một số vấn đề về giải tích trên đa tạp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN TOÁN Đề tài: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ GIẢI TÍCH TRÊN ĐA TẠP Luận văn tốt nghiệp Ngành: Sư phạm Toán Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện: Cần

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

KHOA SƯ PHẠM

BỘ MÔN TOÁN

Đề tài:

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ GIẢI TÍCH TRÊN ĐA TẠP

Luận văn tốt nghiệp Ngành: Sư phạm Toán

Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện:

Cần Thơ, Tháng 5 năm 2009

Lời cảm ơn

Được làm luận văn tốt nghiệp để hoàn thành khóa học

là niềm vinh hạnh đối với một sinh viên, càng vinh hạnh hơn khi em được làm luận văn với sự hướng dẫn rất nhiệt tình của Thầy Đặng Văn Thuận Sau một thời gian nổ lực làm việc cuối cùng em đã hoàn thành luận văn Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc và xin gửi những lời chúc tốt lành đến:

o Cha mẹ, gia đình đã yêu thương nuôi nấng em nên người

o Tất cả Thầy cô kính mến đã dạy em từ trước đến nay Đặc biệt, em vô cùng biết ơn Thầy Đặng Văn Thuận đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ

em hoàn thành luận văn tốt nghiệp

o Tất cả các bạn bè, người quen đã nhiệt tình giúp đỡ Đặc biệt là các bạn lớp Sư phạm Toán khóa 31

Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng không thể tránh khỏi những khiếm khuyết Mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu từ quý Thầy cô và các bạn

MỤC LỤC

Ï-Ò

A - PHẦN MỞ ĐẦU……… 1

B - PHẦN NỘI DUNG Chương 0: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0.1 Hàm và tính liên tục ………3

0.2 Phép tính vi phân ……… 3

0.3 Phép tính tích phân ……… 6

Chương 1: TÍCH PHÂN THEO CÁC XÍCH 1.1 Một số kiến thức cơ bản về đại số ……… 9

1.2 Một số kiến thức cơ bản về hình học ……… 22

1.3 Trường và dạng ……… 24

1.4 Tích phân theo các xích ……… 29

1.5 Bổ đề Poăngcare ……….31

Bài tập chương 1 ………33

Chương 2: TÍCH PHÂN TRÊN ĐA TẠP 2.1 Đa tạp khả vi ……… 40

2.2 Trường và dạng trên đa tạp ………46

2.3 Định lý Stoke trên đa tạp ………52

2.4 Phần tử thể tích ……… 55

2.5 Các định lý cổ điển ……….58

Bài tập chương 2 ………60

C - PHẦN KẾT LUẬN ……….69

D - TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… 70

đã được trình bày lại một cách chính xác, rõ ràng, chặt chẽ và hiện đại Quyển sách

Giải tích trên đa tạp của M.Xpivak khá hay và khá nổi tiếng trình bày các vấn đề của

Giải tích theo quan điểm hiện đại Do các vấn đề ông viết khá cô đọng nên gây một số

khó khăn cho người đọc Mặt khác tài liệu tham khảo về Giải tích trên đa tạp bằng

tiếng Việt khá hạn hẹp Nhờ sự gợi ý và tận tình hướng dẫn của Thầy Đặng Văn Thuận

nên em đã chọn đề tài “Một số vấn đề về Giải tích trên đa tạp” để hoàn thành luận văn

tốt nghiệp

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Luận văn nhằm tìm hiểu lý thuyết về tích phân theo các xích; tích phân trên

đa tạp và giải các bài tập cơ bản và điển hình Ngoài ra còn giúp em có cơ hội củng cố lại những thức về Hình học, Đại số, đặc biệt là Giải tích hàm nhiều biến và giúp em làm quen với cách nghiên cứu khoa học một vấn đề của Toán học

III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Các phương pháp được sử dụng trong quá trình hoàn thành luận văn là phân tích, tổng hợp, so sánh Tìm kiếm, tổng hợp các tài liệu về Giải tích trên đa tạp Sau đó, phân tích và so sánh để trình bày rõ ràng, hợp logic các vấn đề

IV NỘI DUNG LUẬN VĂN

Luận văn trình bày một số vấn đề về Giải tích trên đa tạp gồm các phần sau:

Chương 0: Kiến thức chuẩn bị

Chương này chủ yếu trình bày các khái niệm và định lý cơ bản về phép tính

vi phân và phép tính tích phân làm nền tảng cho các chương sau

Chương 1: Tích phân theo các xích

Chương này trình bày các vấn đề cơ bản về Đại số như tích tenxơ trên không gian vectơ, luân phiên, phép nhân ngoài, định hướng, phần tử thể tích, tích vectơ trong không gian R ; các vấn đề cơ bản về Hình học như hình lập phương kỳ dị, n

xích kỳ dị; trường và dạng; tích phân theo các xích, định lý Stoke và bổ đề Poăngcare; một số bài tập cơ bản và điển hình

Chương 2: Tích phân trên đa tạp

Chương này trình bày khái niệm đa tạp, đa tạp có biên; trường và dạng trên

đa tạp; tích phân trên đa tạp, định lý Stoke trên đa tạp; các định lý cổ điển như Định lý Green, Định lý Gauss-Ostrogradski…; một số bài tập cơ bản và điển hình

B - PHẦN NỘI DUNG

Chương 0: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

0.1 HÀM VÀ TÍNH LIÊN TỤC Định nghĩa 0.1.1

f + , − , , được xác định giống như trường hợp một chiều Nếu n m

luôn xác định duy nhất hàm n m

A

f : ⊂R →R Ta ký hiệu f =(f1, ,f m) Đặc biệt nếu π:Rn →Rn là ánh xạ đồng nhất, tức π( )x = x thì các hàm tọa độ π được gọi là i phép chiếu thứ i

f :R →R được gọi là khả vi tại n

a∈R nếu tồn tại duy nhất ánh xạ

h a f h a f

h

λ

Khi đó ánh xạ λ được gọi là đạo hàm của hàm f tại a , ký hiệu là Df ( )a

Ta có thể định nghĩa đạo hàm Df ( )a đối với cả những hàm f chỉ xác định

trên một tập mở chứa a Ta nói rằng f khả vi trên tập A nếu f khả vi tại mọi điểm A

a∈ Hàm f :A⊂Rn →Rm được gọi là khả vi nếu nó có thể mở rộng thành một hàm khả vi trên một tập mở nào đó chứa A

Định lý 0.2.1

f :R →R là hàm hằng thì ( ) n

a a

Df = 0,∀ ∈ R

f :R →R là ánh xạ tuyến tính thì ( ) n

a f a

a Dg a f a Df a g a g

a= 1, , ∈R Nếu tồn tại

h

a a f a h a a

h

, ,, ,

, ,

0

−+

→

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm riêng thứ i của hàm f , ký hiệu là D i f( )a

Nếu g:R→R xác định bởi công thức g( ) (x = f a1, ,x, ,a n) thì đạo hàm

thông thường của hàm g tại điểm a chính là đạo hàm riêng i D i f( )a , tức là

D ij = j i

Nếu D ij f và D ji f liên tục trên một tập mở chứa a thì D ij f =D ji f Hàm

f

D ij được gọi là đạo hàm riêng (hỗn hợp) cấp hai của hàm f Đạo hàm riêng

cấp cao được định nghĩa tương tự Với điều kiện thích hợp ta có thể chứng minh sự

bằng nhau của các đao hàm riêng (hỗn hợp) cấp cao Nếu f có đạo hàm riêng mọi cấp

Cho hàm f :Rn →Rm khả vi tại a∈Rn Ma trận của ánh xạ tuyến tính Df( )a

đối với các cơ sở chính tắc của n

R được gọi là ma trận Jacôbi của hàm f

tại a , ký hiệu là f '( )a Do vậy ta có

f D a f D

a f D a

f D a f D

a f D a

f D a f D a Df a f

n n n

n

n n

2 2

2 2

1

1 1

2 1

Giả sử v( )S là thể tích của hình hộp S Tổng trên và tổng dưới của f đối với

hình hộp được định nghĩa lần lượt bởi các công thức sau

( )=∑ ( ) ( )

S

S f v S m

P f

( )=∑ ( ) ( )

S

S f v S M

P f

Từ định nghĩa ta có L(f,P)≤U(f,P) Giả sử 'P là cái thác triển của P (tức là mỗi hình hộp bất kỳ của phép chia ' P

