MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ Kĩ thuật nhân liên hợp Hệ số bất định, gọi số hạng vắng.. Quy tắc L'Hospitale Lôpitan.. Quy tắc ngắt bỏ Vô cùng lớn bậc thấp.. Tính chất dã
Trang 1MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ
Kĩ thuật nhân liên hợp (Hệ số bất định, gọi số hạng vắng)
Quy tắc L'Hospitale (Lôpitan)
Quy tắc ngắt bỏ Vô cùng lớn bậc thấp
Tính chất dãy Vô cùng bé
Định nghĩa:
*Quy tắc Lôpitan:
Nếu khi mà có dạng hoặc thì:
Ví dụ: Tính giới hạn
Dạng vô định Áp
dụng quy tắc Lôpitan:
Ví dụ: Tính
giới hạn:
*Quy tắc
ngắt bỏ Vô
cùng lớn
bậc thấp
(VCL):
-Định nghĩa VCL: hàm số F(x)
gọi là một vô cùng lớn trong
một quá trình nếu
Ví dụ: Tính giới hạn
Rõ ràng khi x tiến tới vô
cực thì F(x) và G(x) đều
tiến tới vô cực , nên đó là
2 VCL Theo quy tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp thì ta chỉ giữ lại số hạng có số
mũ cao nhất ở tử và mẫu Tức là:
Ví dụ: Tính giới hạn:
Ví dụ: Tính giới hạn:
0
x
) (
) (
x g
x f
0
0
∞
∞
) (
"
) (
"
lim ) ( '
) ( ' lim ) (
) ( lim
0 0
0
=
=
=
→
→
x f x
g
x f x
g
x f
x x x
x x
x
4
3
8 3 4 lim
+
− +
+
− +
x x
x
0 0
2
1 1 2
3 4
1 2 1
) 1 4 (
1 1
3 2 3
) 8 3 (
1 4
2
1 lim 1 4 1 3
8 3 4 2 lim
0 4
3
−
−
= +
− +
+
− +
= +
− +
+
− +
→
→
x x
x x
x x
x x
x x
1 cos
sin
3 243
17 lim5
− + +
x x
405
211 1
sin cos
1 243 17
5
17 lim
1 sin cos
1 243 17
17 5
1 lim
1 cos
sin
3 243
17 lim 1 cos
sin
3 243
17 lim
0 5
4
0
5 1
0
5 0
= +
−
+ +
= +
−
+
+
=
− + +
− + +
=
− + +
− + +
→
−
→
→
→
x x
x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x
x x
∞
=
∞
→ ( )
limF x
x
77
1 7
lim 6
6
+
+
−
∞
→ x
x x
x
) (
) ( lim 77
1 7
lim 6
6
x G
x F x
x x
x
+
+
−
7
7 lim 77
1 7
6 6
6
=
= +
+
−
∞
→
∞
x x
x x
x x
2
1 4
2 lim 1
4
2
3 3
5 3
=
=
− +
+
−
∞
→
∞
x x
x
x x x
x x
3
1 1
lim
3
3 4 3
+
+ +
− + +∞
x x
x
x
0
1 lim lim
lim 3
1 1
lim
3
3
3
3 4 3
3
3 4 3
=
=
=
+
= +
+ +
− +
+∞
→ +∞
→ +∞
→ +∞
x x
x
x x x
x
x x
x
x x
x x
Trang 2*Dãy Vô cùng bé: khi thì ta có các tính chất sau:
Ví dụ: Tính giới hạn:
Vì x tiến tới 0 nên:
Ví dụ: Tính giới hạn:
Theo tính chất dãy VCB thì:
(Bài này có thể
dùng Lôpitan)
Ví dụ: Tính giới hạn:
Tương tự:
Do đó:
0
0 →
x
x e
x x
x
x x
x x
x
α
α ≈ + +
+
≈
−
≈
−
≈
≈
≈
1 1
1
2
1 2 sin 2 1 cos tan sin
2 2
x x
x x
cos sin
1 lim
− +
→
1 2 / 1
2 / 1 lim 2
2 lim
2 1 1
2 1 1
lim cos
sin 1
cos sin
1
lim
0 2 2
0 2
2
0
+
−
+
= +
−
+
=
−
−
−
−
− +
=
−
−
− +
→
→
→
x x
x
x x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
1 1 4 sin
2 1 1
lim
4
3 6
− + + +
x x
x
x
x x
x
3
1 1 1
1
6
1 1 1
1
3
1 3
6
1 6
+
= +
= +
+
= +
= +
x
x x
+
= +
≈ +
= +
≈
1 4 4
1 1 4 1 1 4
sin
4
1 4
4
1 1
1
2 3
1 1 6
1 1 lim 1 1 4 sin
2 1 1
lim
0 4
3 6
− + +
− + +
+
=
− + +
− + + +
→
x x
x x
x x
x x
x
x x x
x
4 16
8 2 1
0
− + + +
→
+
≈ +
= +
+
≈
+
= +
= +
+
≈ +
64 1 2 16 1 2 16
12 1 2 4 1 2 1 4 2 8 2
2 1 1
4 4
3 1 3
3
x x
x
x x
x x
x x
12
31 48
31 64
5 384
4 lim
4 16 1 2 12 1 2 2
1 lim 4 16
8 2 1 lim
2 3
0
0
4 3
0
=
=
−
+
+
+
=
− + + +
→
→
→
x
x x
x
x
x x
x x
x x x
x
x x