Tìm giá trị lớn nhất của d.. Tìm toạ độ đỉnh C của tam giác ABC.. Viết phương trình mặt cầu đi qua A,B có tâm nằm trên mp Oyz và tiếp xúc với mp Oxy.. có thể lập được bao nhiêu số gồm 5
Trang 1
SỞ GD – ĐT NGHỆ AN
Thời gian làm bài: 180 phút; không kể giao đề
Phần chung cho tất cả các thí sinh:( 7 điểm)
Câu 1: (2 điểm): Cho hàm số y =
1
2
x x
1- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2- Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận, là một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị (C) d là khoảng cách từ I đến Tìm giá trị lớn nhất của d.
Câu 2: ( 2 điểm): 1 Giải phương trình: 4cosx- 2cos2x- cos4x = 1
2 Giải phương trình: log 2 8x 3 – 9log 2 4x 2 – 36log 4 2x = 0
Câu 3: ( 1 Điểm): Tính tích phân I =
4
0
2
cos 1
4 sin
x x
Câu 4: ( 1 điểm): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách giữa AB
và SC = a 3
Tính thể tích của khối chóp
Câu 5: (1 điểm): Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn a + b + c = 1 hãy chứng minh:
c ab
ab
+
a bc
bc
+
b ca
ca
2 3
A- Theo chương trình chuẩn
Câu 6A: ( 2 điểm) : 1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình các cạnh
AB, BC lần lượt là: 5x + 2y + 7 = 0 ; x - 2y – 1 = 0 Phân giác trong của góc A có phương trình là x + y – 1 = 0 (d) Tìm toạ độ đỉnh C của tam giác ABC.
2 Trong không gian Oxyz cho điểm A(- 1; -1; 4), B( 1; -1; 2) Viết phương trình mặt cầu đi qua A,B có tâm nằm trên mp (Oyz) và tiếp xúc với mp (Oxy).
Câu 7A: (1 điểm): Với các chữ số 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác
nhau trong đó hai chữ số 2, 3 không đứng cạnh nhau.
B- Theo chương trình nâng cao:
Câu 6B: ( 2 điểm): 1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích S =
2
3
, toạ
độ các đỉnh A (2;-3), B(3; -2) và trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng có phương trình 3x – y – 8 = 0 Tìm toạ độ đỉnh C.
2 Trong không gian Oxyz cho điểm A (- 1; -1; 4), B( 1; -1; 2) Viết phương trình mặt cầu đi qua A,B có tâm nằm trên mp ( Oyz) và tiếp xúc với mp ( Oxy)
Câu 7B: ( 1 điểm): Giải hệ phương trình
y x y x y x
4 2
9
2 2 3 3
_ Hết_
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2011
Trang 2Câu Nội dung Điểm Câu1
1.1đ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y= 2
1
x x
a tập xác định D = R \ {-1}
b Sự biến thiên
y’ =
2
1
1
x < 0 x -1 hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng(- ; -1 ) và ( -1 ; + )
; 1 lim
y
y
x Đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng có phương trình y = 1
; lim
1
y
y
xlim 1
đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng x = -1
x - -1 +
bảng biến thiên thiên y,
+
y 1 1
-
Đồ thị : cắt trục ox tại (-2 ; 0 ) y cắt trục oy tại (0 ; 2 ) nhận I ( -1 : 1 ) làm tâm đối xứng
0
x 0,25 0,25 0,25 0,25 2 1đ Câu 2 1 1đ 12 1 x y ; Giao điểm của hai đường tiệm cận là I(-1 ;1) Giả sử M (x0; 1
2 0 x x o
( C ) Phương trình tiếp tuyến với đồ thi hàm số tại M là : y 1 2 1 1 0 0 0 2 0 x x x x x 12 0 0 1 0 2 0 x x y x x x =0 Khoảng cách từ I đến là d = 4 0 0 1 1 1 2 x x = 2 0 2 0 1 1 1 2 x x 2 Vậy GTLN của d bằng 2 khi x0 = 0 hoặc -2 1 Giải phương trình 4cosx -2cos2x –cos4x = 0 4cosx -2 (2cos2x -1 ) –(1- 2 sin22x ) =1 4cosx – 4cos2x +2 -1 +8 sin2xcos2x -1 =0
4cosx ( 1-cosx + 2sin2x cosx ) =0
0,25
0,25
0,5
0,25
Trang 32 1đ
Câu 3
1đ
Câu 4
1đ
cosx = 0 hoặc 1-cosx +2sin2xcosx = 0
x k
2 hoặc cosx ( 2sin2x -1 ) +1=0 Cos3x + cosx =2
1 1 3
x co
x s co
cosx =1 x = k2
vậy phương trình có nghiệm x k
2 ; x = k2
Giải phương trình : log 8 9log 4 2 36log42 0
2 3
2
Điều kiện x > o
(1 ) 3 3 log2 x2 92 2 log2 x 181 log2 x 0
9 log22 x 18 log2 x 27 0
log2x = -1 hoặc log2x =3 x = 1/2 hoặc x=8
Tính tích phân
I = dx
x
x
4
0
2
cos 1
4 sin
x s co
x s co x
4
0
2
2
1
1 2
2 sin 2
đặt t =cos2x suy ra dt = -sin2xdx ; x =0 t = 1 ; x = 4 t = ½
I = - dt
t
t
2
1
1 2