đều chứa trong một hình hộp nào đó của phép chia P ) Khi đó

(f,P) (L f,P')

L ≤ và U(f,P)≤U(f,P') Hơn nữa ta có L(f,P')≤U(f,P) đối với các phép chia bất kỳ P và P' Suy ra cận trên đúng của tất cả các tổng dưới không vượt quá cận dưới đúng của tất cả

Sup , =inf , Giá trị chung này được gọi là tích phân của f theo A,

x

f 1, , 1

Định nghĩa 0.3.4

Từ định nghĩa ta có

i) Tập con của tập có độ đo 0 cũng có độ đo 0;

ii) Tập không quá đếm được có độ đo 0;

iii) Hợp tùy ý các tập có độ đo 0 cũng có độ đo 0;

Giả sử O là một cái phủ của tập A⊂Rn Khi đó tồn tại một họ Φ các hàm ϕ

thuộc lớp C xác định trên một tập mở chứa A sao cho ∞

Họ Φ thỏa điều kiện i và ii được gọi là C -phân hoạch đơn vị đối với tập A ∞

Nếu họ Φ thỏa thêm điều kiện iii thì ta nói phù hợp với cái phủ O

Định nghĩa 0.3.7

Ta biết ∫

A

f có thể không tồn tại ngay cả trong trường hợp A là một tập mở và

tập các điểm gián đoạn của f có độ đo 0 Nhưng tập mở A bất kỳ luôn tồn tại một cái phủ mở O sao cho mọi U∈O đều chứa trong A và mỗi U∈O đều đo được

Joocđăng Nếu O là cái phủ như vậy thì Φ là phân hoạch đơn vị của A phù hợp với cái phủ đó thì f ϕ là khả tích với mỗi ϕ∈Φ Khi đó ta xác định ∫

Giả sử n

A⊂ R là một tập mở và n

A

g: → R là ánh xạ 1-1 liên tục khả vi sao cho detg'≠0 đối với mọi x∈ A Khi đó đối với mọi hàm ( ) n

A g

f : → R ta có ( ) ∫ ( )

A A g

g g f

Chương 1: TÍCH PHÂN THEO CÁC XÍCH

1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ Định nghĩa 1.1.1

Giả sử V là một không gian vectơ thực, ta ký hiệu Vk =V×V× ×V Hàm Vk →R

T : được gọi là hàm đa tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với

từng biến, có nghĩa là với bất kì i (i=1,k), mọi số thực a ta có

(v v i v i v k) (T v v i v k) (T v v i v k)

T 1, , + ' , , = 1, , , , + 1, , ' , , ;

(v a v i v k) (aT v v i v k)

T 1, , , , = 1, , , , Hàm đa tuyến tính Vk →R

T : được gọi là k -tenxơ trên V

Tập hợp tất cả các k -tenxơ được ký hiệu là k( )V

thực với hai phép toán được định nghĩa như sau

(S+T) (v1, ,v i, ,v k) (=S v1, ,v i, ,v k) (+T v1, ,v i, ,v k);

( )aS (v1, ,v i, ,v k) (=aS v1, ,v i, ,v k) với k( )V

T T

S, ∈ , a∈R

Định nghĩa 1.1.2

Cho k( )V l( )V

T T T

S∈ , ∈ Khi đó tích tenxơ k l( )V

T T

S⊗ ∈ + được định nghĩa bởi công thức

(S⊗T)⊗U và S⊗(T ⊗U) thường được ký hiệu đơn giản là S⊗T⊗U Các tích tenxơ T1⊗ ⊗T k được định nghĩa một cách tương tự

=S1⊗T(v1, ,v k,v k+ 1, ,v k+l)+S2 ⊗T(v1, ,v k,v k+ 1, ,v k+l)

=(S1⊗T +S2⊗T) (v1, ,v k,v k+ 1, ,v k+l) Vậy (S1+S2)⊗T =S1⊗T +S2 ⊗T

ii) Chứng minh tương tự tính chất i

Vậy (aS)⊗T =a(S ⊗T).(1-1) Chứng minh tương tự ta có S⊗( ) (aT =a S⊗T).(1-2)

