Đây là hệ đối xứng kiểu 2 đã biết cách giải.. Giải các hệ phương trình sau :... Phương trình này đã biết cách giải ở phần phương pháp giải phương trình mũ.. Giải các phương trình sau :..
Trang 1HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CỦA BÀI GIẢNG SỐ 3 :
HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT
2
19
2001 7
HH
2
0
19
* 1
6
x y
x y
xy
Giải (*) cho ta nghiệm x,y
2
3 2
2001 3
2
x y
x
TL
y x
y
+ =
+ =
Đây là hệ đối xứng kiểu 2 đã biết cách giải
Bài 2 Giải các hệ phương trình sau :
a
5
5
1 2
4
x y x y xy xy
KA
+ + + + = −
Hệ viết lại : ( )
2 2
u x y v xy
Học sinh giải tiếp ta được : ( )
2
2
x y
= −
1 7
08
1 13
KB
+ + =
−
( )
2 2
1
7
1
13
x
x
x
+ + =
2
1 0
2
x ty
t ty
y t
=
= −
Giải (1) tìm được x,y.
Bài 3 Giải các hệ phương trình sau :
Trang 2a ( )
( )
1 1
1 2
x x y x y
x y x xy
Lấy (1) trừ cho (2) vế với vế ta được phương trình :
2
1
2
x xy
x xy
Thay lần lượt vào (2) : ( )
( )
2 2
2
2 3
1 1
1
0 0
x xy
x xy
x xy
x x
x xy
x y
− =
Học sinh giải tiếp
08
CD KB
( )
2 2
2 2
2
x x
Thay (4) vào (3) sau đó rút gọn ta có :
3
0
4
x
x
=
X=0 loại Vậy hệ có nghiệm duy nhấy : ( ; ) 4;17
4
x y = −
0
x y x y
• Khi x=y , thì x=-1 Vậy nghiệm của hệ là : (x;y)=(-1;-1)
• Khi x+y=1 , (2) có nghiệm duy nhất : x=1 , do đó hệ có nghiệm : (x;y)=(1;0)
2
2
1
2
3
2
x
y
−
.
1 2
1 2
x y
x
x xy
x
−
=
=
Thay vào phương trình (1):
2
1 1
2
x
⇔ − = − Phương trình này đã biết cách giải ở phần phương pháp giải phương trình mũ
Bài 4 Giải các phương trình sau :
Trang 3a ( )
3 3
2
2
1
19
19
6
y y
u v
y y
x x
Với : u 1;v y
x
Học sinh tự giải tiếp
b
2
2
÷
Với : 2
1
;
y
Giải tiếp tìm được u,v , sau đó tìm x,y
d
Lấy (1) trừ cho (2) vế với vế ta có :
Phương trình (2) : ( )2 ( )
Thay (*) vào ta được :
4
x y
x y
+ = −
+ =
Vậy hệ đã cho :
2
659
9
4 4
37
16 11.4 9
xy xy
x y
x y
xy xy
+ = −
Giải tiếp ta tìm được x,y
Bài 5 Giải các hẹ phương trình sau :
a ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) )
Từ (2) : ln 1( x) x ln(1 y) y f t( ) lnt t 1; '( )f t 1 1 0 t 0
t
số f(t) đồng biến Cho nên để có (2) thì chỉ xảy ra khi x=y
• Nếu : x=2y ( ; ) ( )0;0
• Nếu : x 10y (x y; ) ( )0;0
x y
=
=
b
( )
( ) ( ) ( )
2
x
Để (*) xảy ra khi và chỉ khi : x-1=y, hay : x=y+1, x-2=y-1 2 1
1
x y
−
−
Trang 4Thay vào (2) ta có : ( )2 ( )2
Do đó nghiệm của hệ phương trình là : (x;y)=(3;2).
c
-Trường hợp 1: y= 2
x , thay vào (2) : (x+2) x2+ =1 (x2+ +1 2x) ⇔ − +t2 (x 2)t+2x= ⇒ =0 t 2;t=x
2
1
⇔
-Trường hợp : 2x2+y2+yx2+x4 = ⇔0 y2+yx2+(2x2+x4) =0
Do đó hệ có hai nghiệm : (x;y)= (− 3;3 ,) ( )3;3
d.
