Xây dựng và phân loại một số lớp đồ thị có cấu trúc đặc biệt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---LÊ THỊ THU HƯỜNG XÂY DỰNG VÀ PHÂN LOẠI MỘT SỐ LỚP ĐỒ THỊ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2014... ĐẠI H

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-LÊ THỊ THU HƯỜNG

XÂY DỰNG VÀ PHÂN LOẠI MỘT SỐ LỚP ĐỒ THỊ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC

BIỆT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-LÊ THỊ THU HƯỜNG

XÂY DỰNG VÀ PHÂN LOẠI MỘT SỐ

LỚP ĐỒ THỊ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC

BIỆT

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS LÊ ANH VINH

Hà Nội – 2014

H Nºi, ng y 30 th¡ng 10 n«m 2014

Håc vi¶n L¶ Thà Thu H÷íng

1

Möc löc

Mð ƒu 3

Ch÷ìng 1 ç thà n-e.c 5 1.1 Kh¡i ni»m v• ç thà n-e.c 5 1.2 Mºt sŁ t‰nh ch§t cì b£n cıa ç thà n-e.c 7

1.3 C¡c ç thà Paley v bi‚n th”

13

Ch÷ìng 2 X¥y düng v ph¥n lo⁄i mºt sŁ ç thà e.c 18 2.1 ç thà e.c 18 2.2 ç thà 2-e.c 23

n-2.3 ç thà 3-e.c

25

2.4 C¡c ç thà n-e.c vîi n 4

28 Ch÷ìng 3 X¥y düng ç thà ng¤u nhi¶n ch‰nh quy m⁄nh 31 3.1 X¥y düng

1 32 3.2 X¥y düng 2 34

T i li»u tham kh£o 42

2

Mð ƒu

Lþ thuy‚t ç thà l mºt ng nh khoa håc nghi¶n cøu v• t‰nh ch§t cıa c¡c

ç thà, chi‚m và tr‰ quan trång v• c£ lþ thuy‚t l¤n øng döng Mºt c¡chkhæng ch‰nh thøc, ç thà l mºt t“p c¡c Łi t÷æng ÷æc gåi l c¡c ¿nh ÷æcnŁi vîi nhau b‹ng c¡c c⁄nh C⁄nh câ th” câ h÷îng ho°c væ h÷îng ç thàth÷íng ÷æc v‡ d÷îi d⁄ng mºt t“p c¡c i”m v c¡c i”m nŁi vîi nhau b‹ng c¡co⁄n thflng(c¡c c⁄nh) Lu“n v«n n y • c“p tîi vi»c x¥y düng v ph¥n lo⁄i mºt

sŁ lîp ç thà câ c§u tróc °c bi»t Cö th” ð ¥y ch‰nh l c¡c ç thà câ t‰nhch§t n-e.c T‰nh ch§t n y ÷æc ph¡t hi»n v nghi¶n cøu bði hai nh khoahåc Erd}os v Re’nyi [16] v ng y c ng nh“n ÷æc sü quan t¥m chó þ cıac¡c nh nghi¶n cøu ð c¡c l¾nh vüc kh¡c nhau

Nºi dung ch‰nh cıa lu“n v«n l t“p trung l m rª c¡c t‰nh ch§t cıa çthà n-e.c, sau â x¥y düng v ph¥n lo⁄i c¡c ç thà n-e.c, cuŁi còng n¶u ramºt sŁ c¡ch x¥y düng cö th” cho ç thà n-e.c Lu“n v«n bao gçm bach÷ìng

Ch÷ìng 1 : Giîi thi»u v• ç thà n-e.c, c¡c t‰nh ch§t cıa ç thà n-e.c v mºt v i d⁄ng ç thà n-e.c ¢ bi‚t

Ch÷ìng 2 : X¥y düng c¡c ç thà n-e.c tŒng qu¡t vîi i•u ki»n nh§t ànhsau â cö th” hìn cho c¡c lîp ç thà 2-e.c, 3-e.c v c¡c ç thà n-e.c vîi n

4

Ch÷ìng 3 : N¶u ra hai c¡ch x¥y düng ç thà ng¤u nhi¶n ch‰nh quy m⁄nh, sau â chøng minh c¡c ç thà sinh ra thäa m¢n t‰nh ch§t k•

n-e.c

M°c dò ¢ r§t cŁ g›ng nh÷ng do thíi gian thüc hi»n lu“n v«n khæng nhi•un¶n trong lu“n v«n khæng tr¡nh khäi nhœng h⁄n ch‚ v sai sât khi tr…nh

b y Em r§t mong nh“n ÷æc sü gâp þ v nhœng þ ki‚n x¥y düng cıa thƒy

cæ v c¡c b⁄n åc Em xin ch¥n th nh c£m ìn!

