một số vấn đề về định thức dieudonné

Một vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên là với những cấu trúc này thể, trường bỏ đi tính giao hoán khái niệm định thức sẽ được định nghĩa như thế nào?. Vì lí do trên càng làm cho em có

Trong suốt thời gian nghiên cứu và thực hiện đề tài này thì em đã gặp rất

đỡ tận tình của quí thầy cô trong bộ môn Toán và các bạn lớp Toán tin k31 và đến nay thì đề tài của em đã được hoàn thành

đồng thời dành cho em nhiều ý kiến quí báu để hoàn thành đề tài này

Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn cô Phạm Thị Vui đã hướng dẫn tận

tụy, hết sức nhiệt tình và tạo mọi điều kiện giúp em hoàn thành đề tài này

suốt thời gian thực hiện đề tài

Đây là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học, chưa có nhiều kinh nghiệm nên

Sinh viên thực hiện

Lê Xuân Lợi

o

Trang

B ảng kí hiệu

Ph ần mở đầu 1

1 Lí do chọn đề tài .1

2 Đối tượng nghiên cứu 1

3 Mục đích nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

Ph ần nội dung 3

1 Kiến thức bổ sung 3

1.1 Nhóm 3

1.2 Vành 7

1.3 Trường 8

1.4 Vành chia 9

2 Định thức trên trường 18

2.1 Định nghĩa phép thế 18

2.2 Định nghĩa dấu của phép thế 18

2.3 Định nghĩa nghịch thế 19

2.4 Định thức 19

2.5 Các phép biến đổi sơ cấp 20

2.6 Các tính chất cơ bản của định thức 20

2.7 Định lý Laplace 24

3 Định thức Dieudonné 28

3.1 Một số khái niệm cơ bản 28

3.2 Tính chất 29

3.3 Nhận xét 36

3.4 Định lý 37

3.5 Định lý 38

3.8 Định nghĩa .40

3.9 Sự tồn tại của định thức Dieudonné 40

3.10 Các tính chất của Dieudonné 44

3.11 Định nghĩa .49

3.12 Bổ đề .49

3.13 Định lý 50

3.14 Mệnh đề 51

3.15 Mệnh đề 53

3.16 Định lý 53

3.17 Định lý 53

3.18 Cách tính định thức Dieudonné 54

4 Một vài nhận xét về định thức trên trường và định thức Dieudonné 57

4.1 Một số tính chất giống nhau giữa hai định thức 57

4.2 Một số tính chất không còn đúng cho định thức Dieudonné 59

Tài li ệu tham khảo 63

o

+ R : trường số thực

+ x-1 : phần tử nghịch đảo của phần tử x

+ H ≤ X: H là nhóm con của nhóm X

+ H
X: H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm X

+ C(A): tâm giao hoán của tập A

+ Z(X): tâm giao hoán c ủa nhóm X

+ [x, y] = xyx-1y-1

+ [X, X]: nhóm con các hoán t ử của nhóm X

+ NX (H) = {x ∈ X| x-1Hx = H}: chuẩn hóa tử của H trong X

+ Mm,n(K): t ập hợp các ma trận cấp mxn trên K

+ Mn(K): vành các ma tr ận vuông cấp n trên K

+ GLn(K): nhóm tuy ến tính tổng quát trên K

+ δij: kí hiệu của Kronecker

+ Sn: tập các phép thế σ: S → S

+ sgn: hàm dấu

+ Fn: trường có đúng n phần tử

không giao hoán thì định thức được định nghĩa ở đây không còn hiệu lực

nữa Một vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên là với những cấu trúc này (thể, trường bỏ đi tính giao hoán) khái niệm định thức sẽ được định nghĩa

như thế nào?

Vì lí do trên càng làm cho em có sự tìm tòi và cuối cùng thì em đã quyết

định chọn đề tài này _ “Một số vấn đề về định thức Dieudonné” với

mong muốn là nắm được rõ những tính chất, định lý liên quan đến định

thức Dieudonné cũng như việc tìm hiểu sự giống và khác nhau giữa định

thức trên trường và định thức trên trường mà bỏ đi tính giao hoán

2 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài “Một số vấn đề về định thức Dieudonné” trình bày một số tính

chất cơ bản của định thức Dieudonné

Nội dung đề tài được chia thành 4 phần:

+ Kiến thức bổ sung: trình bày các khái niệm có liên quan đến đề tài + Định thức trên trường: trình bày những khái niệm và tính chất của định thức trên trường

