Qua M kẻ các đường thẳng d, d' lần lượt song song với AC, BD chúng cắt các cạnh BC, AD theo thứ tự tại N,Q.. Qua N kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD tại P.[r]
Trang 1trờng THCS thiết ống đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9
Câu 1 (4,0 điểm)
a) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
x2+5x-6; 25x2- 5x - 49y2- 7y b) Giải và biện luận bất phơng trình theo tham số m: m2x - 2x - 1 mx + m
Câu 2 (4,0 điểm)
Cho biểu thức P = [ √x −1
3+√x − 1+
x +8
10 − x]:[ 3√x −1+1
x − 3√x −1 −1 −
1
√x −1] 1) Rỳt gọn P
2) Tớnh giỏ trị của P khi x = 4
√3+2√2
3 −2√2−
4
√3− 2√2
3+2√2
Câu 3 (2,0 điểm) Cho phơng trình: 2x + |-3x+2m| = 0
a) Chứng minh rằng nếu m > 0 thì phơng trình vô nghiệm
b) Giải phơng trình với m 0
Câu 4 (3,0 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên k để đa thức P = 5ak+1b7- 11ak+3b4 chia hết cho đơn thức: Q=
−1
3a
3
b k
b) Chứng minh rằng tổng các lập phơng của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9 c) Chứng minh rằng: 1+1
4+
1
9+
1
16 + +
1
n2 < 5
3 .
Câu 5 (5,0 điểm) Cho tam giác ABC cố định có diện tích là S Trên các cạnh AB, BC, CA
lần lợt lấy các điểm M, N, P sao cho: AM
MB =
BN
NC=
CP
PA=k . a) Chứng minh: SAMP=
k +1¿2
¿
k
¿
S
b) Tính diện tích SMNP theo S và k
c) Với giá trị nào của k thì SMNP đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó theo S?
Câu 6 (2,0 điểm) Cho hai số thực dơng a, b thoả mãn:
a100+b100=a101+b101= a102+b102=2
Tính giá trị của biểu thức: P = a2001+b2001
Đề số 2 Câu 1: (4,5đ)
a) Giải và biện luận phơng trình: m2x +3mx- m=-2x+1
b) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả món
1 1 1
.
a b c Chứng minh rằng A a2 b2 c2
Trang 2là số hữu tỉ.
c) Cho ba số hữu tỉ x y z, , đụi một phõn biệt Chứng minh rằng:
B
Câu 2: (3,5đ) Cho biểu thức:
A= 2√x − 9
x −5√x+6+
2√x +1
√x − 3 −
√x +3
√x − 2
a, Tìm điều kiện của x để A có nghĩa
b, Rút gọn A
c, Tìm x nguyên để A là số nguyên
Câu 3: (4,5đ)
a) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 5xy+2x-5y=19
b) Cho a,b,c là ba số dơng chứng minh rằng:
a
1+a2+
b
1+b2+
c
1+c2≤
3
2≤
a b+c+
b
c +a+
c a+b
c)Tìm m để đa thức x3+y3+z3+mxyz chia hết cho x+y+z
Câu 4: (5,5đ)
1 Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB=6cm, AD=4cm M là một điểm bất kỡ trờn cạnh
AB (M khụng trựng với A và B) Qua M kẻ cỏc đường thẳng d, d' lần lượt song song với
AC, BD chỳng cắt cỏc cạnh BC, AD theo thứ tự tại N,Q Qua N kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD tại P Tỡm vị trớ của M trờn AB để diện tớch tứ giỏc MNPQ lớn nhất
2 Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh bằng a Gọi O là tõm hỡnh vuụng ABCD, M là trung điểm cạnh OB, N là trung điểm cạnh CD H là chõn đường cao hạ từ M của tam giỏc AMN Chứng minh AMN là tam giỏc vuụng cõn, từ đú tớnh độ dài đoạn AH theo a
Câu5: (2đ) Cho 3 số a, b, c khác 0 thoả mãn: a2+b2−c2
2 ab +
b2+c2−a2
2 bc +
c2+a2− b2
2ca =1 . Chứng minh rằng hai trong ba phân thức đã cho bằng 1, phân thức còn lại bằng -1
Hết
Trang 3Cho hình thang ABCD (AB//CD); AB<CD) Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo Đờng thẳng qua A song song với BC cắt BD ở E và cắt CD tại M; đờng thẳng qua B song song với
AD cắt AC tại F và CD tại N Chứng minh rằng:
a) EF//AB
b) AB2=EF.CD
c) Cho biết SAOB=a2; SCOD=b2 Tính diện tích hình thang ABCD
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, góc B gấp đôi góc C và AH là đơng cao Gọi M là trung điểm của cạnh AC, các đờng thẳng MH và AB cắt nhau tại điểm N Chứng minh rằng: a) Tam giác MHC là tam giác cân
c) 2MH2=AB2+AB.BH