4

Ch֓ng 1

ç thà n-e.c

Tr÷îc khi i v o kh¡i ni»m ç thà n e:c, chóng ta s‡ nh›c l⁄i mºt v i ki‚nthøc cì b£n cıa ç thà Vîi kþ hi»u ç thà G = (V; E), th… V (hay V (G)) lt“p ¿nh cıa ç thà G v E (hay E(G)) l t“p c¡c c⁄nh cıa ç thà T“p ¿nh ph£ikh¡c rØng, cÆn t“p c⁄nh câ th” l t“p rØng SŁ ¿nh

cıa ç thà gåi l c§p cıa ç thà v kþ hi»u l jV j SŁ c⁄nh cıa ç thà gåi

l cï cıa ç thà v kþ hi»u l jEj Vîi x; y 2 V , ta câ fx; yg 2 E hay xy

l c⁄nh n‚u x ÷æc nŁi vîi y v ta nâi r‹ng x k• vîi y ç thà G0 l çthà con cıa ç thà G n‚u: V (G0) V (G) v fx; yg 2 E(G0) khi v ch¿ khifx; yg 2 E(G)

Mºt ç thà ng¤u nhi¶n ÷æc t⁄o bði mºt t“p n ¿nh cho tr÷îc v th¶mdƒn c¡c c⁄nh mºt c¡ch ng¤u nhi¶n Trong khi nghi¶n cøu v• ç thà ng¤unhi¶n, Erd}os v Re’nyi [16] ¢ ph¡t hi»n ra t‰nh ch§t k• v nghi¶n cøu v•

nâ T‰nh ch§t k• l t‰nh ch§t tŒng qu¡t cıa mºt ç thà v ÷æc ph¡t bi”ucho måi t“p S c¡c ¿nh cıa mºt lo⁄i ç thà cŁ ành n o â, câ mºt ¿nh ÷æcnŁi v o mºt t“p ¿nh S n o â theo mºt c¡ch nh§t ành T‰nh ch§t k• m

÷æc gåi l n-e.c nh“n ÷æc r§t nhi•u sü quan t¥m chó þ cıa nhi•u nhnghi¶n cøu ð c¡c l¾nh vüc kh¡c nhau nh÷ lþ thuy‚t ç thà, logic håc, x¡csu§t v h…nh håc

ành ngh¾a 1.1.1 Mºt ç thà l n-e.c n‚u vîi måi c°p t“p con U; W cıa t“p

¿nh V sao cho U \ W = ; v jUj + jW j = n (mºt trong hai t“p U

ho°c W câ th” l t“p rØng), th… câ mºt ¿nh v 2 V (U [ W ) sao cho v k• vîi t§t c£ c¡c ¿nh cıa U v khæng k• vîi ¿nh n o cıa W

V‰ dö 1: ç thà 1-e.c l mºt ç thà khæng câ ¿nh cæ l“p (tøc l ¿nh khængk• vîi b§t cø ¿nh n o) công khæng câ ¿nh phŒ qu¡t (tøc l ¿nh ÷æc nŁivîi t§t c£ c¡c ¿nh cÆn l⁄i) (xem H…nh 1.1)

V‰ dö 2: Mºt ç thà l 2-e.c n‚u vîi mØi c°p ¿nh ri¶ng bi»t u v w, câ 4

¿nh kh¡c vîi u v w nŁi vîi chóng theo t§t c£ nhœng c¡ch câ th” (xemH…nh 1.2)

ành ngh¾a t‰nh ch§t k• n-e.c kh¡ rª r ng nh÷ng tł ành ngh¾a l⁄ikhæng d„ ” ch¿ ra ç thà tçn t⁄i t‰nh ch§t n y Tuy nhi¶n, theo chøngminh ƒu ti¶n trong [16], hƒu h‚t t§t c£ c¡c ç thà hœu h⁄n •u l n-e.c Vîimºt sŁ nguy¶n m, khæng gian x¡c su§t G(m; 12 ) bao gçm mºt ç thà vîit“p ¿nhf0; :::; m 1g sao cho hai ¿nh ri¶ng bi»t ÷æc nŁi vîi nhau mºtc¡ch ºc l“p vîi x¡c su§t 12

ành lþ 1.1.1 ([3]) CŁ ành sŁ nguy¶n n > 1 Vîi x¡c su§t 1 khi m ! 1,G(m; 12 ) thäa m¢n t‰nh ch§t n-e.c

