* ý nghĩa : Phương pháp này nhằm đưa tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hoặc để khử bớt hàm số dưới dấu tích phân cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dưới dấu tích phân * Chú ý: Ta[r]
Trang 1Phần I nguyên hàm
A ) Các kiến thức cơ bản :
Cho hàm số y=f(x) xác định trên a b, và có đạo hàm trên đoạn đó ta có
1) Vi phân của hàm số y=f(x) kí hiệu là : dy hoặc df ( Vi phân của biến là dx)
2) Công thức tính : hoặc (
Muốn tính vi phân của một hàm số ta lấy đạo hàm của hàm số đó nhân với vi phân của biến số)
3) Vi phân của các hàm số &23 gặp :
d(ax+b) = a.dx d(ax3+bx2+cx+d) = (3ax2+2bx+c)dx
d(ax2+bx+c) = (2ax+b)dx d(sinx)=cosx.dx
d(cosx) =- sinx.dx d[sin(ax+b)] = a.cos(ax+b).dx
d[cos(ax+b)] =- a.sin(ax+b)dx d(ex)=ex.dx
(eax+b) = a.eax+b.dx d(tanx) = 12
cos x dx
d(cotx) = 12 d( ) =
1
2
a dx
1
dx x
2
1
xdx
x a
2
1
2dx
4) Nguyên hàm của hàm số y=f(x) kí hiệu là: F(x) hoặc f x dx( ) Đó là một hàm số sao cho đạo hàm của nó bằng f(x).Vậy thì ( f x dx( ) )’ = f(x) Ta gọi F(x) + C là một họ nguên hàm của hàm
số y=f(x)(Lấy nguyên hàm cộng với hằng số C)
5) Các công thức tính nguyên hàm:
f x( )g x dx( ) f x dx( ) g x dx( )
kf x dx( ) k f x dx ( ) (với k là hằng số)
b) Các dạng bài tập :
Dạng1: Tính nguyên hàm của các hàm số đa thức (áp dụng trực tiếp bảng nguyên hàm)
Tính nguyên hàm của các hàm số sau (m là hằng số)
x
3
y
x
x
x x
Dạng2:Tính nguyên hàm của hàm số lượng giác, hàm mũ, hàm logarit
Tính nguyên hàm của các hàm số sau (m,n, p, q là các hằng số)
7 y= sin2x 8.y= cos3x 9.y=sin3x.cos4x
10.y= cospx.cosqx 11 y= sinmx.cosnx 12.y=tanx+cotx
13.y=cos22x 14.y= sin2(3x/2) 15 y= sin3x.cos3x+cos3x.sin3x
Trang 216.y=logax + lnx 17 18
2
y
2
x
Dạng3: Tính nguyên hàm của các hàm số bằng cách đưa một biểu thức vào dấu vi phân
19.y=(mx+n)2007 20.y=3x5 2x2 21 y 1
mx n
2 2007
x y
1 2 2
x y
2
ax b y
ax bx c
25.y=sinx.cospx 26 y=cosx.sinpx 27 ln
n
x y
x
28 (ln 1) 29.y=cos5x 30.y=sin7x
m
x
y
x
31.y=tan2x+ cot2x 32.y=tanx 33.y=cotx
34.y= ) 35.y=cosx 36.y=x.