+ Định thức Dieudonné: trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản

của định thức Dieudonné

+ Một số nhận xét giữa hai định thức trên

ận văn này tìm hiểu rõ về định thức Dieudonné cũng như những tính

chất của nó

4 Ph ương pháp nghiên cứu

Đề tài được nghiên cứu bằng cách tổng hợp những tài liệu có được, phân tích đối chiếu các tài liệu đó, sau đó tổng hợp kiến thức lại và so sánh

để tìm ra mối liên hệ giữa hai loại định thức

i Với x, y, z ∈ X thì (xy)z = x(yz)

thỏa x x-1

= x-1x = e

Nếu phép toán có tính chất giao hoán tức là ∀x,y∈X,xy= yx thì X được gọi

là nhóm giao hoán hay nhóm Abel

1.1.2 Định nghĩa

X nếu H cùng với phép toán cảm sinh trên H lập thành một nhóm

Khi đó ta được quan hệ ~ là một quan hệ tương đương

với x ∈ X Chúng ta xét lớp tương đương:

∈ X đối với nhóm con H:

1.1.5 Định nghĩa

tắc của X (hoặc ước chuẩn) nếu mọi x ∈ X thì xH = Hx

Chú ý

1.1.6 Định lý

nếu với mọi x ∈ X, với mọi h ∈ H thì x-1

hx ∈ H (xhx-1 ∈ H)

1.1.7 Định nghĩa

Được gọi là tâm giao hoán của tập A Đặc biệt nếu X = A thì tâm C(X) được

gọi là tâm giao hoán của nhóm X, thường kí hiệu là Z(X)

1.1.8 M ệnh đề

1.1.9 Nhóm th ương

như sau:

Chú ý: N ếu X là nhóm Abel thì X/H cũng là nhóm Abel

1.1.10 Định nghĩa

y-1 được gọi là một hoán tử của X

Kí hiệu [x, y]

hiệu [X, X] hoặc DX hoặc 'X

Như vậy: [X, X] = <[x, y]| x, y ∈ X>

1.1.11 M ệnh đề

1.1.14 Định lý tổng quát về đồng cấu nhóm

đó các phát biểu sau là tương đương:

i ker f ⊆ ker g

a h là đơn cấu nhóm khi và chỉ khi ker f = ker g

b h là toàn c ấu nhóm khi và chỉ khi g là toàn cấu nhóm

được gọi là vành có đơn vị nếu (X, ) có đơn vị

1.2.2 Định nghĩa

Giả sử X là vành và A là tập con khác rỗng ổn định đối với hai phép toán cộng

1.2.3 Định lý

đương:

1.3 Tr ường

1.3.1 Định nghĩa

Giả sử X là vành và a ∈ X\{0} Phần tử a được gọi là ước của 0 nếu tồn tại

b ∈ X\{0} sao cho ab = 0 hoặc ba = 0

1.3.2 Định nghĩa

được gọi là miền nguyên

Tức là tập X có nhiều hơn một phần tử cùng với hai phép toán cộng và nhân là

miền nguyên nếu nó thỏa các điều kiện sau:

1.3.3 Định nghĩa

Như vậy, tập X có nhiều hơn một phần tử với hai phép toán cộng và nhân

được gọi là trường nếu nó thỏa các điều kiện sau:

ii (X, ) là nhóm giao hoán

1.4 Vành chia

1.4.1 Định nghĩa

i (X, +) là nhóm giao hoán

Chú ý: Vành chia có thêm tính giao hoán đối với phép toán nhân thì sẽ thành

+ Hiển nhiên GL2(R) với phép cộng hai ma trận lập thành nhóm giao hoán

Với A, B ∈ GL2(R) ta có A.B ≠ B.A

Vậy với GL2(R) là vành chia

b GL3(R) là tập các ma trận vuông cấp 3 khả nghịch với hệ số thực lập thành

vành chia

Thật vậy,

+ Hiển nhiên GL3(R) với phép cộng hai ma trận lập thành nhóm giao hoán

Với A, B ∈ GL3(R) ta có A.B ≠ B.A

Vậy với GL3(R) là vành chia

vành chia

Thật vậy,

+ Hiển nhiên GLn(R) với phép cộng hai ma trận lập thành nhóm giao hoán

Với A, B ∈ GLn(R) ta có A.B ≠ B.A

Vậy với GLn(R) là vành chia

d Tập hợp T các song ánh đi từ tập X vào tập Y cùng với hai phép toán cộng

Thật vậy,

h g f h g f

x h g f x h x g x f x h g x f x h g f

x T h g

f

++

=++

⇒

++

=+

+

=+

+

=+

)](

)[(

)()()())(

()()()]