Chøng minh CŁ ành mºt t“p S chøa n phƒn tß trong t“p ¿nh V , v cŁành hai t“p con A v B ríi nhau cıa S vîi A [ B = S Cho z 2= S, x¡c su§t ”

z ch¿ k• vîi mºt trong hai t“p A v B l (12 )n

Nh÷ v“y x¡c su§t ” z khæng thäa m¢n t‰nh ch§t ch¿ k• vîi mºt tronghai t“p A v B l

2)n:

Do â, x¡c su§t ” c¡c ¿nh thuºc G (A [ B) khæng thäa m¢n t‰nh ch§t

ch¿ k• vîi mºt trong hai t“p A v B l

ành lþ 1.1.1 cho th§y r‹ng câ nhi•u v‰ dö v• ç thà n-e.c Ta công câth” d„ d ng tŒng qu¡t hâa b‹ng c¡ch thay 12 b‹ng mºt sŁ thüc p 2 (0; 1)

cŁ ành n o â i•u â cho th§y ç thà n-e.c kh¡ phŒ bi‚n Nh÷ng thüct‚ th… cho ‚n nhœng n«m gƒn ¥y ch¿ câ duy nh§t mºt hå ç thà n-e.c

÷æc bi‚t ‚n, â l c¡c ç thà Paley

N‚u mºt ç thà l n-e.c vîi 8n th… ç thà â ÷æc gåi l e.c (chó þ r‹ng b§t ký

ç thà e:c n o công l væ h⁄n) B§t cø hai ç thà e.c ‚m ÷æc n o â côngflng c§u vîi nhau, d⁄ng flng c§u n y câ t¶n l ç thà ng¤u nhi¶n væ h⁄nho°c ç thà Rado v ÷æc vi‚t l R ç thà R trð th nh ti¶u i”m cıa nhi•u ho⁄tºng nghi¶n cøu gƒn ¥y

Mºt v‰ dö ¡ng chó þ v• R, n‚u mºt ç thà hœu h⁄n G l n-e.c câ th” ÷æcxem nh÷ phi¶n b£n hœu h⁄n cıa R Do â, t‰nh ch§t n-e.c l mºt º o t§tành cıa t‰nh ng¤u nhi¶n trong ç thà Hai kh¡i ni»m kh¡c cıa t‰nhng¤u nhi¶n trong ç thà ÷æc ÷a ra v nghi¶n cøu mºt c¡ch to n di»n l t

‰nh ng¤u nhi¶n chu'n [12] v t‰nh tüa ng¤u nhi¶n [6] (nh÷ng chóng tas‡ khæng th£o lu“n ð ¥y) Nhi•u ç thà trong sŁ c¡c ç thà ð lu“n v«n n ythäa m¢n c¡c t‰nh ch§t n y, v‰ dö nh÷ ç thà Paley Tuy nhi¶n, c¡c t

‰nh ch§t ng¤u nhi¶n n y khæng nh§t thi‚t bi”u thà t‰nh n-e.c V‰ dö

÷æc cho trong [14] l ng¤u nhi¶n chu'n nh÷ng khæng ph£i 4-e.c

ƒu ti¶n ta nh›c l⁄i mºt sŁ kh¡i ni»m trong ç thà nh÷ sau.

ành ngh¾a 1.2.1 Phƒn bò cıa ç thà G kþ hi»u l G â l mºt ç thàvîi t“p ¿nh l t“p ¿nh cıa ç thà G çng thíi n‚u 2 ¿nh k• trong G th…khæng k• trong G v ng÷æc l⁄i

ành ngh¾a 1.2.2 S›c sŁ cıa mºt ç thà G l sŁ m u tŁi thi”u cƒn dòng ”

tæ m u c¡c ¿nh cıa ç thà sao cho hai ¿nh k• nhau ph£i câ m u kh¡cnhau S›c sŁ cıa ç thà G k‰ hi»u l (G)

Vîi x 2 V (G) ta kþ hi»u G x l ç thà con cıa G thu ÷æc b‹ng c¡ch xâa i i”m x °t N(x) = fy 2 V (G); y 6= x : fx; yg 2 E(G)g v Nc(x) = fy 2 V (G); y 6= x : fx; yg 2= E(G)g Vîi S V (G) ta kþ hi»u

G S l ç thà c£m sinh cıa G tr¶n S, tøc l vîi x; y 2 S th… fx; yg 2 E(S)

khi v ch¿ khi fx; yg 2 E(G) Vîi N(S) = fy 2 V (G); y 6= x : fx; yg 2 E(G);

x 2 Sg, th… N(S) = [x2SN(x)

