tài liệu ôn thi đại học môn toán mới nhất tích phân

Các phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất kết hợp với bảng tính các nguyên hàm cơ bản  Phân tích hàm số đã cho thành tổng, hiệu của các

Trang 1

Chủ đề 2 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

A Tóm tắt lí thuyết

Nội dung 1: Nguyên hàm

1 Bảng tính nguyên hàm cơ bản

Bảng 1 Bảng 2

Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C

a ( hằng số) ax + C

x     1

1

x C





(ax b )

a

1

ax b

C





1

x

ax b

1

ln ax b C

x

a

ln

x

a C

a

ax b

A 

ln



ax b

A

C

x

a

 

cos(ax b) C a

sin(ax b) C

2

1

cos x

tanx + C

2

1

1 tan(ax b) C a

2

1

sin x

-cotx + C

2

1

1 cot(ax b) C a

'( )

( )

u x

ln ( )u x C

2 2

1

1 ln 2

x a C





2 Các phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số

Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất kết hợp với bảng tính các nguyên hàm cơ bản

 Phân tích hàm số đã cho thành tổng, hiệu của các hàm số đơn giản có công thức trong bảng nguyên hàm cơ bản

 Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức và biến đổi

lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản

Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số

Định lí cơ bản:

Nếu  f u du  F u C và uu x  là hàm số có đạo hàm liên tục thì

 f u x u x dx    '  F u x   C

Trang 2

Cách thực hiện: Tính f u(x) u '(x)dx  bằng pp đổi biến số

Bước 1: Đặt uu(x)duu '(x)dx (tính vi phân của u)

Bước 2: Tính f u(x) u '(x)dx  f(u)duF(u) C F u(x) C

Định lí cơ bản:

Nếu hai hàm số uu x  và vv x  có đạo hàm liên tục trên K thì

u x v x dx   ' u x v x   u x v x dx'   

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt

) (

) ( ' )

( '

) (

x v v

dx x u du dx x v dv

x u u







Bước 2: Thay vào công thức nguyên hàm từng phần : udv u v vdu

Bước 3: Tính vdu

B Bài tập

Bài 1: Tính

1) I x 22dx

x



1

x





3

2 3 2

x









Bài 2: Tính

1)

2

3 2

3

x x

dx

x



1 1

x x





 3) 2

x





Bài 3: Tính

x

 3) I x3lnxdx

Bài 4: Tính

ln

I x x dx 2)   2

2 x

I  x e dx 3) I xs in2xdx

Bài 5: Tính

1) sin2

cos

x

1 2

x x

e





 3) I cos5xdx

Trang 3

Nội dung 2: Tính tích phân

I CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1 SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN

a Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên K và a b K Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm ,

số f(x) trên K thì :

( )  ( ) ( ) ( )

b

b a a

b Các tính chất của tích phân

 Tính chất 1: ( ) ( )

 Tính chất 2: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên a b thì ; 

 ( ) ( ) ( ) ( )

 Tính chất 3: Nếu hàm số f(x) liên tục trên a b và k là một hằng số thì ; 

( ) ( )

 Tính chất 4: Nếu hàm số f(x) liên tục trên a b và c là một hằng số thì ; 

( ) ( ) ( )

 Tính chất 5: Tích phân của hàm số trên a b cho trước không phụ thuộc vào biến số , ; 

nghĩa là : ( ) ( ) ( )

2 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

a) DẠNG 1: Tính I =

b

' a

f[u(x)].u (x)dx

 bằng cách đặt t = u(x)

Công thức đổi biến số dạng 1:     

) ( ) (

) ( )

( ' ) (

b u a u b

a

dt t f dx x u x u f

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt tu(x)dt u'(x)dx

Bước 2: Đổi cận :

) (

a u t

b u t a x

b x







Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

) ) (

) ( )

( ' ) (

b u a u b

a

dt t f dx x u x u f

Trang 4

b) DẠNG 2: Tính I =

b a f(x)dx

 bằng cách đặt x = (t)

Công thức đổi biến số dạng 2     







 t t dt f

dx x f I

b a

) ( ' ) ( )