T (Trong đó V là không gian liên hợp của V được định nghĩa là *

không gian các phiếm hàm tuyến tính từ V vào R )

ii) Các phép toán ⊗ cho phép ta biểu diễn các không gian k( )V

không gian T1( )V Giả sử { }v i i∈I là cơ sở của V Đối với mỗi i∈I, ta ký hiệu ϕ là i

phiếm hàm tuyến tính duy nhất mà ϕ i( )v j =δ ij Một phiếm hàm tuyến tính như vậy tồn tại do tính chất tổng quát của cơ sở Nếu dimV=n, { }v i i=1,n là cơ sở của V thì

{ }ϕ i i= 1 ,n là cơ sở của V Ta gọi * { }ϕ i i= 1 ,n là cơ sở đối ngẫu của cơ sở { }v i i=1,n

1 1

Với k vectơ tuỳ ý w , ,1 w k của V , j

n j

ij v a

=

=1

j j kj j n

j j kj n

j

j j k

k

k

a a v

a v

a T w w T

, , 1 1 1

1 1 1

1

1

1 , ,, ,

n j ij ji i

k j

j j j k

k

k

a w

w T

, , 1

1

j j

j j

k

k k

a T

, , 1

j j

k

k k

( , , ) 0

, , 1

1

j j j

T , = , ,∀ , ∈R Trong đó , là tích vô hướng trên n

R

Chứng minh

* Ta chứng minh mệnh đề: Nếu T là một tích trong trên V thì V có cơ sở

{ }v i i=1,n sao cho T( )v i,v j =δ ij bằng quy nạp

Nếu V là một không gian vectơ một chiều thì tồn tại w≠0,w∈V Ta đặt

( )w w T

w v

,

= Khi đó {}v là một cơ sở trực giao đối với T

Giả sử mệnh đề đúng với mọi không gian vectơ V n -chiều, ta chứng minh

mệnh đề đúng với không gian vectơ (n+1)-chiều Thật vậy:

Không gian vectơ (n+1)-chiều luôn tồn tại một không gian vectơ con V '

n -chiều Khi đó theo giả thiết qui nạp, trong V tồn tại một cơ sở trực giao đối với ' T

là { }v i i=1,n vì vậy hệ này độc lập tuyến tính trong V , ta bổ sung vào hệ này một vectơ

a thuộc V để { }v i,a i=1,n là cơ sở của V

Xét b T( )a v v a

n i

i

i i

j T T a v v a v v

b

n i

j i

i T v v T a v v

( )b b T

b

v n

,

+ thì { }v i i= 1 ,n+ 1 là cơ sở trực giao đối với T của V

Vậy T là một tích trong trên V thì V có cơ sở { }v i i=1,n sao cho T( )v i,v j =δ ij

* Gọi { }e i i=1,n là cơ sở chính tắc của n

i e a x

i i

i e a v a

f x f

1 1

i i i n

i i i n

i i

i e f b e T a v b v a

f T y f x f T

1 1

1 1

,,

,

a b x y

n i i

xác định theo quy tắc f *T(v1, ,v k)=T(f( ) ( )v1 , ,f v k ),∀T∈T k( )V ,∀v1, ,v k ∈V Khi đó định lý 1.1.3 ta có thể phát biểu lại như sau: “Nếu T là một tích trong trên V thì V có cơ sở { }v i i=1,n sao cho T( )v i,v j =δ ij Khi đó cơ sở { }v i i=1,n được gọi là cơ sở

trực giao đối với T Do đó tồn tại một đẳng cấu Rn →V

σ

σ σ

σ , ,sgn

iii) Nếu ω∈Λk( )V thì Alt( )ω =ω;

v v

T

k σ

σ σ

σ σ

v v

T

k '

) ( ' ) ( ' )

' ) 1 ( ' , , , , , ,'

σ σ

σ

σ σ

σω

ω 1 sgn ( 1 ), , ( )

!

1, ,

S

v v

k k

, ,, ,

sgn

!

1

1 1

2

ω ω

l k

l k

l k

= ( + ) ( (ω ⊗η)+ (ω ⊗η) )

2 1

!

!

!

Alt Alt

l k

l k

l k Alt

l k

l k

l k a

!

!

! = ( + ) ( (ω⊗η) )

a Alt l k

l k

l k a

!

!

!