1
2 1
2 1 1
2 1
1 ln 6 4 1
6 4 1
2 4
- 6ln 34
S
M
A D
I O J
B C
Xác định khoảng cách giữa AB và SC
Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB,DC
AB// DC nên AB// (SDC) khoảng cách giữa AB và mp (SCD) là
khoảng cách giữa AB và SC Ta có IJCD , SJCD (v ì S.ABCD
là hình chóp đều ) CD ( SI J ) (1)
Trong mp(SI J ) kẻ IM SJ (2 ) , từ ( 1) IM CD (3)
Từ (2) ,(3) IM (SCD ) IM = a 3
Gọi O là giao điểm của AC và BD SO là đường cao của hình chóp
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25 0,5
0,25
Trang 4Câu 5
1đ
Câu
6A
1 1đ
2 1đ
Thể tích của hình chóp V = Bh
3
1
,trong đó B =4a2 , h =SO
Tính SO Trong tam giác vuông IM J (vuông tại M ) có I M =a 3,
I J = 2a , Gọi là góc IJM ta có sin = 2 3 23
a
a J I
IM
=600
Tam giác SIJ là tam giác đều cạnh 2a SO =a 3
Thể tích hình chóp V =
3
4 3 4 3
a
Do a+b+c =1 ab +c = ab + c ( a+b+c ) ab +c = (a + c) (b +c )
b c a
a c
b
b c a
a c
ab
ab
2
1
Tương tự ta có :
c a b
b a
c
c a b
b a
bc
bc
2
1
a b c
c b
a
a b c
c b
ca
ca
2
1
Từ (1) ,(2) ,(3) suy ra
c ab
ab
a bc
bc
b ca
ca
2
3 Dấu bằng xảy ra khi a=b=c =
3 1
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ :
0 1
0 7 2
5
y x
y x
A (-3 ;
4 )
Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ :
0 1 2
0 7 2 5
y x
y x
B (-1;-1) Gọi D là điểm đối xứng của B qua đường phân giác góc A D
thuộc AC , ta tính được toạ độ điểm D (2 ;2 )
Phương trình đường thẳng AC chính là phương trình đường thẳng đi
qua A (-3; 4) ; D(2 ;2) Phương trình là : 2x +5y -14 =0
Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ
0 1
2
0 14 5
2
y x
y x
C (
3
4
; 3
11
)
Viết phương trình mặt cầu đi qua A (-1;-1;4 ) ; B (1;-1;2) có tâm nằm
trên mp(oyz) và tiếp xúc với mp(oxy)
Gọi I là tâm mặt cầu , vì I thuộc (oyz) nên I có toạ độ I (0;b;c)
Vì mặt cầu đi qua A ,B và tiếp xúc với mp(oxy) nên ta có
IA = IB = d(I , oxy ) 1+(b+1)2 +(c-4)2=1+(b+1)2 +(c-2)2 = c2
c = 3 ; b =-1 7
Vậy có hai mặt cầu thoả mãn bài toán là :
2 1 72 3 2 9
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 5Câu
7A
Câu6
B
1 1đ
2 1 đ
2
x
Có 5! = 120 cách chọn số có 5 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên
Ta tìm các số có 5 chữ số khác nhau mà 2 ,3 đứng cạnh nhau
Nếu xếp hai chữ số 2 ,3 vào hai ô liền nhau (2 đứng trước 3) xem như
1 ô , ba chữ số 4,5,6 vào ba ô còn lại như thế có 4 cách chọn vị trí
cho cặp số 2,3 ; có 3! Cách chọn vị trí cho 3 chữ số còn lại
Vậy có 4 3! = 24 cách chọn số gồm 5 chữ số khác nhau mà 2,3 đứng
cạnh nhau ( 2 đứng trước 3 )
Nếu 3 đứng trước 2 cũng làm tương tự ta được 24 cách lập
Các số thoả mãn yêu cầu bài toán là 120-48=72 số
Gọi I là trung điểm của AB thì I (5/2 ;-5/2) ; G (x0; y0 )là trọng tâm
tam giác ABC ; S , S1 lần lượt là diện tích tam giác ABC , GAB ta có
S1= 31 S = .23 12
3
1
Ta c ó AB = 1 2 1 2 = 2
Đường cao GH của tam giác AGB có độ dài GH=
2
1
2 1
AB S
Đường thẳng AB có phương trình x - y – 5 = 0 (d )
Lại có GH = d (G,d ) =
2
1 2
5
0 0
y x
x0 y0 5 =1 (1)
G nằm trên đường thẳng có phương trình 3x-y -8 =0 nên ta có
3x0 –y0 – 8 =0 (2) T ừ (1),(2) suy ra ( x0, y0 ) = ( -1;-5) hoặc (2;-2)
3OG = OA OB OC 2OI OC
Suy ra C(-2;-10) hoặc C(1 ;1 )
Viết phương trình mặt cầu đi qua A (-1;-1;4 ) ; B (1;-1;2) có tâm nằm
trên mp(oyz) và tiếp xúc với mp(oxy)
Gọi I là tâm mặt cầu , vì I thuộc (oyz) nên I có toạ độ I (0;b;c)
Vì mặt cầu đi qua A ,B và tiếp xúc với mp(oxy) nên ta có
IA = IB = d(I , oxy ) 1+(b+1)2 +(c-4)2=1+(b+1)2 +(c-2)2 = c2
c = 3 ; b =-1 7
Vậy có hai mặt cầu thoả mãn bài toán là :
2 1 72 3 2 9
2
x
Giải hệ
y x y x y x
4 2
9
2 2 3 3
y y x x y x
12 6 3 3
9
2 2
3 3
x3 – 3x2 +3x = y3 +6y2 +12y +9 (x-1)3 = (y +2)3 x =y + 3
2 1 3
9
3 3
y x y
x y x
hoặc
1 2
y x
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
Trang 6Câu
7B
Mọi cách làm khác đúng đều cho điểm theo phần tương ứng
0,25
0,5
0,5