(

[

X

,,

x f g x f x g x g x f x g

f

+

=+

⇒

+

=+

=+

f

x h g f x h

g

f

).() (

)](

).[(

)](

ngược lại ta nói A là ma trận suy biến

Hiển nhiên A không suy biến nếu và chỉ nếu A khả nghịch

A λ

∑

=1

được gọi là một tổ hợp tuyến tính phải của các Ai

c Hệ {A1, A2, …, An} được gọi là độc lập tuyến tính trái nếu từ tổ hợp

tuyến tính trái ∑

=

n

i i

212

1

10,

21

321

f e d

c

b a

−

−

+++

+

+++

f e b a e b a h

g d h d c

f e b f b a

h g g

f e e h

g h

f e f d

c d c

b a b a d

d c

b b a

h g

f e h

g

f e d

c

b a d

c

b a A

A

32232

32232

22

22

32

322

22

32

232

2

2

30

212

1

102

1

321

2

012

− +

+

+

− + +

− +

+ +

+ +

−

+ +

g e

h f d b g e c a h

f d b g e c a

h b g

a

h g

h f g e h

f g e

h g

d b c a

d b c a d

b c a

b a

h g

f e h

g

f e d

c

b a d

c

b a A

A

3 2 3

2

2 3

2 2 3

2 2

2 2 2

3 3

2 2

2 2

2 2

3 2 3 2 2

2

3 0

2 1 2

1

1 0 2

1

3 2 1

2

0 1

0

0322

3

02

0322

3

02

02

02

02

02

00

0000

003

2232

32232

22

22

=++

=++

=++

−

−

+++

+

+++

h g d

c

g d

c

f e b

a

e b a

h g

d

h d

c

f e

b

f b

a

h g d c g d c

f e b a e b a h

g d h d

c

f e b f b

2 1

2 2 1

λλ

λ

A

Vậy {A1, A2} độc lập tuyến tính phải

Sau đây là một ví dụ về hệ {A’1, A’2} trên GL2(R) độc lập tuyến tính trái

nhưng không độc lập tuyến tính phải

Ví dụ: Trong vành chia K = GL2(R) Xét hai ma trận trên K

2111

10'

,30

212

211

1

103

0

212

0

01'

'1 2 2

1

h g

f e h

g

f e d

c

b a d

c

b a A

λ

+++

+++

e b a f e a h

g d h c

f e b f a

g h g

e f e h

g h

f e f d

c c

b a a d

c

b a

2322

23222

2

22

223

2

322

2

Khi đó,

0'

'1 2 2

1A + Aλ =

λ

00

02

3

2

0

2

02

3

2

0 2

02

0

02

0

00

0000

002

322

23222

+

=+

+

=+

+

=+

+

=+

+

=+

=+

+

=+

+

+++

+++

⇒

λλ

h g f e d c b a

g d

e b a f e a h

g d h

c

f e b f

++++

+

++

f d e

c

h f d b g e c a h f d g

e

c

h b g

a

f e

h f g e h f g e

h g

d c

d b c a d

c

b

a

h g

f e h

g

f e d

c

b a d

c

b a A

A

232

3

22

22

22

22

22

33

22

2

2

02

211

1

103

0

212

0

01'

'1λ1 2λ2

Khi đó,

0 '

++++

+

++

⇔

00

0000

002

32

3

22

22

2

h f d b g e c a h f d g e

c

h b g

a

=++

+

=++

+

=+

+

=+

3

)7(

02

3

)6( 022

)5( 022

)4( 02

)3( 02

)2(

0

)1( 0

b

g e c

a

h f

d

g e

Lấy (5) – ((3)+(1)) ta được phương trình 0 = 0

Như vậy 8 ẩn 7 phương trình ⇒ hệ có nghiệm không tầm thường ⇒

{A’1, A’2} không độc lập tuyến tính phải trên GL2(R)

ji ,0

001

010)()(π δiπ( j)

Ví dụ: Giả sử π ∈ S3, = 

312

321π

001

010)

030

002

d

030

400

030

002

100

001

010)