Vậy ( )a ω ∧η =a(ω∧η).(1-5)

+

=

k

k l l l k k

l

1

2

21

( ) (v v k l)

Alt ω⊗η 1, , + ( ) sgn ( (1), , ( ))

!

1

l k S

v v

k S

v v

v v

l

+ +

l S

v v

v v

l

+ +

−

+

σ σ

σ

ω η σ

( ) ( ) ( k l)

kl

v v

l k

v f v

f l

k l k

l k

l k

k S

v f v

f v

f v

f l

k l k

l k

l k

+ +

σ

k S

v v

f v v

f l

k l k

l k

l k

+ +

l k

S∈ , ∈ và Alt( )S =0 hoặc Alt( )T =0 thì

m l k

S l

l k v

v T S Alt

l k

+ +

T v v

S

l k

+ +

∈

∑

+

σ σ

σ σ

σ

σ

( , , ) ( , , ) 0'

sgn ' ( 1 ) ' ( ) 1 '

k S

v v

T v v

S

l k

σ σ

Giả sử σ0∉G ta đặt G σ0 ={σσ0:σ ∈G} và (v σ0 ( 1 ), ,v σ0 (k+l)) (= w1, ,w k+l) Khi đó

( ( 1 ), , ( )) ( ( 1 ), , ( ))

sgn0

l k k

k G

v v

T v v

sgn ' ( 1 ) ' ( ) 1 '

k S

w w

T w w

S

l k

σ σ

Vậy Alt(S⊗T)=0 Chứng minh tương tự ta được Alt(T ⊗S)=0 Vậy Alt(S⊗T)= Alt(T ⊗S)=0

ii) Theo định lý 1.1.4 ta có Alt(Alt(ω⊗η⊗θ) )= Alt(ω⊗η⊗θ).(1-7)

Ta có Alt(Alt(η⊗θ)−η⊗θ)= Alt(Alt(η⊗θ) )−Alt(η⊗θ)

= Alt(η⊗θ)−Alt(η⊗θ)=0 Theo i ta suy ra

=

∧

m l k

m l k

l k

l k Alt m l k

m l k

l k

l k m l k

m l k

m l k

m l k

m l k

i i

i i

k

k k

a

, , 1

i i

k

k k

, , 1

k

n i i

i i

và cơ sở của nó là ϕ1∧ ∧ϕ n Đặc biệt V =Rn và v i =(a i1, ,a in)(i=1,n) thì

S

n n n

n

det

sgn, ,

i a v w

j j nn

n

a a

1 1 1 1 1

ω θ

n

n n

e e

v v e

e

, ,

, ,, ,

1

1

Suy ra ω(v , ,1 v n)=λ Vậy ω(w1, ,w n)=det( )a ij ω(v1, ,v n).£

Định lý trên cho ta tiêu chuẩn phân chia các cơ sở của không gian vectơ V

thành hai nhóm, một nhóm gồm các cơ sở { }v i 1,n sao cho ω(v1, ,v n)>0, nhóm còn lại gồm các cơ sở { }v i 1,n sao cho ω(v1, ,v n)<0

Định nghĩa 1.1.8

Nếu { }v i 1,n và { }w i 1,n là hai cơ sở của V và A=( )a ij là ma trận chuyển cơ sở

{ }v i 1,n sang { }w i 1,n thì { }v i 1,n và { }w i 1,n thuộc cùng một nhóm khi và chỉ khi detA>0 Tiêu chuẩn đó không phụ thuộc vào ω và luôn luôn có thể dùng để chia các cơ sở của

V ra thành hai nhóm Mỗi một trong hai nhóm đó được gọi là định hướng của

không gian V Định hướng chứa cơ sở { }v i 1,n được ký hiệu là [ ]v i 1,n

Định hướng [ ]e i 1,n được gọi là định hướng chuẩn tắc trong R nĐịnh nghĩa 1.1.9

Giả sử trên V cho một tích vô hướng T , nếu { }v i 1,n và { }w i 1,n là hai cơ sở trực

chuẩn của V đối với T và A=( )a ij là ma trận chuyển cơ sở { }v i 1,n sang { }w i 1,n ta có

jk ik n

l k

l k jl ik n

l l jl n

k k ik j

i

ij T w w T a v a v a a T v v a a

1 , 1

, 1

1

,,

,

Nói cách khác AA*=I (với I là ma trận đơn vị), tức là detA=±1 Từ định lý 1.1.8 ta suy ra nếu ω∈k( )V và ω(v1, ,v k)=±1 thì ω(w1, ,w k)=±1