ành ngh¾a 1.2.3 Ch¿ sŁ clique cıa ç thà G l sŁ ¿nh lîn nh§t cıa t“p

U ( U l t“p con cıa t“p ¿nh V ) thäa m¢n t‰nh ch§t: Vîi mØi c°p ¿nh thuºc

U luæn tçn t⁄i mºt c⁄nh cıa G nŁi chóng Ch¿ sŁ clique cıa ç thà G ÷æc kþhi»u l !(G)

N‚u mºt ç thà G câ t‰nh ch§t n-e.c, th… G chøa c¡c t‰nh ch§t c§utróc kh¡c ÷æc tŒng hæp trong hai ành lþ d÷îi ¥y

n 1

(2) Gi£ sß G câ m c⁄nh (m n) Theo chøng minh cıa ành lþ 1.1.1, ta câ x¡c su§t ” G khæng l n-e.c l

8

V“y G câ c§p ‰t nh§t l n + 2n.

Gi£ sß S l mºt t“p con chøa n ¿nh U; W l c°p t“p con cıa S cıa çthà sao cho U \ W = ; , U [ W = S v jUj n2 jW j Do G l n-e.c n¶n

câ mºt ¿nh v 2 V (U [ W ) sao cho v k• vîi t§t c£ c¡c ¿nh cıa U v

khæng k• vîi ¿nh n o cıa W , v công tçn t⁄i mºt ¿nh w 2 V (U [W)sao cho w k• vîi t§t c£ c¡c ¿nh cıa W v khæng k• vîi ¿nh n o cıa U Khi

â ta câ jUj c⁄nh nŁi v vîi c¡c ¿nh trong U v jW j c⁄nh nŁi w vîi c¡c ¿nhtrong W Nh÷ v“y vîi mØi c°p t“p con ta ch¿ ra ÷æc ‰t nh§t l

jUj + jW j = n c⁄nh kh¡c nhau Gi£ sß U1; W1 l mºt c°p t“p con kh¡ccông thäa m¢n U1 \ W1 = ; , U1 [ W1 = S v jU1j n2 jW1j Khi â

công tçn t⁄i 2 ¿nh v1; w1 2 V (U1 [ W1) sao cho v1 k• vîi t§t c£ c¡c

¿nh cıa U1 v khæng k• vîi ¿nh n o cıa W1 cÆn w1 th… ng÷æc l⁄i Do

U 6= U1 v jUj; jU1j n2 n¶n tçn t⁄i x 2 U1 \ W m v khæng k• vîi W

cÆn v1 k• vîi U1 n¶n v 6= v1 L“p lu“n t÷ìng tü ta công câ w 6= w1 v hi”nnhi¶n v 6= w1; w 6= v1 Nh÷ v“y vîi c°p t“p con U1; W1 ta công ch¿ ra ‰tnh§t jU1j + jW2j = n c⁄nh kh¡c nhau v kh¡c n c⁄nh øng vîi c°p t“p con U; W .

Do câ 2n 1 c°p t“p con cıa S n¶n ç thà G câ ‰t nh§t n:2n1 c⁄nh.

(3) Do G l n-e.c n‚u vîi måi c°p t“p con U; W cıa t“p ¿nh V cıa ç thà saocho U \W = ; v jUj+jW j = n, khi â câ mºt ¿nh v 2 V (U [W )

9

sao cho v k• vîi t§t c£ c¡c ¿nh cıa U v khæng k• vîi ¿nh n o cıa W Khi â trong G th… v khæng k• vîi ¿nh n o cıa U v k• vîi t§t c£ c¡c

¿nh cıa W Do â, G công l n-e.c

(4) Chån U gçm n i”m v W l t“p rØng Do G l n-e.c n¶n tçn t⁄i

v 2 V (U [ W ) sao cho v k• vîi t§t c£ c¡c ¿nh cıa U v khæng k• vîi

¿nh n o cıa W Ph£i tæ m u v c¡c ¿nh trong U bði c¡c m u kh¡c nhaun¶n cƒn n + 1 m u V“y (G) n + 1

Chån U1 = fu1g v W1 l t“p gçm n 1 ¿nh Do G l n-e.c n¶n tçn t⁄i u2 2 V (U1 [ W1) sao cho u2 k• vîi u1 Chån U2 = fu1; u2g v W2 l t“p gçm n 2

¿nh Khi â công tçn t⁄i u3 2 V (U2 [ W2)

sao cho u3 k• vîi U2 = fu1; u2g Chån U3 = fu1; u2; u3g khi â U3 câ c¡c

¿nh æi mºt k• nhau Ti‚p töc qu¡ tr…nh tr¶n ta s‡ thu ÷æc t“p Un+1 =

fu1; u2; u3; :::; un+1g gçm n + 1 ¿nh æi mºt k• nhau Nh÷ v“y !(G) n + 1:

(5) Chån x 2 S Do G l n e:c n¶n tçn t⁄i ¿nh zx k• vîi x v khæng k• vîi c¡c

¿nh kh¡c cıa S Ta câ zx 2 N(S) Hìn nœa, vîi x 6= x0 th… zx 6= zx0 Tł â tasuy ra jN(S) jSj

ành lþ 1.2.2 N‚u n > 1, th… vîi mØi ¿nh x cıa G ta câ c¡c ç thà G x;

G N(x) v G Nc(x) l ç thà (n 1)-e.c

Chøng minh Vîi x 2 V (G), x†t c°p t“p con U; W cıa t“p ¿nh V (G Nc(x))

sao cho U \ W = ; v jUj + jW j = n 1 Khi â (U + x) \ W = ;

v jU + xj + jW j = n Do G l n-e.c n¶n tçn t⁄i 2 V (G) (U + x [ W ) k• vîi t§tc£ c¡c ¿nh trong U + x v khæng k• vîi ¿nh n o trong W Khi â k• vîi t§tc£ c¡c ¿nh trong U v khæng k• vîi ¿nh n o trong W Nh÷ v“y G Nc(x) l(n 1)-e.c ( ç thà G x chøng minh ho n to n t÷ìng tü)

Łi vîi ç thà G N(x), ta công x†t c°p t“p con U; W cıa t“p ¿nh V (G N(x))

sao cho U \ W = ; v jUj + jW j = n 1 Khi â U \ (W + x) = ;

v jUj+ jW + xj = n Do G l n-e.c n¶n tçn t⁄i 2 V (G) (U [(W + x)) k• vîi t§tc£ c¡c ¿nh trong U v khæng k• vîi ¿nh n o trong W + x Khi â, k• vîi t§tc£ c¡c ¿nh trong U v khæng k• vîi ¿nh n o trong W Nh÷ v“y G N(x) l (n1)-e.c.

H» qu£ 1.2.1 Vîi mec(n) l c§p nhä nh§t cıa mºt ç thà n-e.c th…

m (n) 1

ec

.2

Tł â ta câ i•u cƒn chøng minh

D„ d ng ” ch¿ ra r‹ng mec(1) = 4 Câ ch‰nh x¡c ba ç thà 1-e.c c§p 4khæng flng c§u l : 2K2; C4 v P4 ( xem H…nh 1.1)

H…nh 1.1: ç thà 1-e.c vîi c§p nhä nh§t

Theo H» qu£ 1.2.1, mec(2) 2:mec(1) + 1 = 9 Vîi hai ç thà G v H, t‰chDescartes cıa G v H (kþ hi»u l G H) câ t“p ¿nh V (G) V (G) v c¡c c⁄nhf(a; b); (c; d)g 2 E(G H) n‚u v ch¿ n‚u fa; cg 2 E(G) v b = d ho°c a = c v

fb; dg 2 E(G)

11

Trong [5] ta câ chó þ ƒu ti¶n l mec(2) = 9 v K3 K3 l 2-e.c Theo [2] tacông thu ÷æc K3 K3 l d⁄ng flng c§u duy nh§t cıa ç thà 2-e.c câ c§p 9 çthà K3 K3 ÷æc cho trong H…nh 1.2.

H…nh 1.2: ç thà 2-e.c câ c§p nhä nh§t duy nh§t

Công theo H» qu£ 1.2.1, mec(3) 2:mec(2) + 1 = 19 Tuy nhi¶n, mºt çthà 3-e.c vîi 19 ¿nh l ç thà 9- ch‰nh quy v v… th‚ mec(3) 20 K‚t qu£trong [18] thu ÷æc b‹ng c¡ch sß döng m¡y t‰nh khoa håc ch¿ ra r‹ng

mec(3) 24 Mºt t…m ki‚m trong [2] ¢ t…m th§y hai ç thà 3-e.c c§p 28

khæng flng c§u vîi nhau Do â ta câ 24 mec(3) 28 Vi»c x¡c ành ch‰nhx¡c mec(3) l b i to¡n mð r§t khâ