2
x
y
0
y
≤
Thay vào (2) ⇔ x−2y =4y2+5y− ⇔ −2 2y=4y2+5y− ⇒2 4y2+7y− =2 0
Thay vào (2) : ⇔ 9y2+2y+3y =9y2+2y+3y− ⇔2 9y2+5y =9y2+5y− =2 0
2
2 2
2
1 2
y t
y
t t
= −
=
=
Thay lần lượt các giá trị của y vào (*) ta tìm được x
Bài 6 Giải các hệ phương trình sau :
( )
2
2
1 1 2
xy
x y
x y
Từ (2) viết lại : ( )2
x y x y x+ + + = + ⇔x x y+ + x y+ =x +x
Ta xét hàm số f(t)=t2+t t( ≥ ⇒0) f t'( ) = + > ∨ ≥2t 1 0 t 0 Chứng tỏ f(t) là một hàm số
đồng biến , cho nên ta có : 2
x y+ = ⇔ =x y x −x (*) Thay vào (1) :
2 2
xy
−
1 0
3 0
x
− =
Trang 5Giải (**) ta tìm được x , thay vào (*) tìm được y , từ đó suy ra nghiệm của hệ
( ) ( )
2
y x y
Thay (3) vào (4) ta có : 2 2 576 96 480
2
36
64
y
y
=
Vậy : (x;y)=(10;-6),(10;6),(10;-8),(10;8)
( )2 ( ) ( ( ) ( ) (2 ) ) ( )
xy x y
-Trường hợp : x+2=0 , thay vào (2) : ( )
7
2
y
x y y
= −
=
-Trường hợp : 2y+3=0 hay : 2y=-3 , thay vào (2) :
x
x
=
2
2 2
2
u y
y
v
x y
x x
xy y x
= − +
.
Với u=x-y và v=2 y
x Học sinh giải tiếp
Bài 7 Giải các hệ phương trình sau :
( )
2
Lấy (1) cộng với (2) vế với vế :
4
=
• Với : x=2y thay vào (2) :
( )
2
5 3 5
20
5 3 5 20
y
y
=
=
• Với x=4y, thay vào (2) : 2 ( )
1
11
2
y
y
=
=
( )
2
+ =
Học sinh giải theo cách : Đặt x=ty
Cách khác :
Trang 6Lấy (1) trừ cho hai sau khi nhân hai vế với x ( Khử x y2 2 ở hai phương trình của hệ ) :
( )2 ( )2
• Nếu : (y2+1) ( y2+ − =y 1) 2y⇔ y4+ − − = ⇔y3 y 1 0 (y+1) (y3− =1) 0
• Với : x=y y− 2+1, thay vào (2) ta được : (y−1) (y3+ = ↔ = ±1) 0 y 1
Vậy nghiệm của hệ là : (x;y)=(-1;-1),(1;1).
( )
2
2
1
3 2
x y y
x
Cách 1:
Lấy phương trình (2) trừ cho phương trình (1) sau khi nhân hai vế của nó với 2
x y, ta
( )
2 2
2
2
2
1 1
1
x
xy x a
xy x
x xy b x
− = −
-Thay a) vào (1) : 2 ( ) ( )
3 2
1
− +
+
-Tương tự thay b) vào (1) Học sinh tự làm
Cách 2:
Do x=0 không là nghiệm cho chia hai vế phương trình (1) cho xy≠0.