(

Cách thực hiện

Bước 1: Đặt x (t) dx '(t)dt





Bước 2: Đổi cận :











t

t a x

b x

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được







 t t dt f

dx x f I

b a

) ( ' ) ( )

( (tiếp tục tính tích phân mới)

3 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Công thức tích phân từng phần

   

b a

b

a v x u x dx x

v x u dx x v x

hay:    

b a

b

v u

Cách thực hiện

Bước 1: Đặt

) (

) ( ' )

( '

) (

x v v

dx x u du dx x v dv

x u u







Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần :    

b a

b

v u

Bước 3: Tính  b

a

v

u. và 

b a

vdu

Trang 5

II CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tính tích phân

2 2 2 1





 (Phân tích & dùng định nghĩa)

Bài giải

♥ Biến đổi hàm số thành dạng

2

1

Khi đó:



2

2 1 1

1



2

2 2

1

2 1

x



♥ Vậy I  1 ln 3 

Ví dụ 2: Tính tích phân 1  2

2 0

1 1

x







 (Phân tích & dùng định nghĩa)

Bài giải

♥ Biến đổi hàm số thành dạng  2 2

1

  





1

1 0 0

1



1

1 2

0

2

1

x



♥ Vậy I  1 ln 2 

Ví dụ 3: Tính tích phân ln 2 2

0 1

I e  e dx (Đổi biến số dạng 1)

Bài giải

♥ Đặt te x 1 dte dx x

Trang 6

Đổi cận: ln 2 1

Suy ra:

1

2

0 0

1

t

♥ Vậy 1

3

I  

1

2 0

2

I x x dx (Đổi biến số dạng 1)

Bài giải

♥ Đặt t 2x2   t2 2 x22tdt 2xdxtdt xdx

t x

 

Suy ra:

2

1 1

2 2 1

t

♥ Vậy 2 2 1

3

1

4 5 ln

e

x



 (Đổi biến số dạng 1)

Bài giải

4 5 ln 4 5 ln 2

x

2 2

♥ Vậy 38

15

I  

Ví dụ 6: Tính tích phân 4 

0

1 sin 2



  (Tích phân từng phần)

Trang 7

Bài giải

2



1 cos 2 sin 2

♥ Vậy 3

4

I  

Ví dụ 7: Tính tích phân 4  

0

1 sin 2



  (Tích phân từng phần)

♥ Ta có:

0

x



2



Suy ra:

♥ Vậy

2

1

32 4

I 

  

2 2

1

2 ln

x



 (Phân tích + đổi biến số dạng 1)

Bài giải

♥ Ta có:

ln

x



2

1 0

3

x

♥ Tính

2

1

ln x

dx x



Trang 8

Đặt t lnx dt 1dx

x

Đổi cận: 2 ln 2

Suy ra:

ln 2

0

♥ Vậy 3 2

ln 2 2

2 2 2 1

1 ln

x



 (Tích phân từng phần)

♥ Đặt 2

2

1 ln

1

x x

x



Suy ra:

ln

      

ln

     

5ln 2 3

♥ Vậy 5ln 2 3

Ví dụ 10: Tính tích phân I = 1( x2 x)

0 2e e xdx

 (Phân tích + đổi biến dạng 1+ tích phân từng phần)

Bài giải

♥ Ta có: I = 1 x2 1 x

02xe dx 0xe dx

 I1 = 1 x2 1 x2 ( 2)

02xe dx 0e d x

1 x 0 e

  = e – 1

 I2 = 1 x

0xe dx



Đặt u = x  du = exdx

dv = exdx  v = ex

Suy ra: I2 = x 1 1 x

0 0

0

e   = 1 e 

♥ Vậy I = e – 1 + 1 = e 

Trang 9

B Bài tập

Bài 1: Tính các tích phân sau

1)

1

2 2

x





2

2 0

sin

1 cos

x









1)

1

ln 1

e

x



3

3 1

e

x





0

sin cos



2

2 3 0

I sin 2x(1 sin x) dx

1)