Ta câ mec(n) 2:mec(n 1) + 1 v mec(3) 24, b‹ng chøng minh quy n⁄p ìngi£n, chóng ta suy ra vîi n 3 th…

mec(n) (25

8):2n 1

Nâi ri¶ng, mec(n) = (2n) M°t kh¡c, chøng minh trong [14] ¢ ch¿ ra ÷æc

mec(n) = (n:2n) Chøng minh cıa ành lþ 1.1.1 công cho th§y mec(n) =(n2:2n) Do â,

lim mec(n)1=2 = 2n!1

Câ mºt gi£ ành kh¡c trong [14] l

lim mec(n)

n!1 n:2n

tçn t⁄i

12

1.3 C¡c ç thà Paley v bi‚n th”

Trong möc n y s‡ tr…nh

b ta b›t ƒu vîi c¡c kþ hi»u v

y mºt v i k‚t qu£ cıa tr÷íng hœu h⁄n Chóng kh¡i ni»m cì b£n

Kþ hi»u Fq l tr÷íng hœu h⁄n q phƒn tß, trong â q l lôy thła cıa mºt sŁnguy¶n tŁ Kþ hi»u Fq[x] l v nh a thøc tr¶n Fq v Fq l nhâm nh¥n c¡cphƒn tß kh¡c 0 cıa Fq

Mºt °c tr÷ng cıa Fq l mºt ¡nh x⁄ tł Fq v o nhâm nh¥n c¡c sŁ phøc sao cho

j (x) = 1j vîi 8x 2 Fq v (xy) = (x): (y) vîi x; y 2 Fq Trong sŁ c¡c °c tr÷ngcıa Fq chóng ta câ °c tr÷ng tƒm th÷íng 0 ành ngh¾a bði (x) = 1 vîi 8x 2

Fq C¡c °c tr÷ng kh¡c cıa Fq ÷æc gåi l °c tr÷ng khæng tƒm th÷íng VîimØi °c tr÷ng cıa Fq chóng ta k‚t hæp °c tr÷ng li¶n hæp ành ngh¾a bði(x) = (x) vîi 8x 2 Fq °c tr÷ng câ c§p d n‚u d = 0 v d l sŁ nguy¶n d÷ìngnhä nh§t câ t‰nh ch§t n y

Chóng ta mð rºng kh¡i ni»m °c tr÷ng khæng tƒm th÷íng cho tr÷íng Fqb‹ng c¡ch ành ngh¾a (0) = 0 Vîi 0 ta ành ngh¾a (0) = 1 Chó þ r‹ng

t(a) = (at) vîi a 2 Fq v t l mºt sŁ nguy¶n d÷ìng N‚u l °c tr÷ng khæng tƒmth÷íng cıa Fq th… theo [18] chóng ta câ

X

x2 F q

vîi a; b 2 Fq v a 6= b: Tr÷îc khi ành ngh¾a v•ç thà Paley chóng ta câ

kh¡i ni»m v• ç thà ch‰nh quy nh÷ sau.

ành ngh¾a 1.3.1 ç thà ch‰nh quy l mºt ç thà trong â mØi ¿nh câ sŁ

¿nh k• b‹ng nhau, ngh¾a l c¡c ¿nh câ b“c b‹ng nhau Mºt ç thà ch‰nhquy vîi c¡c ¿nh câ b“c b‹ng k ÷æc gåi l ç thà ch‰nh quy b“c k hay çthà k-ch‰nh quy

ành ngh¾a 1.3.2 Mºt ç thà G l k- ch‰nh quy vîi v ¿nh, sao cho mØic°p ¿nh nŁi vîi nhau câ ch‰nh x¡c ¿nh k• chung, v mØi c°p ¿nh khæng

nŁi vîi nhau câ ch‰nh x¡c ¿nh k• chung th… ÷æc gåi l ç thà ch‰nh quy m⁄nh, v kþ hi»u G l SRG(v; k; ; )

Hƒu h‚t c¡c ç thà n-e.c m chóng ta bi‚t l ç thà ch‰nh quy m⁄nh Hå

ç thà ƒu ti¶n ÷æc ph¡t hi»n ra chøa c¡c ç thà n-e.c vîi 8n l c¡c ç thàPaley C¡c ç thà Paley ÷æc ành ngh¾a tr¶n tr÷íng hœu h⁄n, v chóng

thäa m¢n nhi•u t‰nh ch§t cıa ç thà ng¤u nhi¶n (G; 1 ) ç thà Paley c§p

q vîi q 1( mod 4) l ç thà m

2

c¡c ¿nh cıa nâ l c¡c phƒn tß cıa F

v câ mºt c⁄nh giœa hai ¿nh x v y n‚u v ch¿ n‚u x y l b…nh ph÷ìng

trong Fq.C¡c ç thà Paley câ nhi•u t‰nh ch§t ÷æc mæ t£ trong c¡c ành lþ d÷îi ¥y

v chøng minh cıa chóng sß döng c¡c t‰nh ch§t cıa c¡c tr÷íng hœu h⁄n

ành lþ 1.3.1 ([3]) CŁ ành q l lôy thła cıa mºt sŁ nguy¶n tŁ vîi q 1(

Paley b“c 4 câ c§p q 1( mod 8) câ c¡c ¿nh k• vîi c¡c ¿nh kh¡c n‚u hi»ucıa nâ l lôy thła b“c 4 cıa mºt phƒn tß trong Fq K‚t qu£ d÷îi ¥y ÷æcchøng minh b‹ng c¡ch sß döng ÷îc l÷æng tŒng °c tr÷ng.