4 (
sin4
37. cos sin 2008 38.y=tan4x 39 y=tan5x
y
40 y=(3x+5)10 41 2 42 y=x2
x y x
43 y=sin2x.cos2007x 44 12 45
os
y
x y x
46 y=x2. 3x3 47.y=cot3x 48
x y
x
2
y
x
x x
e y e
1 ln ln(ln )
y
****************************************
Phần ii tích phân
A) Các kiến thức cơ bản :
1-Công thức newton – leipnitz ( Niutơn – laipnit )
b
b a a
f x dxF x
Giải thích: Muốn tính tích phân của một hàm số ta đi tìm nguyên hàm của hàm số đó rồi thế cận
2-Tính chất:
2.1-Phép cộng: ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
k f x dxk f x dx
f x dx f x dx
a
a
f x dx
Trang 32.4-C«ng thøc t¸ch cËn tÝch ph©n: ( ) ( ) ( ) (Dùng để tính các tiích phân
f x dx f x dx f x dx
có chứa dấu giá trị tuyệt đối)
b) C¸c d¹ng bµi tËp :
D¹ng1: ¸p dông trùc tiÕp c«ng thøc Newton-Laipnit vµ c¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n
Bµi 1: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
2 2
3 1
2
x
0
x
1
2
1
e
x
x
x
1
1 ln
x
5
dx I
0
(3x 5x )
0
I x dx
10) 11) 12)
1
x x
e dx I
e
1 2
2 1
4
1
xdx I
x
0
I x x dx
Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
13) J sin x.cos3x.dx 14) 15)
4
0
2
0
sin
0
tan
2
0
cos 2 cos 3
6
sin
dx J
x
01 sin
dx J
x
4
3
0
sin
cos
xdx J
x
3
J
0
sin sin 2
0
0 cos
x
e dx J
x
2
cos(ln )
e
e
x dx J
x
Bµi 3: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau b»ng c¸ch t¸ch cËn tÝch ph©n
3
3
2
1
0
I x x x x dx
3
8
8
4
0
I x mx dx
* C«ng thøc tÝnh : ( )
b a
f x dx udvuv vdu
* NhËn d¹ng : Hµm sè UB& dÊu tÝch ph©n UV- lµ tÝch cña 2 lo¹i hµm sè kh¸c nhau
Trang 4* ý nghĩa : UW- pháp này nhằm U tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hoặc để khử bớt
hàm số UB& dấu tích phân (cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số UB& dấu tích phân)
* Chú ý: Ta cần chọn u và dv sao cho : du đơn giản , dễ tính được v , tích phân vdu đơn giản hơn tích phân udv .
Ta ,2 ra cách chọn 2 sau:
A, Gặp dạng: P x f x dx( ) ( ) ( P(x) là đa thức còn f(x) là một trong các hàm số sin(ax+b) , cos(ax+b)
ea x+b , ax) Thì ta đặt : u=P(x) và dv = cos(ax+b).dx
* Chú ý: Nếu P(x) có bậc n thì ta phải tính tích phân từng phần n lần (mỗi lần P(x) sẽ giảm 1 bậc)
u = cos(lnx) và dv = xkdx
u=P(x) và dv = f(x).dx
Chú ý: Trong dạng B và dạng C ta sẽ gặp tích phân luân hồi (sau khi tính hai lần lại trở về tích
phân ban đầu)
D, Gặp dạng: P x( ).lnn xdx.Thì ta đặt u= lnnx và dv = P(x).dx ( Tính n lần)
x a
Tính các tích phân sau:
0
4
0
.sin
0
x
I x e dx
0
.3x
2
3
1
.ln
16
0
x
1
e
2
2.sin(ln )
e
e
5
1
s(ln )
e
2
I e
3 3
0
0
1 sin
1 cos
x
2
I e
1
2
0
3
I x dx 1 7ln 3
4
0
1
2
sin
x dx J
x
ln(cos ) cos
x dx J
x
sin
xdx J
x
