b Giải phơng trình với m≤0... Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB=6cm, AD=4cm.. Qua M kẻ cỏc đường thẳng d, d' lần lượt song song với AC, BD chỳng cắt cỏc cạnh BC, AD theo thứ tự tại N,Q.. Qua
Trang 1trờng THCS thiết ống đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9
Câu 1 (4,0 điểm)
a) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
x2+5x-6; 25x2- 5x - 49y2- 7y b) Giải và biện luận bất phơng trình theo tham số m: m2x - 2x - 1 ≥ mx + m
Câu 2 (4,0 điểm)
−
−
−
−
−
+
−
−
+ +
− +
−
1
1 1 1 3
1 1 3 : 10
8 1
3
1
x x
x
x x
x x
x
1) Rỳt gọn P
2) Tớnh giỏ trị của P khi x = 4 4
2 2 3
2 2 3 2 2 3
2 2 3
+
−
−
−
+
Câu 3 (2,0 điểm) Cho phơng trình: 2x + |-3x+2m| = 0
a) Chứng minh rằng nếu m > 0 thì phơng trình vô nghiệm
b) Giải phơng trình với m≤0
Câu 4 (3,0 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên k để đa thức P = 5ak+1b7- 11ak+3b4 chia hết cho đơn thức: Q=
k b
a3
3
1
−
b) Chứng minh rằng tổng các lập phơng của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9 c) Chứng minh rằng:
3
5 1
16
1 9
1 4
1
1 + + + + + 2 <
Câu 5 (5,0 điểm) Cho tam giác ABC cố định có diện tích là S Trên các cạnh AB, BC, CA
PA
CP NC
BN MB
a) Chứng minh: SAMP=(k+ 1 ) 2
k
S b) Tính diện tích SMNP theo S và k
c) Với giá trị nào của k thì SMNP đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó theo S?
Câu 6 (2,0 điểm) Cho hai số thực dơng a, b thoả mãn:
a100+b100=a101+b101= a102+b102=2
Tính giá trị của biểu thức: P = a2001+b2001
Trang 2Đề số 2 Câu 1: (4,5đ)
a) Giải và biện luận phơng trình: m2x +3mx- m=-2x+1
b) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả món 1 1a b+ =1c. Chứng minh rằng A= a2 + +b2 c2
là số hữu tỉ.
c) Cho ba số hữu tỉ , ,x y z đụi một phõn biệt Chứng minh rằng:
B
x y y z z x
Câu 2: (3,5đ) Cho biểu thức:
A=
2
3 3
1 2 6 5
9 2
−
+
−
−
+ + +
−
−
x
x x
x x
x
x
a, Tìm điều kiện của x để A có nghĩa
b, Rút gọn A
c, Tìm x nguyên để A là số nguyên
Câu 3: (4,5đ)
a) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 5xy+2x-5y=19
b) Cho a,b,c là ba số dơng chứng minh rằng:
b a
c a c
b c b
a c
c b
b a
a
+
+ +
+ +
≤
≤ +
+ +
+
3 1
1
c)Tìm m để đa thức x3+y3+z3+mxyz chia hết cho x+y+z
Câu 4: (5,5đ)
1 Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB=6cm, AD=4cm M là một điểm bất kỡ trờn cạnh
AB (M khụng trựng với A và B) Qua M kẻ cỏc đường thẳng d, d' lần lượt song song với
AC, BD chỳng cắt cỏc cạnh BC, AD theo thứ tự tại N,Q Qua N kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD tại P Tỡm vị trớ của M trờn AB để diện tớch tứ giỏc MNPQ lớn nhất
2 Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh bằng a Gọi O là tõm hỡnh vuụng ABCD, M là trung điểm cạnh OB, N là trung điểm cạnh CD H là chõn đường cao hạ từ M của tam giỏc AMN Chứng minh AMN là tam giỏc vuụng cõn, từ đú tớnh độ dài đoạn AH theo a
2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
=
− + +
− + +
− +
ca
b a c bc
a c b ab
c b
Chứng minh rằng hai trong ba phân thức đã cho bằng 1, phân thức còn lại bằng -1
Hết
Trang 4Cho hình thang ABCD (AB//CD); AB<CD) Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo Đờng thẳng qua A song song với BC cắt BD ở E và cắt CD tại M; đờng thẳng qua B song song với
AD cắt AC tại F và CD tại N Chứng minh rằng:
a) EF//AB
b) AB2=EF.CD
c) Cho biết SAOB=a2; SCOD=b2 Tính diện tích hình thang ABCD
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, góc B gấp đôi góc C và AH là đơng cao Gọi M là trung điểm của cạnh AC, các đờng thẳng MH và AB cắt nhau tại điểm N Chứng minh rằng:
a) Tam giác MHC là tam giác cân
b) ∠BNH =∠ MCH
c) 2MH2=AB2+AB.BH