(π d

khác 0

Khi đó, tập tất cả các ma trận monomial trong GLn(K) sẽ lập thành một nhóm

x h fg x

gh f S

x

S h g

)()(

)()())(

(,

∃ − − − (f là song ánh) 1

f là phần tử nghịch đảo của f

Nhóm này được gọi là nhóm đối xứng bậc n hay nhóm các phép thế bậc n

Nhóm này là tập hợp các song ánh với tập nguồn là S có n phần tử, nên

mỗi phần tử của nhóm là một hoán vị của n phần tử suy ra nhóm có n! phần

Ta gọi sgn là hàm dấu hay ánh xạ dấu

Nếu sgnσ = 1 thì σ được gọi là phép thế chẳn, còn nếu sgnσ = -1 thì σ được gọi là phép thế lẻ

a a

12 11

a a

a a

= sgn(1)a11.a22+sgn(1 2)a12.a21 = a11.a22 - a12.a21

+ Khi n = 3: detA =

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

= (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) -

(a13a22a31 + a12a21a33 + a11a23a32)

Chú ý: Định thức chỉ được định nghĩa đối với ma trận vuông mà không định nghĩa với ma trận tùy ý

2.5 Phép bi ến đổi sơ cấp

Với K là trường, cho A=(aij)n∈M n(K)

* Các phép biến đổi được thực hiện trên các hàng của A như sau:

h1) Đổi chỗ hai hàng hi, hj cho nhau Kí hiệu h ↔ i h j

h2) Nhân vào một hàng hi một đại lượng vô hướng k ∈ K, k ≠ 0

h ( k ≠ 0) (hệ quả của h2 và h3)

Các phép biến đổi trên được gọi là các phép biến đổi sơ cấp theo hàng của

ma trận

* Các phép biến đổi được thực hiện trên các cột của A như sau:

c1) Đổi chỗ hai cột ci, cj cho nhau Kí hiệu c ↔ i c j

c2) Nhân vào một cột ci một đại lượng vô hướng k ∈ K, k ≠ 0

a a

Trong đó aij = a’ji Do sgn σ = sgn σ nên

a a

= detA

2.6.2 Định lý

Với K là trường, cho A = (aij) ∈ Mn(K) và A’ là ma trận thu được từ A

bằng cách nhân vào dòng thứ i một đại lượng vô hướng k

Khi đó detA’ = kdetA

2.6.3 H ệ quả:

A ∈ Mn(K), ta có det(kA) = kndetA

2.6.4 Định lý: Với K là trường, cho A=(aij) ∈ Mn(K) Nếu trong A tồn tại

hi=0 hay aij = 0 với j=1…n thì detA = 0

a a

σ = ∑(sgn )( 1 (1) 0 ( ))

∈S n

n n

a a

K là trường, gọi A=(aij) ∈ Mn(K) 1≤ k ≤ l ≤ n và B = (bij) là ma trận nhận

được từ A bằng cách đổi chỗ hai dòng k và l cho nhau

Đương nhiên ta có: aij = bij với mọi i ≠ k, i ≠ l; akj = blj (j=1…n)

Và alj = bkj (j=1…n) Ta cần chứng minh detA = - detB Thật vậy:

Ta có detB = ∑(sgn )( 1 (1) ( ))

∈S n

n n

b b

a a

a a

a a

σ

σ

∈

phép thế σ ∈ Sn thỏa điều kiện

( ) , i k, i ( ) ( ) , i k

Cụ thể là ta có σ’ = σ (k l) Khi đó với mỗi tích

a1σ (1) …akσ (k) …alσ (1) …anσ (n)

2.6.8 Định lý

Với K là trường, cho A, A' A''∈ Mn(K) thỏa mãn các dòng thứ i (i ≠ k)

của chúng bằng nhau Riêng dòng thứ k của A là H k =m'H'k+m ''H ''k, trong đó H'k H''k là các dòng thứ k của 'A và A ''

Khi đó detA=m'detA'+m''detA''

a a

)

'a'

)(

(sgn'

m')

'

)(

(sgn'

)

)'a''m''

' (

)(

(sgn

) (k) k ) 1 ( 1 )

) ) 1 ( 1

) (k) k )

) 1 ( 1

n

S

n n S

n n k k

S

n n k

k

a a

a a a m

a a

m a

σσ

2.6.10 H ệ quả: Với K là trường, cho A ∈ Mn(K)

a Nếu ta cộng thêm vào một dòng nào đó của A một tổ hợp tuyến tính của các dòng còn lại thì định thức sẽ không đổi

b Nếu một dòng nào đó của A là một tổ hợp tuyến tính nào đó của các dòng còn lại thì detA = 0

c Nếu các dòng của A phụ thuộc tuyến tính thì detA = 0

n

a a

n

a a

a a

B

Khi đó detA = anndetB

Chứng minh:

)

a a

A

)

Với K là trường, cho A=(aij) ∈ Mn(K) (n ≥ 2) Gọi Mij là ma trận thu được

bằng cách bỏ đi hàng i và cột j của A Khi đó, (-1)i+j

detMij được gọi là

phần bù đại số của phần tử aij và ta kí hiệu là Aij

2.7 Định lý Laplace

2.7.1 Khai tri ển định thức theo hàng

Với K là trường, cho A=(aij) ∈ Mn(K) (n ≥ 2)

Định lý này là hệ quả của trực tiếp của hệ quả 2.6.12, mệnh đề 2.6.11 và định lý 2.6.8 Định lý Laplace cho phép ta tính định thức cấp n qua các định thức có cấp là n - 1 Đương nhiên ij

1 ijadet (khi ta cố định j) chính là khai triển định thức theo cột

Từ các định lý đã được trình bày ta thấy ngoài phương pháp tính định thức

bằng định nghĩa ta còn tính định thức theo hai phương pháp sau:

Ph ương pháp 1:

Phương pháp này sử dụng các phép biến đổi sơ cấp Phương pháp này dựa trên cơ sở sau:

+ Nếu ma trận có một hàng(cột) bằng 0 thì định thức sẽ bằng 0

+ Đổi chỗ hai hàng(cột) cho nhau thì định thức sẽ đổi dấu

+ Nhân một đại lượng vô hướng vào một hàng(cột) nào đó thì định thức

phải nhân thêm với chính đại lượng vô hướng đó

+ Cộng vào một hàng(cột) nào đó với một tổ hợp tuyến tính của các hàng(cột) thì định thức sẽ không đổi

+ Nếu các hàng(cột) của ma trận phụ thuộc tuyến tính thì định thức sẽ

bằng 0

Bằng phương pháp biến đổi sơ cấp bao giờ ta cũng có thể đưa việc tính định thức của ma trận vuông A về việc tính định thức của ma trận tam giác

Ph ương pháp 2: dựa vào định lý Laplace

Trong phương pháp này ta chú ý một điều là nên thực hiện phép khai triển tính các phần bù đại số theo những hàng(cột) có nhiều số 0 nhất

Ví dụ 1: Tính định thức

a a a

a

D

111

1

11

111

11

11230

00100

01030

23121

2.7.2 Khai tri ển định thức theo k hàng hoặc k cột

Với K là trường, cho A=(aij) ∈ Mn(K) Ta cố định k dòng hoặc k cột nào

)()(detA D k A k trong đó ta có:

+ D(K) là định thức cấp k nằm trên k dòng và k cột

+

k k k k

j j i i j j i i

M K

1 1 1

1

)1()

k

k j j i i

A=(aij)n, B=(bij)n là hai ma trận vuông cùng cấp trên trường K Khi đó

detAB = detA detB

n

n n

nn n

n

n n

b b

b

b b

b

b b

b

a a

a

a a

a

a a

a

M

1

00

10

0

01

0

00

00

0

00

2 1

2 22

21

1 12

11

2 1

2 22

21

1 12

Nhân các cột 1, …, n tương ứng với b1j,

…, bnj rồi cộng lần lượt vào cột thứ n + i ta có:

AB AB

I c

c a a

a c

a a

n n

detdet

.)1).(

det(

0

01

00

1 11

Trong toàn bộ phần ĐỊNH THỨC DIEUDONNÉ này ta xét K là một vành

chia

3 ĐỊNH THỨC DIEUDONNÉ

3.1 M ột số khái niệm cơ bản

Xét vành chia K, theo định nghĩa vành chia thì K*

= K\{0} cùng với phép nhân lập thành một nhóm và ta gọi đây là nhóm nhân của K

1

n I

+ eij là ma trận có 1 ở vị trí (i, j), còn những vị trí còn lại đều bằng 0

01

00

0

0

1 )

0

01

)

ε

εε

01000

40100

00010

00001

)4( t

00000

00000

10000

00000

00000

00

00

00100

00010

00001

)(

00

00

000

0

00010

00001

)(

1 34

ε

εε

)(

))

(())(

()()(

βαβ

α

αββ

αβ

αβ

α

+

=+

+

=

++

+

=+

+

=

ij ij n

ij ij ij

n ij n ij n ij

ij

t e I

e e e

I e I e I t

0100

01

0

0001)(23

αα

0100

01

0

0001)(23

ββ