Cho q = pr l lôy thła cıa mºt sŁ nguy¶n tŁ sao cho q 1( mod 4) v

p 3( mod 4) Cho v l mºt phƒn tß sinh cıa nhâm nh¥n cıa Fq Do

l c¡c phƒn tß cıa Fq, v vîi hai ¿nh a; b b§t ký ÷æc nŁi vîi nhau n‚u

ja bj = vj, trong â j 0( mod 4) ho°c j 1( mod 4) T÷ìng tü c¡c

ç thà Paley, ç thà P (q) công l ç thà ch‰nh quy m⁄nh, tü bò, v Łixøng Sß döng ÷îc l÷æng tŒng °c tr÷ng ta ÷a ra ÷æc k‚t qu£ d÷îi ¥y

ành lþ 1.3.5 ([7]) N‚u q = pr l q

1( mod 4), p 3( mod 4) v

lôy thła cıa mºt sŁ nguy¶n tŁ sao cho q > 8n228n th… P (q) l n-e.c

Chøng minh Cho S = (u1; u2; :::; un1 ; v1; v2; :::; vn2 ) l d¢y b§t ký c¡c

¿nh ri¶ng bi»t cıa P (q), vîi n1 + n2 = n Ta ành ngh¾a fa; bg l c⁄nh cıa

P (q) ( a; b 2 Fq) n‚u v ch¿ n‚u (a b) = 1 ho°c (a b) = i Ta sß döng i•u n y

” chøng minh tçn t⁄i mºt ¿nh k• vîi c¡c ¿nh u1; u2; :::; un1 nh÷ng khæng k•vîi c¡c ¿nh v1; v2; :::; vn2 °t

15

Chóng ta ÷îc l÷æng gi¡ trà cıa jf(S)j b‹ng c¡ch ÷îc l÷æng gi¡ trà cıajg(S)j v jg(S) f(S)j Khai tri”n g(S) chóng ta câ (chó þ r‹ng trong phƒncÆn l⁄i cıa chøng minh th… v c¡c i câ modulo l 1)

X

(w u i 1 )::::: (w u i a ): (w v j 1 )::::: (w ujb ):

w=0

Do l nh¥n, chóng ta câ th” thay Œi mØi phƒn tß th nh d⁄ng (f(w)), trong

â f l mºt a thøc, mØi nghi»m cıa f câ bºi nhi•u nh§t l 2 Do â f khæng llôy thła c§p 4 Theo ành lþ 1.3.3, gi¡ trà tuy»t Łi cıa mØi

K‚t hæp hai b§t flng thøc tr¶n ta câ

1

jf(S)j jg(S)j j g(S) f(S)j q 2n:22n:q 2 2n:22n:Hìn nœa,

17

m hi”u cö th” hìn c¡c lîp ç thà: 2-e.c, 3-e.c v c¡c ç thà n-e.c vîi n 4.

ƒu ti¶n, ta i x¥y düng ç thà n-e.c b‹ng c¡ch sß döng h…nh håchœu h⁄n CŁ ành hai sŁ nguy¶n d÷ìng v; v cŁ ành k sao cho 2 k < v.Mºt c§u tróc khŁi c¥n b‹ng khuy‚t c§p v kþ hi»u l BIBD(v; k; ) l mºt c°pthø tü (V; B) trong â V l t“p chøa v i”m cÆn B l t“p hæp c¡c t“p con cıat“p V ÷æc gåi l c¡c khŁi thäa m¢n:

(1) MØi khŁi câ ch‰nh x¡c k phƒn tß

(2) MØi t“p con chøa 2 phƒn tß cıa V ÷æc chøa trong ch‰nh x¡ckhŁi

Vîi A l t“p kh¡c rØng c¡c phƒn tß ÷æc gåi l ¿nh, v L l hå c¡c t“p con cıa

A ÷æc gåi l ÷íng, mºt m°t phflng affine l mºt c°p (A; L) thäa m¢n c¡c t

‰nh ch§t sau

(1) Qua hai i”m b§t ký x¡c ành duy nh§t mºt ÷íng thflng

(2) Tł mºt ÷íng thflng l v mºt i”m x 2= l, khi â câ duy nh§t mºt

÷íng thflng i qua x v song song vîi l

18

(3) Mºt m°t phflng affine luæn câ ‰t nh§t 4 i”m trong â khæng câ bº

l ÷íng thflng vîi h» sŁ gâc m Vîi måi a, ta s‡ gåi t“p f(x; y : x = a)g l

÷íng thflng vîi h» sŁ gâc b‹ng 1 N‚u L l t“p t§t c£ c¡c ÷íng thflng th…(X; L) ÷æc ành ngh¾a tŁt trong m°t phflng affine Cƒn chó þ r‹ng hai

÷íng thflng song song câ còng h» sŁ gâc V t‰nh song song l mºtquan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n t“p c¡c ÷íng thflng Tøc l , chóng thäa m¢n t

‰nh ch§t ph£n x⁄, Łi xøng v b›c cƒu C¡c ÷íng thflng câ còng h» sŁ gâct⁄o th nh mºt lîp song song

Vîi måi m°t phflng affine hœu h⁄n A, tçn t⁄i mºt sŁ nguy¶n d÷ìng q 2 saocho måi i”m tr¶n m°t phflng affine n‹m tr¶n q + 1 ÷íng v mØi ÷íng thflngchøa ch‰nh x¡c q i”m Ta câ A chøa ch‰nh x¡c q2 i”m, q2 + q ÷íng, q+ 1 lîp song song Khi â ta nâi m°t phflng affine A câ

c§p q

X†t mºt m°t phflng affine A c§p q, trong â A ÷æc tåa º hâa tr¶n Fq vîi q

l sŁ nguy¶n tŁ A l mºt BIBD(q2; q; 1) c§u tróc (vîi c¡c khŁi ÷æc gåi l

÷íng thflng) Chóng ta i x†t mºt c§u tróc cıa ç thà ch‰nh quy m⁄nh ÷æc

÷a ra bði Delsarte vîi Goethals v Turyn Cho l1 l ÷íng thflng t⁄i væ cücvîi q + 1- phƒn tß C¡c phƒn tß cıa l1 câ th” x¡c ành thæng qua h» sŁgâc cıa ÷íng thflng trong m°t phflng affine CŁ ành

S l1 ành ngh¾a G(q; S; A) l ç thà câ c¡c ¿nh l c¡c i”m trong A,

v hai ¿nh p; q l k• nhau n‚u v ch¿ n‚u ÷íng thflng pq câ h» sŁ gâctrong S Khi â, G(q; S; A) l mºt ç thà SRG(q2; jSj(q 1); q 2+(jSj 1)(jSj 2);jSj(jSj 1)) Kþ hi»u G(q; A) l hå c¡c ç thà G(q; S; A) vîi c¡c t§t c£ c¡c lüa chån cıa S N‚u 0k q + 1 l cŁ ành, th… ta vi‚t

G(q; k; A) l hå con t§t c£ c¡c ç thà trong G(q; A) vîi jSj = k Vîi k cŁ ành,

G(q; k; A) câ th” chøa c¡c ç thà khæng flng c§u

CŁ ành A l m°t phflng affine vîi c§p chfin q 8 ÷æc tåa º hâa bði

F2k Chån S l mºt t“p cŁ ành n o â câ q h» sŁ gâc trong l Khi

S vîi jSj = 2q Vîi c¡ch nh…n nh÷ v“y th… chóng ta câ k‚t qu£ d÷îi ¥y

ành lþ 2.1.1 ([9]) Vîi q l mºt lôy thła cıa 2 v cŁ ành sŁ nguy¶nd÷ìng n Vîi x¡c su§t b‹ng 1 khi q ! 1, G(q;

q

; A) l n -e.c

2

Tuy nhi¶n, khæng ph£i t§t c£ ç thà

nh÷ mæ t£ trong k‚t qu£ sau ¥y

p) i•u n y d¤n ‚n G(q; A) ÷æc ÷a v o mºt khæng gian x¡c su§t v ta kþ hi»u

l Gp(q; A) Khi jSj l bi‚n ng¤u nhi¶n th… mØi lüa chån cıa S •u cho chóng

ta mºt ç thà ng¤u nhi¶n ch‰nh quy m⁄nh Chóng ta chøng minh k‚t qu£sau

ành lþ 2.1.3 ([3]) CŁ ành p 2 (0; 1) v cho n l mºt sŁ nguy¶n d÷ìng

Vîi x¡c su§t 1 khi q ! 1, Gp(q; A) l n-e.c

20