cos
xdx J
x
sin
dx J
x
cos sin
x
x
1
x
x
Dạng3: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Trang 5
A - Đổi biến số cách 1 : Để tính ( ) ta đặt t= g(x) ( g(x) chứa trong f(x).Tiếp theo biểu diễn
a
f x dx
f(x)dx theo t và dt.Ta thu U` tích phân theo t ( Nhớ rằng đổi biến thì phải đổi cả cận )
Dựa vào bảng sau để lựa chọn biến số
(xa x)( b)
b - Đổi biến số cách 2: Để tính ( ) ta đặt x= g(t) rồi cũng làm U cách 1(cách này kết hợp
b
a
f x dx
với KUW- pháp 3U`- giác hoá tích phân hàm vô tỉ)
Dựa vào bảng sau để lựa chọn biến số
a x
t
x a
a x
x = acos2t
2
t
Chứa (x a b)( x)
x = a+(b -
Bài 4: Dùng 2= pháp đổi biến cách 1 hãy tính các tích phân sau:
1
0
0
0
1
0
0
0
2 4
6 0
sin
cos
x
x
0
1 cos
x
I e e e dx
0 2
x
x
1 5 2
2
0 1
x
x
x
x
0
x
x x
dx J
dx J
e e
Trang 666) 67) 68)
3
8
x dx J
x
0
2 1
x
dx J
e
2
dx J
dx J
2
2 1
x x
Bài 5: Dùng 2= pháp đổi biến cách 2 hãy tính các tích phân sau:
1
2
0
I x dx
2 3
0
dx J
x
1
0
3 4 2
2
x
x
dx J
x
2
2 3
dx J
x
1 3 2
2
0 1
x
x
3 4
a b
a b
dx
x a b x
2
1
0
2 2
x
x
5 2
0
5 5
x
x
C - Đổi biến số ở hàm 2` giác: Giả sử cần tính tích phân I R(sin , cos )x x dx, với R là hàm vôtỉ ta có thể chọn các 2/ sau:
[2/ : Nếu R lẻ đối với sinx , R(- sinx,cosx) = - R(sinx,cosx) thì đặt t = cosx
[2/>: Nếu R lẻ đối với cosx , R(sinx,- cosx) = - R(sinx,cosx) thì đặt t = sinx
[2/0: Nếu R chẵn đối với sinx và cosx , R(- sinx, - cosx) = R(sinx,cosx) thì đặt t = tanx (t = cotx)
[2/F: Có thể đặt biến số t=tg(x/2) để ,2 về tích phân của hàm phân thức hữu tỉ
Bài 6: Tính các tích phân sau:
2 sin
x
sin cos
dx I
dx I
2
3
cos
sin
xdx I
x
x
I
sin 2
1 sin
xdx I
x
dx I
Dạng4: Tính tích phân của hàm số phân thức hữu tỉ
Ta dựa vào đặc thù của hàm,dùng KUW- pháp phân tích hoặc đồng nhất thức để U nguyên hàm đã cho về các nguyên hàm cơ bản sau:
cx e b
Trang 72) hoặc thì ta chia tử cho mẫu
2
2
ax bx c
ex f
ax bx c
TH1: Mẫu có 2 nghiệm x1 và x2 thì U về dạng
1
TH2: Mẫu có nghiệm kép thì U về dạng
2
1
I
4)
2
ax b n
5) 6 ( ) nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì ta chia tử cho mẫu rồi làm U trên.Nếu
( )
p x
q x
-U` lại thì ta sử dụng đồng nhất thức
Ngoài ra ta còn có thể sử dụng KUW- pháp đổi biến hay tính nguyên hàm từng phần
Bài 7: Tính các tích phân sau:
dx I
dx I
I
xdx I
3
2
x dx I
2
dx I
dx I
2
1
x
1
dx I
x
dx I
2
2007
x dx I
x
1
I
x
dx I
I
x dx I
x
Dạng5: Tính tích phân nhờ tích phân phụ
Bài 8: Tính các tích phân sau:
xdx I
sin
xdx I
e
e e
sin cos 2
cos sin 2
e
e e
Dạng6:Một số loại tích phân đặc biệt
Khi gặp các loại sau cần chú ý tới cận và hàm số 2/ dấu tích phân