Nếu trên V còn cho một định hướng µ thì tồn tại duy nhất phần tử ω∈k( )V

sao cho ω(v1, ,v k)=1 đối với bất kỳ cơ sở trực chuẩn { }v i 1,n mà [ ]v i 1,n =µ Phần tử

ω đó được gọi là phần tử thể tích của V xác định bởi tích vô hướng T và

định hướng µ Ngược lại mỗi phần tử khác không ω∈Λk( )V đều là phần tử thể tích

được xác định bởi tích vô hướng T và định hướng µ nào đó

Chú ý

det(.) là phần tử thể tích của không gian n

R xác định bởi vô hướng chuẩn tắc

T và định hướng chuẩn tắc µ Khi đó det(v1, ,v n) =1 là thể tích hình hộp căng trên các đoạn thẳng nối O và các điểm v , ,1 v n

v w

Ta thấy ( )n

R

1Λ

v w

z w

w v

v v

v w

n n

n

1 1

1

1

1 1

detsgn

det

a

w v av v

v av

v w

n i

n

i n

i

1 1

1

1

1 1

det

det

,

=a w,v1× ×v n−1 = w,av1× ×v n−1 Suy ra v1× ×av i× ×v n−1 =a(v1× ×v n−1)

'

,v × × v i +v i × ×v n−w

w v v v

w v

v v v

n i

n i

n

i i

1 1

1 1

1

' 1

'

det

det

det

1 1

v 1 , −1⊂R là hệ độc lập tuyến tính thì [v1, ,v n−1,v1× ×v n−1] là định hướng chuẩn tắc trong n

, 1

1 , 1 11

1 2

, 1 2

, 1

1 12

1 1

, ,

n n n

n n

n n n

n n

n

a a

a a

a a

a a

1 1

v v

, 1

1 , 1 11

1 2

, 1 2

, 1

1 12

, 1 1

, 1

1 11

n n

n n n

n n

n n n

n

a a

a a

a a

a a

a a

a a

, 1

1 , 1 11

2

, 1 2

, 1

1 12

n

a a

a a

a a

a a

.£

Vậy [v1, ,v n−1,v1× ×v n−1] là định hướng chuẩn tắc trong n

R Định lý 1.1.11

Tích vectơ trong không gian 3

R còn gọi là tích có hướng, có các tính chất sau

i) v×w=(v2w3−v3w2) (e1+ v3w1−v1w3)e2 +(v1w2 −v2w1)e3

ii) e1×e1 =0; e2×e1 =−e3; e3×e1 =e2;

e1×e2 =e3 ; e2×e2 =0; e3×e2 =−e1;

e1×e3 =−e2; e2×e3 =−e1; e3×e3 =0

,,

,,

sin v w v v w w v w w

v w

v×w,v = v×w,w =0

iv) v,w×z = w,z×v = z,v×w ;

v×(w×z)= v,z w− v,w z; (v×w)×z = v,z w− w,z v

Chứng minh

Các tính chất trên dễ dàng suy ra từ định nghĩa

1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÌNH HỌC Định nghĩa 1.2.1

Ánh xạ liên tục c:[ ]0,1n → A, trong đó [ ] [ ]   [ ]

n

n

1,0

1,01,

0 = × × và A là một

tập mở trong Rm(m≥n), được gọi là lập phương kỳ dị n -chiều trong A

Khi n=0 ta có lập phương kỳ dị 0 -chiều trong A là ánh xạ liên tục

là lập phương chuẩn tắc n -chiều

Xích kỳ dị (dây chuyền kỳ dị) n -chiều trong A là tổng hữu hạn các lập phương

kỳ dị n -chiều trong A với hệ số nguyên Tức là c là một xích kỳ dị n -chiều trong A

khi và chỉ khi ∑

=

i i

i c a c

) ,

I I

1 0 , 1

) , (

1

α

) 1 , 2 ( 2 ) 0 , 2 ( 2 ) 1 , 1 ( 2 ) 0 , 1 (

1 0 , 1

2 ) , ( 2

c c

1 0 , 1

) , (

k i

n i

I ( ( 1 ,β))(i,α)

n j

n i j

i

i i

c c

c

) , (

1 0 , 1

) ,

)1()