2

2 1

3

x







1

0

x

3 2 1

ln 1

e

x



1)

1

1 3ln ln

e

x



ln 3

3

x x

e







1)

2

0

s in2 cos

1 cos

x







4 6 0

tan cos 2

x





1)

2

0

s in2 sin

1 3cos

x

















2

0

sin 2x

cos x 4 sin x

0

cos 1 cos



2 0

s in2

3 4 sin cos 2

x







Trang 10

1)

4

0cos 3 tan 1

dx I







2 4 4

cot 1 sin

x







1)

2

e

dx I





2 2 6

cot

x









1)

3

2 4

tan cos 1 cos

x







ln5 2

x x

e







1)

2

0

1 cos sin cos



2

2 3 0

I sin 2x(1 sin x) dx

1)

1

0

3

ln 2

1 1

x

e









1)

0

cos



0

sin

x



1)

2

2 1

ln x

x

3

2 0

ln 3

1

e

5 2 2

1)

2 1

1 ln

e

x



1 ln

e

1

2 0

3 2 2 ln

Trang 11

1) 2 cos 3 

0

cos sin

x



4 2 8

1 sin 2 (2 cot 2 )







1)

4

0

x





3

2 2

dx I

x x







1)

2

3 0

cos 2

x





2 0

4

x





1)

6 2 0 sin 3



2

4 4

cot

1 sin

x









1)

6 2

1



2 0

sin cos

3 sin 2

x









1)

2 0

sin 2

3 4 sin cos 2

x





x



Trang 12

Nội dung 3: Ứng dụng của tích phân

I CÔNG THỨC

1 Công thức tính diện tích hình phẳng

( ) ( )

b

a

S f x g x dx ( ) ( )

b

a

2 Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay

V f x  dx

b a

2

) (



 V f y  dy

b a

2

) (

























b

x

a

x

x g y

C

x f y

C

H

:

) ( :

)

(

) ( :

)

(

:

)

(

2

1

2

1





















b y

a y

y g x C

y f x C H

: :

) ( : ) (

) ( : ) ( : ) (

2 1 2 1

x

y

)

(H

) ( : ) (C1 y f x

) ( : ) (C2 y g x

a

O

x

y

)

(H

a

b

) ( : ) (C1 x f y

) ( : ) (C2 xg y

a

y 

b

y 

O

) ( : ) (C y f x

b

a

x 

b

x 

x

y

O

b

a

x

y

0



x

O

) ( : ) (C x f y

b

y 

a

y 

Trang 13

II CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong yx2  và đường thẳng x 3 y2x1

Bài giải

♥ Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường

2 2 1

2

x

 



 

♥ Diện tích hình phẳng cần tìm là

2 2 1

 

2



Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đường

1

x

  và x 1 xung quanh trục hoành

Bài giải

♥ Thể tích khối tròn xoay là

1

2 0

d

x V

x







♥ Đặt t 4 3 , x ta có khi x 0 thì t 2, khi x 1 thì t 1 và

2 4 3

t

x  nên d 2 d

3

t

Khi đó ta có

t



2 1



Trang 14

B Bài tập

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy , tính diện tích của hình phẳng (H): 

0 0 2

y x x













 



Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, tính diện tích của hình phẳng (H):

2 2 2

 







Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy , tính diện tích của hình phẳng (H):

3x 1 y

x 1











 





Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy , tính diện tích của hình phẳng (H):

2 2

 





 



Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy , tính diện tích của hình phẳng (H) : 

2 2





  















) (

2 : ) (

: ) (

Ox

x y

d

x y C

















1 : ) (

2 : ) (

: ) (

x

y d

e y

Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy cho hình phẳng (H) giới hạn bởi cc đường  4 yx2 và y Tính thể tích x

vật thể tròn xoay khi quay (H) quanh trục Ox

Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy, cho miền D giới hạn bởi hai đường : y = x2 + x - 5 ; x + y - 3 = 0

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy , cho miền D giới hạn bởi các đường :  y x; y 2 x; y0

Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy, cho miền D giới hạn bởi hai đường : y 4 x y2; x22

-Hết -

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	240,85 KB