Loại 1: Nếu hàm số f(x) liên tục và lẻ trên [-a; a] Thì ( ) 0(Đặt x = - t)
a
a
f x dx
Trang 8( ) ( )
b
a
Loại 2: Nếu hàm số f(x) liên tục và chẵn trên [-a; a] Thì
0
a
f x dx f x dx
0
( )
( ) 1
x k
f x
dx f x dx a
Loại 4: Nếu hàm số f(x) liên tục và chẵn trên 0, Thì
2
Bài 9: Tính các tích phân sau:
2007 2
0
sin
xdx I
12x 1
x dx
0
.sin
4 cos
x
2
3
0
0
1 sin ln
1 cos
x
x
0
ln(1 tan )
123) 124) 125)
3 2
0
sin
1 cos
x dx x
1( x 1)( 1)
dx
0
sin 2
1 sin
x dx x
********************************
Phần iII ứng dụng của tích phân
A-tính diện tích hình phẳng :
Loại 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y=f(x) ; y=g(x) và 2 ,23 thẳng
b
a
S f x g x dx
trục tung có 2= trình lần 2`& là : y = 0 ; x = 0
126) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thịy2x2 4x6,trục Ox và x=-2 ; x=4(vẽ hình)
127)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị yx23x2y=x-1và trục tung x=0(vẽ hình)
128)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 12 ; ; ;
cos
y
x
sin
y
x
6
x
3
x
129)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ysin2 x.cos3x trục Ox,Oy và
2
x
130)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 1 3 trục Ox; x=1; x=2
y
131)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị yx x( 1)(x2); trục Ox; x=-2 ; x=2
132)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 5; trục Ox;trục Oy và x=1
yx x 133)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị : xy=4 trục Ox; x=a; x = 3a(a>0)
134)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ln trục Ox;
2
x y
x
135)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y sin4xcos4x ; trục Ox ;
2
x
Loại 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y =f(x) ; y =g(x) và ,23 thẳng x = a
(Biết 1 cận tích phân).Ta tìm cận còn lại rồi áp dụng công thức (I)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các UV- sau :
Trang 9136) y = ex ; y= e-x ; x=1 137) yx 1x2 ; y=0 ; x=1 138) 2 3 ; y= 0 ; x=1
y x x
139) y x ;y = - x; x = 5 140) y = ex; y= (x+1)5; x = 1
Loại 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y =f(x) ; y =g(x);y $2 biết
cận).Ta giải các 2= trình f(x)=g(x);g(x)=h(x);f(x)=h(x) để tìm cận lấy tích phân(Ta nên
vẽ cụ thể đồ thị 3 hàm số).Căn cứ đồ thị để tính diện tích từng phần rồi cộng lại.
4
144) yx2 2x2;y x24x5;y=1 145) x-2y+2=0 ; y=0 ; y2=2x
(4x) y
27
x
x
4
x
x
x
Loại 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y =f(x) ; y =g(x)(2 ,23 cong tự
u&62 biết cận).Ta giải 2= trình f(x)=g(x) tìm cận rồi áp dụng công thức(I)
1
x y
x
x
3
x
y
2
4
x
4 2
x
y
4
y x
2
sin
y xx
B-tính thể tích của vật thể sinh ra khi quay một hình phẳng quanh trục ox hay oy :