(

β α

Trong tổng trên ( )c(i,α) (j,β)và (c(j+1,β))(i,α) với 1≤i≤ j ≤n−1 là các đại lượng trái dấu nhau Vì tất cả các số hạng đều triệt tiêu nhau nên ∂( )∂c =0

Vì đẳng thức trên đúng với mọi hình lập phương kỳ dị n -chiều trong A nên nó

cũng đúng với mọi xích kỳ dị n -chiều trong A.£

1.3 TRƯỜNG VÀ DẠNG Định nghĩa 1.3.1

P

R là một không gian vectơ

n -chiều, ( )P, v cùng hướng với vectơ v và có điểm gốc là P , ký hiệu là ( )P,v =v P Tích vô hướng chuẩn tắc 〈., trên 〉 n

i P e F P

=

=1

Ta nói

F khả vi (liên tục) khi và chỉ khi F khả vi (liên tục) với mọi i i=1,n Các phép toán trên các vectơ sẽ sinh ra các phép toán tương ứng trên trường vectơ bằng cách cho phép toán tác động theo từng điểm

Định nghĩa 1.3.3

Nếu F và G là các trường vectơ, f là một hàm vô hướng Khi đó ta định nghĩa

các phép toán sau

( ) ( ) ( )P F P G P G

n i i

ii) Hàm vô hướng f được xem là dạng bậc 0

iii) Các phép toán ω+η, ω, ω∧η được cảm sinh từ các phép toán tương ứng trong k( n)

v= 1, , ∈R )

Suy ra d π i( )P ( ) ( )e j P =δ ij Như vậy d π i( )P =ϕ i( )P Suy ra {d π i( )P}i=1,n là cơ sở đối ngẫu của cơ sở

dx x

f df

n i

i i

P Df P v D f P v D f P dx P v v

P df

1 1

tuyến tính m

P f n P

f*:R →R ( ) theo quy tắc f*( )v P =Df( )P v f(P) Ánh xạ tuyến tính đó cảm sinh ra ánh xạ tuyến tính ( ) ( )m

P k n

P f k

j

j i j

x

f dx

f D dx

f

1 1

* 2 1

j f P v D

j f P dx P v D

j

j i j

x

f dx

f D dx

f

1 1

* 2 1

iii) Ta có f *( )( )(g ω P v1, ,v k)=( ) ( )g ω (f P ) ( ) (f* v1 , , f*( )v k )

=g(f( )P ) ( )ω(f P ) ( ) (f* v1 , ,f*( )v k )

=(g f) ( ) (f* ω ) ( )(P v1, ,v k) Vậy *( ) (ω ) ( )* ω

f f

i i i

dx dx

1 1

1

=det( )a ij (dx1∧ ∧dx n)(e1, ,e n)

=(det f')(dx1∧ ∧dx n)(e1, ,e n) Nên ta có f*(dx1∧ ∧dx n) (= det f')(dx1∧ ∧dx n)

i

i dx ∧ ∧dx

1 1

1 1

k

n i i

n

i i i

i n

i i

ii) Nếu ω, là các dạng cấp k thì η d(ω∧η)=d ω∧η+( )−1k ω∧d η; iii) d( )d ω =0, viết tắt là d2 =0;

iv) Nếu ω là một dạng cấp k trên m

i i i i

n

dx dx

dx D

1 1

n

i i i

1 1

η ω

n

dx dx

dx dx

d fg

dx dx

d g f

1 1

dx dx

d dx gdx

1

α

α α

=d ω∧η+(−1)k ω∧d η iii) Giả sử

k k

n i i

n

i

i dx dx dx D

d d

1 1

k

n i i

m

dx f D f D dx

f f D d

f

n j

f d d

dx d

−+

0 Khi đó ω= fdx1 ∧ ∧dx k với f xác định

duy nhất Ta đặt

k k

f

1 , 0 1 , 0

k k

k

k fdx dx dx

fdx

1 , 0 1 1

, 0

k

k I fdx dx dx

fdx

1 , 0

1

* 1

, 0

i c a c

ü Tích phân của dạng bậc nhất ω =Pdx+Qdy theo xích kỳ dị một chiều được gọi là tích phân đường

