HSG TOAN QUYNH LUU 2012-2013

b Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị là một số nguyên.. Qua O kẻ một đường thẳng song song với BC cắt tia Ax tại M và cắt AC tại F.. a Chứng minh rằng MC là tiếp tuyến của nữa đườn

PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

LỚP 9 Năm học 2012-2013

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán - Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1: ( 2,0 điểm)

Cho biểu thức: A x 3 x 4 5

a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị là một số nguyên

Câu 2: ( 2,0 điểm)

a) Chứng minh rằng: 3 2

a 6a 11a6 luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên a b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P5x 9y 12xy 24x 48y 82 Câu 3: (2,0 điểm)

a) Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn:

2 y y2x 1 b) Giải phương trình:

(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 24 0 Câu 4: (1,0 điểm)

Cho các số thực dương x, y, z Chứng minh rằng:

 

Câu 5: ( 2,0 điểm)

Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB, Kẻ tia Ax vuông góc với AB ( tia

Ax và nữa đường tròn thuộc cùng một nữa mặt phẳng bờ AB) Lấy một điểm C bất kì thuộc nữa đường tròn ( C khác A và B) Qua O kẻ một đường thẳng song song với BC cắt tia Ax tại M và cắt AC tại F

a) Chứng minh rằng MC là tiếp tuyến của nữa đường tròn tâm O

b) BM cắt nữa đường tròn tại D Chứng minh tam giác MDF đồng dạng với tam giác MOB

Câu 6: (1,0 điểm)

Cho tam giác ABC có  0

A90 , có  0

B20 , đường phân giác BI Vẽ góc

ACH30 ( H thuộc cạnh AB) Tính số đo góc CHI

-Hết -

ĐÁP ÁN Câu 1: ( 2,0 điểm)

x 4

x 2 0









 



x 3 x 4 5 ( x 3)( x 3) ( x 4)( x 2) 5

A

x 9 x 6 x 8 5 2x 6 x 4 (2 x 2)( x 2) 2 x 2

( x 3)( x 2) ( x 3)( x 2) ( x 3)( x 2) x 3

b) A 2 x 2 2( x 3) 8 2 8

Để A có giá trị là một số nguyên thì x  Ư(8) và x3   3 3

Ta có bảng giá trị

x 3 4 8

x 1 25 Kết hợp với ĐKXĐ ta có x1; 25

Câu 2: ( 2,0 điểm)

a 6a 11a 6 a  a 6a 12a 6 (a 1)a(a 1) 6(a   2a 1) chia hết cho 6 ( vì (a 1)a(a 1)  tích của ba số nguyeen liên tiếp nên chia hết cho 6 )

P5x 9y 12xy 24x 48y 82 9y 6y(2x 8) (2x 8)   (2x 8) 5x 24x 82

(3y 2x 8) 4x 32x 64 5x 24x 82 (3y 2x 8) x 8x 18

(3y 2x 8) x 8x 18 (3y 2x 8) (x 4) 2 2

Dấu “=” xảy ra

x 4 3y 2x 8 0

16

3





Vậy GTNN của P=2 khi x 4; y 16

3

Câu 3: (2,0 điểm)

a) Vì 2

y yy(y 1) tích hai số nguyên liên tiếp nên 2

y y số chẵn, 2x+1 số lẻ

Do đó từ đẳng thức 2x y2y2x 1 suy ra 2 số lẻ nên x=0 x

Với x=0 thay vào đẳng thức ta có y(y 1) 0 y 0





   

 

 Vậy (x; y)(0; 0), (0; 1) 

b) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 24 0(x 1)(x 4) (x 2)(x 3) 24 0

x 5x 4 x 5x 6 24 0

       Đặt x25x 5  t

(t 1)(t 1) 24   0t  1 240t 25 t 5; t   5 Với t=5 ta có phương trìnhx25x 5 5x25x0x(x5)0x0; x  5

Với t=-5 ta có phương trìnhx2 5x 5 5 x2 5x 25 25 10 (x 5)2 16



            ( vô nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm x=0; x=-5

Câu 4: (1,0 điểm)

Áp dụng BĐT cô si ta có:

Chứng minh tương tự ta có :

Cộng vế theo theo vế ta được:

 

Câu 5: ( 2,0 điểm)

a) Chứng minh MC là tiếp tuyến của nữa đường tròn (O)

Do OM//BC suy ra MOCOCB ( So le trong) mà OCBOBC ( OCB cân) (1)

Ta lại có AOMCBO ( đồng vị) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AOMMOC

Xét AOC cân tại O có OM phân giác nên OM cũng là trung trực suy ra MC=MA

Ta có AMO = CMO (c.c.c) suy ra   0

MCOMAO90 hay MCOC

Do đó MC là tiếp tuyến của nữa đường tròn (O)

b) Ta có MDA MAB (g.g) MD MA MD.MB MA2 (1)

Xét MAO vuông tại A, đường cao AF nên 2

AM MF.MO (2)

Từ (1) và (2) suy ra MD.MB MF.MO MD MO

Xét MDF và MOB có M chung, MD MO

MF  MB

Do đó MDF MOB (c.g.c)

Câu 6: ( 1,0 điểm)

Từ giả thiết suy ra  0

HCB40 Kẻ đường phân giác CK thì   0

HCKBCK20 Trong tam giác vuông AHC có  0

ACH30 nên AH CH

2



Ta có AH 1 CH 1 BC

    ( Vì CK là phân giác HCB ) (1)

x

O F

D M

C

B A

Kẻ KMBC tại M

  (g.g) suy ra BM AB

BK AC hay

2BK ACHK (2)

Do BI là phân giác ABC nên AI AB

IC BC (3)

Từ (2) và (3) suy ra AI AH CK / /IH

IC HK  Do đó 

CHIHCK20

-Hết -

( Nếu ai có cách giải khác hay thì đưa lên để tham khảo)

M

K

I H

C B

A