*Nếu hình D giới hạn bởi : y=f(x) ; y=0 ; x=a ; x=b quay xung quanh Ox ta áp dụng công
thức:
ta áp dụng công thức :
*Nếu hình D giới hạn bởi : x=g(y) ; x=0 ; y=a ; y=b quay xung quanh Oy ta áp dụng công
thức:
ta áp dụng công thức :
Tìm thể tích của vật thể sinh ra khi quay miền D xung quanh trục Ox,Oy
161) Cho miền D giới hạn bởi: y=sinx; y=0 ; x=0 ; x Tính SD và VD khi D quay quanh Ox
162) Cho miền D giới hạn bởi: y=lnx ; x=1;x=2;y=0.Tính SD và VD khi D quay quanh Ox
163) Cho miền D giới hạn bởi: y x e x ; x=1;x=2;y=0.Tính SD và VD khi D quay quanh Ox
164) Cho miền D giới hạn bởi: ;y=2;y=4.Tính SD và VD khi D quay quanh Ox
2
2
x
y
2
( )
b Ox a
V f x dx
( ) ( )
b Ox a
V f x g x dx
2
( )
b Oy a
V g y dy
( ) ( )
b Oy a
V f y g y dy
Trang 10165) Cho miền D giới hạn bởi: ; Tính SD và VD khi D quay quanh Ox
3
x
y x
166) Cho miền D giới hạn bởi: 2 3;y=0;x=1 Tính SD VD,Ox ; VD,Oy
y x
1 1
y
x
168) Cho miền D giới hạn bởi: ytan3x;y=0; ; Tính SD VD,Ox
x x
169) Cho miền D giới hạn bởi: y x;y=- x;x=5.Tính SD và VD,Oy
2
x
2
x
171) Cho miền D giới hạn bởi: y x ln(1x3);Ox;x=1.Tính SD và VD,Oy
172) Cho miền D giới hạn bởi y=lnx ; y=0;x=2 Tính SD và VD khi D quay quanh Ox
173) Cho miền D giới hạn bởi:;y x2 2x ; y = 0.Tính VD,Ox ; VD,Oy
174) Cho miền D giới hạn bởi:y(x2)2 ; y = 4 Tính VD,Ox ; VD,Oy
C – chứng minh đẳng thức k bằng tích phân:
n
C
* Mô tả 2= pháp : Dựa vào đặc thù của đẳng thức ta xét khai triển nhị thức
Newton của một tổng nào đó.Tiếp theo ta lấy tích phân 2 vế của đẳng thức đã khai
triển ,rồi “khéo léo” làm xuất hiện đẳng thức cần chứng minh
* Hãy chứng minh các đẳng thức sau bằng tích phân:
175) 1+1 1+ + + + + = (Khai triển (1+x)n )
2C n
2
1
3C n
3
1
4C n
4
1
5C n
1 1
n n
C
n
1
1
n
n
2C n
2
1
3C n
3
1
4C n
4
1
5C n
1
( 1) 1
n n n
C n
n
n
3C n
1
1
6C n
2
1
9C n
3
1
12C n
1
n n
C
n
1
n
n
2C n
2
1
3C n
3
1
4C n
4
1
5C n
( 1) 1
n n n
C n
1 1
n
2C n
1
1
3C n
2
1
4C n
3
1
5C n
( 1) 2
n n n
C n
1 2(n1)
2C n 1.22 1
3 2
1 2
1
( 1) 2 1
n
n
C n
1 ( 1) 1
n
n
2C n 1.22 1
3 2
1 2
1
1 2 1
n
C n
1
1
n
n
1
n
C 2.1
2
n
3
n
4
n
n
1 2
1 3
1
n
Tích phân:
1 Tính các tích phân cơ bản:
1/ I = 2 2/ I= 3/ I =
1
3
) 1 2
1
1 3 2
)
3
x
1 2
1
dx x x
Trang 114/ I = 4 5/ I = 6/ I=
1
4
1
2 2
2 4
4
dx x
x
6
0
22 cos
1 2
cos 3 sin
dx x x
x
7/ I = 8/
0
) 6 2
6
0
1
1 sin 2x dx
2 §æi biÕn sè d¹ng 1.
1/ I = 2 2/ I = 3/ I = 4/ I =
1
2 2
1
0 1 x2
dx
3
0
2 3
x
dx
0
2
2 1)( 2)
dx
5/ 6/ I = 7/ I= 8/ I =
0
1 x2 2x 2
dx
2
dx x
2
1 3
2
1
dx x
x
dx x
x
0
2 2 2
9/ I= 1 10/I = 11/ I =
0
2 4
1
x
x
xdx
1
0 1 x2 5
1( 1)
dx x
3 §æi biÕn sè d¹ng II.
