2
1
1 1
1 1
1 1
1
2 2
+
− +
+
+
−
⇔ ( ) ( ) (1 ).(1 ) 0
) ( 1
1
) (
2
+ +
− +
+ +
−
xy y
y x y xy
x
x y
x
1 2 2
2
≥ + +
+
−
−
xy y
x
xy x
y
BĐT cuối này đúng do xy > 1 Vậy ta có điều phải chứng minh
3 Cho 0 < a, b,c <1 Chứng minh rằng:
2a3+2b3+2c3 <3+a2b+b2c+c2a
Hửụựng daón
a c c b b a c
b
Do a <1 ⇒ a2<1 và b <1
Nên (1−a2)(.1−b2)>0⇒1+a2b−a2−b>0
Hay 1+a2b>a2+b
Mặt khác 0 <a,b <1
⇒ a2 >a3 ; b>b3
⇒ 1+a2 >a3+b3
Vậy a3+b3 <1+a2b
Tơng tự :
a c
c
a
c b
c
b
2
3
3
2
3
3
1
1
+
<
+
+
<
+
⇒ 2a3+2b3+2c3 <3+a2b+b2c+c2a
4 Cho a ,b ,c ,d > 0 Chứng minh rằng :
Trang 22 a b b c c d d a 3
Hửụựng daón
Vì a ,b ,c ,d > 0 nên ta có:
+ + < + < + +
Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có :
5 Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:
1 a b c 2
b c c a a b
Hửụựng daón
Vì a ,b ,c là số đo ba cạnh của tam giác nên ta có a,b,c > 0
Và a < b +c ; b <a+c ; c < a+b
2
+
a b c<b c <a b c
Tơng tự :
2
a b c <a c < a b c
2
a b c <b a <a b c
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có : 1 a b c 2
b c c a a b
6 Cho a,b,c là các số dơng Chứng minh rằng ( ) 1 1 1≥9
+ +
c b a c b a
Hửụựng daón
⇔1+ + + +1+ + + +1≥9
a
c a
c c
b a
b c
a
b
a
+ +
+ +
+
+
b
c c
b a
c c
a a
b
b
a
Trang 3aựp dụng BĐT phụ + ≥2
x
y y
x
Với x,y > 0
Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng( ) 1 1 1≥9
+ +
c b a c b a
7 Cho abc = 1 và a3 >36 Chứng minh rằng +
3
2
a
b2+c2> ab+bc+ac
Hửụựng daón
Ta có hiệu: +
3
2
a b2+c2- ab- bc – ac= +
4
2
12
2
a b2+c2- ab- bc – ac = ( +
4
2
a b2+c2- ab– ac+ 2bc) + −
12
2
=(
2
a-b- c)2 +
a
abc a
12
36
3 −
=(
2
a-b- c)2 +
a
abc a
12
36
3 − >0 (vì abc=1 và a3 > 36 nên a >0 )
3
2
a b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh
8 a) Chứng minh rằng : x4 +y4 +z2 +1≥2x.(xy2 −x+z+1)
b) Chứng minh rằng với mọi số thực a , b, c ta có :
a2+5b2−4ab+2a−6b+3>0
c) Chứng minh rằng với mọi số thực a , b, c ta có :
a2+2b2−2ab+2a−4b+2≥0
Hửụựng daón
a) Xét hiệu H = x4 + y4 +z2 +1−2x2y2 +2x2 −2xz−2x
= ( 2 2)2 ( ) (2 )2
1
− +
− +
x
H≥0 ta có điều phải chứng minh
b) Vế trái có thể viết H = (a−2b+1) (2 + b−1)2 +1
⇒ H > 0 ta có điều phải chứng minh
c) Vế trái có thể viết
H = ( ) (2 )2
1
+
a
⇒ H ≥ 0 ta có điều phải chứng minh
9 Cho x > y và xy =1 Chứng minh rằng ( )
( )2 8
2 2 2
≥
−
+
y x
y x
Hửụựng daón
Ta có x2+y2 =(x−y)2+2xy=(x−y)2+2 (vì xy = 1)
⇒ (x2+y2)2 =(x−y)4 +4.(x−y)2+4
Trang 4Do đó BĐT cần chứng minh tơng đơng với
8 4
y
⇔ (x−y)4−4(x−y)2+4≥0
⇔ [ (x−y)2 −2]2 ≥0 BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh
10 Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0
Chứng minh rằng a > 0 , b > 0 , c > 0
Hửụựng daón
Giả sử a ≤ 0 thì từ abc > 0 ⇒ a≠ 0 do đó a < 0
Mà abc > 0 và a < 0 ⇒ cb < 0
Từ ab+bc+ca > 0 ⇒ a(b+c) > -bc > 0
Vì a < 0 mà a(b +c) > 0 ⇒ b + c < 0
a < 0 và b +c < 0 ⇒ a + b +c < 0 trái giả thiết a+b+c > 0
Vậy a > 0 tơng tự ta có b > 0 , c > 0
11 Chứng minh rằng f( )x,y =x2y4+2(x2+2).y2+4xy+x2 >4xy3
Hửụựng daón
Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với:
4
2y + x + y + xy+x − xy >
x
4
)
1
( 2+ 2 2 + − 2 + 2 >
4 2 − 2 2− 2 2 + 2 =− 2 <
=
Vì a = (y2+1)2 >0 vậy f( )x,y >0(đpcm)
12 Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng
2
3
≥ +
+ +
+
c a c
b c b
Hửụựng daón
ẹặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b
ta có a=
2
x z
y+ − ,b =
2
y x
z+ − , c =
2
z y
(1) ⇔
z
z y x y
y x z x
x z y
2 2
2
− + +
− + +
− +
2
3
≥
⇔ + −1+ + −1+ + −1≥3
z
y z
x y
z y
x x
z
x
y
⇔( + )+( + )+( + )≥6
z
y y
z z
x x
z y
x
x
y
Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( + ≥2;
y
x x
y
+ ≥2
z
x x
z
y y
z
nên ta có điều phải chứng minh
2
1 2
1 2
1
2 2
+
+ +
+
a
Hửụựng daón
ẹặt x = a2 +2bc ; y = b2+2ac ; z = c2 +2ab
Ta có x+y+z=(a+b+c)2 <1
Trang 5⇔ 1+1+1≥9
z
y
x Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0
Theo bất đẳng thức Côsi ta có x+y+z≥3.3 xyz vaứ + + ≥
z y x
1 1 1
3 3 1
xyz
+
+
z y x z
y
x
Mà x+y+z < 1
Vậy 1+1 +1≥9
z y
14 Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d Chứng minh rằng ab >ad+bc
Hửụựng daón
Tacó
+
>
+
>
d c
b
d c
a
⇒
>
>
−
>
>
−
0
0
c d b
d c a
⇒ (a-c)(b-d) > cd
⇔ ab-ad-bc+cd >cd
⇔ ab> ad+bc (điều phải chứng minh)
15 Cho a,b,c>0 thỏa mãn
3
5
2 2
2 +b +c =
a b c+ − <abc
Hửụựng daón
Ta có :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 〉 0
⇒ ac+bc-ab 〈
2
1( a2+b2+c2)
⇒ ac+bc-ab
6
5
≤ 〈 1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có
c b a
1 1
1 + − 〈
abc
1