ü Tích phân của dạng bậc hai theo xích kỳ dị hai chiều được gọi là tích phân mặt

0 Khi đó ωlà tổng các dạng bậc (k−1) có dạng fdx1∧ ∧d∧ x i ∧ ∧dx k(với d x i

∧

nghĩa là bỏ đi phần dx ) i

Ta chỉ cần chứng minh định lý cho mỗi dạng như vậy Tức chứng minh

k i

I I

k

x d fdx

d

k k

k k

i k

j

dx x

d dx

x x

f dx

x d fdx

I

, ,, ,

0

1 1

1

* ) , (

1 1

1 , 0

1 1

, 0

* ) ,

Do đó

k i

I

dx x

d dx

k j j

k

dx x

d fdx

I

^ 1

* ) , (

, ,0, ,1

, ,1, ,1

^ 1 1

, 0 1

^ 1 1

, 0 1 1

1 1

k i k

i k

i k

i

dx x d dx x x

f dx

x d dx x x

d

k k

i k

i k

i

dx x d dx x x

f dx

x d dx x x

f

k k

, ,0, ,1

, ,1, ,1

^ 1 1

, 0 1

^ 1 1

, 0 1 1

i k

i

dx x d dx x x

f dx

x d dx x x

f

k k

, ,0, ,1

, ,1, ,1

^ 1 1

, 0 1

^ 1 1

, 0 1 1

I I

c c

d d

i c a c

k i i c

k i i

a d

a

1 1

.£

1.5 BỔ ĐỀ POĂNGCARE Định nghĩa 1.5.1

Dạng ω được gọi là dạng đóng nếu d ω =0 Dạng ω được gọi là dạng khớp

nếu có dạng η sao cho ω d= η

Từ định nghĩa và theo định lý 1.3.4 thì ta có một dạng khớp là dạng đóng Điều ngược lại có đúng không? Ta xét dạng bậc nhất ω=Pdx+Qdy trên R có 2

0 0

,0

,

Nếu ω chỉ xác định trên một tập con của 2

dy y x

x dx y x

y

2 2 2

i

i f tx x dt D

dt tx f dt

d x

i

i tx x dt x

Để việc xác định I là có nghĩa thì ta chỉ cần ω ω xác định trên một tập mở

n

A⊂R sao cho nếu x∈A thì toàn bộ đoạn nối 0 với x cũng chứa trong A Một tập mở A như vậy được gọi là tập mở sao tại 0 Như vậy tập mở n

A⊂R được gọi là tập mở sao tại 0 nếu với mọi x∈A thì tx∈A với t∈[ ]0,1

Người ta chứng minh được rằng đẳng thức ω=d( )I ω xảy ra chỉ cần điều kiện 0

n i i

1

1 1

k

n i i

k

i i k

dx x

d dx

x dt tx t

x I A

1

1 1

k

n i i

k

i i

i k j n

j

dx x

d dx

x dt tx t

D I

k

1

0

1

i i

i j k

x D dt tx t

x dt tx D

1 1

1 1

0

1 1

0

dt tx t

x dt tx D

t

k k

i i k i

i i j k

i i k

k k

t k

k

n i i

k

i i

i j k n

j

dx x

d dx

x dt tx D

α

Ta lại có

1 1

n j

i i

k

i i

i j k n

j

dx x

d dx

dx x dt tx D

t d

1

1 1

α

ω

= ≤ <∑ ∑ ∫<k≤ =  ( )  ∧ ∧ k +

n i i

n j

i i

i j k

dx dx

x dt tx D

1 1

k

n i i

k

i i

i j k n

j

dx x

d dx

x dt tx D

i i k

k k

t k

d I I

n j

i i

i j k

dx dx

x dt tx D

i i k

dx dx

dt tx t

i

i dx dx

1 1

a) Giả sử { }e i 1,n là cơ sở chính tắc của n

R và { }ϕ i 1 ,n là cơ sở đối ngẫu của nó Chứng minh rằng

( , , ) 1

!

1

!, ,

không bằng nhau sao cho i p =i q Vì vậy