0
19
) 1
0 2 5
1dx
x
x
1
0
2
x
0
2 3
x I
5/ 1 6/ I = 7/ I= 8/ I =
0
2 3
x
0 2x 1
xdx
2
5 x x2 4
dx
2
0
2 3
sin 1
sin cos
dx x
x x
9/ I = 6 10/ I = 11/
0
2 2
cos sin
2
2 sin
dx x x
x
2
ln
0 e x 2
dx
ln3
x
e
dx e I
12/ I= e dx 13/ I = 14/ I = (2/3)
x
x x
1
ln ln 3 1
e x x dx
ln 2
0 cos2 4sin2
2 sin
dx x x
x
15/ I = ln5 16/ I = 17/ I =
2
ln
2
1
dx e
e
x
0
x x dx
3 5
1
2
dx x
x x
18/ I = ln2 19/ I = 20/ I=
0 1 x
x
e
e
1
0
3 2 3
) 1
2
x dx
x
0
3
1
1
x x dx
0
1 cos x.sin cosx xdx
dx
x x
24/ I= (231/10) 25/ 26/
7
3
0
2
1
x
dx x
ln 3 x 2 x 3
dx
e e
xdx
x
IV TÝch ph©n tõng phÇn.
Trang 121/ I = x x dx 2/ I = 3/ I= 4/ I = 5/ I =
e
1
0
2
cos xdx
e
dx x
x
1 2
ln
e xdx
1
3
ln
6/ I =3 7/ I = 8/ I =
2
2
)
0
2
cos
dx x
0
3
5 sin
xdx
e x
9/ I = x(e x x 1)dx 10/ I = 11/ I=
0
1
3 2
0
2 sin
xdx
e
1
2 3
ln
12/ I =1 13/ I= (2) 14/ I =
0
2
) 2
0
cos
2 sin
xdx
0
2
cos ) sin (
xdx x
x
15/ I= 16/ I= 17/ I=
1
3 2
0
x
x e dx
1
1 ln
e
x
x dx x
2
ln(x x dx)
18/ I= 2 19/ I= 20/ I=
1
ln
e
x x dx
0
(x 2)e dx x
0
(x 1) sin 2xdx
21/ I= ln 2 2 22/ I= 23/ I=
5
0
x
x e dx
2
0
ln 1
1
x dx x
24/ I=4 2 25/ 26/ I=
0
cos
x
dx x
0
1 sin ln
1 cos
x
x x
3
.sin cos
dx x
27/ 28/ I = 29/ I=
3
2
3
0
sin x dx
0
ln(1 tan )x dx
1
x x dx
30/ I=
2
2 2 0
b
dx
V/ Tích phân các hàm chứa giá trị tuyệt đối:
1/ I = 2 4/ I = 7/ I=
0
2 dx
0
2
dx x x
4 2
1
x x dx
2/ I = 2 x x dx 5/ I = 8/ I=
0
2
3
0
2 cos
3
0
2 3
4
x
2
0
1 sin 2x dx
Tích phân hàm số hửu tỷ
1/ I = 5/ I= 11/ I =
1
0
3
2
x
3
2
9 2
1 x
dx x
4
2 x (x 1)
dx
... trình f(x)=g(x);g(x)=h(x);f(x)=h(x) để tìm cận lấy tích phân( Ta nênvẽ cụ thể đồ thị hàm số).Căn đồ thị để tính diện tích phần cộng lại.
4
144)... theo ta lấy tích phân vế đẳng thức khai
triển ,rồi “khéo léo” làm xuất đẳng thức cần chứng minh
* Hãy chứng minh đẳng thức sau tích phân: ...
n
1
1
1
n
Tích phân:
1 Tính tích phân bản:
1/ I = 2 2/ I= 3/