( )
( )
2
2 2
2
2 2
3 2
1
5
x
x xy
xy x
Từ (4) suy ra : 2 2 2 2
x y = ∨x y = ( loại ) Cho nên :
2 2
1
2
2
xy
x
x xy
x
x x x
x xy
2 2
1
2
2
xy
x
x xy
x
x x x
x xy
Trang 7Vậy hệ có nghiệm : (x,y)=(-1;-1),(-1;1)
( )
3
3 2
y
x
−
Điều kiện : x>0;x y+ ≥0
Phương trình (1) : 3 3 3 0
3 3
y
− =
⇔
• Với y=3 , thay vào (1) : 2 x+ = → = − <3 0 x 3 0( loại )
3
Bài 8 Giải các hệ phương trình sau :
( )
1 2
Điều kiện : x>0,y>0,x> y
Phương trình (1) ⇔ x y+ + x y− − −1 x y x y+ − = ⇔0 ( x y− −1 1)( − x y+ )=0
1
1
x y
b
( )
2
3
1
x y x
x y
Điều kiện : x y+ ≠0
Phương trình (1) : ( 2 2) ( 2 2) ( )
2
3
x y
+
( )2 ( ) ( )2
2
3
x y
+
Phương trình (2) : (x y) 1 (x y) 3
x y
+
2
Hệ trở thành : ( 2 ) 2 ( )
2
+ =
2 7
2
x y
x y
x y
⇔
− =
Hệ vô nghiệm
( )2
2
1
x y
x y
y
x y
=
Trang 8c
2
2
2
4
x x
x y x
2
1
1 1
x
x y y
y
=
d
( ) ( )
2
3 2
2 2
3
2
1
2
2
xy
xy
Lấy (1) cộng với (2) vế với vế , ta được : ( ) ( ) ( )
3
x y
Do : ( )
( )
3
2 3
2
2 2
xy
xy
VT xy xy
;VP x= 2+y2 ≥2xy
Cho nên để xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi : VT=VP=2xy và : x=y=1 Do đó hệ có nghiệm duy nhất : (x,y)=(1;1).
Bài 9 Giải các hệ phương trình sau :
( ) ( )
1 1
1 1
x y
y x
+ + + =
Thay vào (2) : 2y− + +1 y y(2y−1 5) ( y− =3) 4 2( y− ⇔1) 10y3−19y2+10y− =1 0
1
y
=
4
2
2
9
x y xy
x y
+ = ±
• TH1: xy x y+ = ±=2 3⇔x x== −1,1,y y= ∨ == − ∨ = −2 2x x2,y=2,1y= −1
(x y; ) ( 1; 2 , 2; 1 1; 2 2;1) ( ) ( ) ( )
5
2
3
xy
t t
x y
=
+ = ±
.Hệ vô nghiệm
Trang 9c ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
2
4
1 4
2 2
y x
y y
+ + + =
3
x y
x y
+ = −
( )
2
3
x y
=
( ) ( )
( ) ( )
2
Đặt : t x
y
= (*) Từ (3) và (4) :⇒ + −t3 (1 5t2) (1 4− t)= ⇔1 21t3−5t2− =4t 0
2
1
4
7
t t
t t
t
= −
=
Thay t vào (*) để tính x theo y , sau đó thay vào (1) ta sẽ
tìm đượcnghiệm của hệ (x,y)=(1;-3),(-1;3)
Bài 10 Giải các hệ phương trình sau :
( ) ( ( ) )
( ) ( )
2
1 4
u v uv
Với : u=x-y,v=xy Từ (3) và (4) , tính uv theo u+v thay vào (3) ta có :
{
2
,
u v
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x y
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
1
x
Từ (3) : ( 2 )
2
1
y
x
+ =
+ , thay vào (4) ta được :
2 2
1
x
+
Trang 10( ) ( ) ( )
2 2
2
2
t t
2
1
1
;
1
x x y
x
+
( )
2
2 2
3 1
1 3 3 3
x xy y
Với :
2
1
x u y v y
=
=
lấy (3)trừ cho (4) :
- Với u=1 thay vào (3) : 3v=3 suy ra v=1 2 ( ) ( ) ( )
2
1
x
x y y
x y y
y
=
- Với : 2 1
2
u
v= − , thay vào (3) : 2
u u
u
= −
= +
2
Do đó ta có hệ :
2 2
2 2
1
1
y
y
y
y
= +
Cách khác :
Lấy phương trình (2) trừ cho phương trình (1) sau khi đã nhân hai vế của (1)với y , ta được phương trình : x3+y3−x y xy2 − 2 = − +2y 2x⇔(x y x+ ) ( 2+y2−2xy)=2(x y− )
* Với : x-y=0 thay vào (1) ta có x2 = ⇒1 (x y; ) = − −( 1; 1), 1;1( )
Trang 11* Với : ( )
( )
2 3
3 4
x y
x y xy
Lấy (3) nhân với 2 trừ cho (2) nhân với 3 ( Khử số hàng tự
6
x y y
x y y
= −
− +
Trở về như trên
2
Đặt : a=x+y,b=xy Lấy (1) cộng với (2) vế với vế ta được :