50 câu phương trình, hệ phương trình có đáp án ôn thi đại học

Phương trình-Hệ phương trình-Bất phương trình dành cho lớp 10Tác giả: Nguyễn Văn Quốc Tuấn - Lớp B – K112 - Đại Học Y Hà Nội Các bài toán trong tài liệu là do Tuấn tổng hợp ở 1 số diễn đ

Trang 1

Phương trình-Hệ phương trình-Bất phương trình dành cho lớp 10

Tác giả: Nguyễn Văn Quốc Tuấn - Lớp B – K112 - Đại Học Y Hà Nội

Các bài toán trong tài liệu là do Tuấn tổng hợp ở 1 số diễn đàn, 1 số tài liệu, về phầnlời giải thì đa số là do Tuấn giải lại nhưng 1 số câu là do nhác quá :3 nên chép i nguyênlời giải của nó Vì thế nên tài liệu có gì sai sót mong các bạn ghóp ý để chỉnh sửa lại

Tài liệu này Tuấn viết tặng 1 bạn ( Đừng hỏi là ai nhé :v ) Bên cạnh đó hi vọng các bạn

có 1 tài liệu để có thể tham khảo thêm Chúc các bạn học tốt

Bài 1 Giải phương trình sau:

√

x + 3 +√

3x + 1 = 2√

x +√2x + 2

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 1

xy (x + y) = 30

⇐⇒

((x + y)3 = 125

Trang 2

Vậy nghiệm của phương trình là:

Ta có V T > 0 nên điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là V P > 0 ⇐⇒ x > 0

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương ta có:

6√34x3+ x = 2.3.p3

4x − 3 ⇐⇒

"

x2 = 4x − 39x2 = 4x − 3 ⇐⇒

"

x = 3

x = 1

Trang 3

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

Thay a2− 1 = x vào phương trình thứ nhất ta được

(a + 3y) (a2− 1) + (3y2+ 1) a − 51y − 27 = 7y3+ 36y2

⇐⇒ a3+ 3a2y + 3ay2 = 7y3+ 36y2+ 54y + 27

⇐⇒ a3+ 3a2y + 3ay2+ y3 = 8y3+ 36y2+ 54y + 27

x2+ 4x + 3 = y ⇐⇒

(

x = y

x2+ 3x + 3 = 0 (V N )

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Trang 4

Biến đổi phương trình đầu trở thành:

2x − 1 +√

3x − 2 =

q2(2x − 1)2+ 2 (3x − 2)





x = 1

x = 34

Bài 7 Giải hệ phương trình sau:

√3x − y = −y

⇐⇒

(

2√3x − y = 3y6x + 3y = 8

2√3x − y = 6x + 3y − 4

Trang 5

( √3x − y = −y

−2y = 6x + 3y − 4 ⇐⇒

( √3x − y = −y6x + 5y = 4

Từ đây các bạn tự tìm ra nghiệm

√2x2+ x + 9 +√

2x2− x + 1 = x + 4

Lời giải:

Xét x = −4 không phải là nghiệm của phương trình khi đó ta biến đổi phương trình như sau:

√2x2+ x + 9 +√

Thử lại ta thấy thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là





x = 0

x = 87

Trang 6

Biến đổi phương trình đã cho như sau:

5 +√

x − 1 = b (a ≥ 0, b ≥ 5)Khi đó ta có:

Từ đó ta tính được x = 11 −

√17

Vậy x = 11 −

√17

2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Trang 7

a, b là nghiệm của phương trình

18 = 0

y2− 2

3y +

8 +√194

x ≥ −5(3y − x) (y + 1) ≥ 0

x ≥ −53x − y ≥ 0

Trang 8

Thay (3) vào (2) ta được

√3y − 2 −√

3 < 0 nên (5) vô nghiệm.

So với điều kiện hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x; y) = (3; 2)

Trang 9

y = ±2

√3

Thử lại thì hệ phương trình có các nghiệm: (x; y) = (0; 1) ,

1

√

3;

2

√3

Lưu ý: Bài toán được giải hoàn chỉnh nhưng tại sao lại phải thử lại nghiệm Ở đây vì khi biếnđổi phương trình thứ nhất chúng ta không đặt điều kiện nên sau khi giải ra nghiệm chúng ta phảithử lại Mặt khác nếu chúng ta không đặt điều kiện mà bình phương thì dùng dấu ⇒ nhé

2 ⇐⇒ x2 + x −1 +

√5

2 = 0 ⇐⇒ x =

−1 ±p3 + 2√

52

Trang 10

x = −1 ±p19 − 2√

212

√4x2 + 4x − 7 = 4x − 3







x ≥ 3412x2− 28x + 16 = 0

⇐⇒





x = 43

x = 1

3

√12x2+ 46x − 15 −√3

Trang 11

Ta có:

3

√12x2+ 46x − 15 −√3

4x2+ x + 1 =

x2− x

√2x2+ 1 +√

Trang 12

Bài 17 Giải bất phương trình sau:

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm

3

q(3x + 1)2+ 3

q(3x − 1)2+√3

Trang 13

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x = 0

Vậy nghiệm của bất phương trình là: x = 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 0

Bình loạn: Thông thường khi chúng ta gặp các bài toán mà số mũ của mỗi phần tử không có

1 tý nào liên quan đến nhau thì hay đoán nghiệm và sử dụng đánh giá xem sao nhé

Trang 14







12x+

x

3x + 3√

y4x2+ 2y (1)4x + y =√

⇐⇒

(

x > 08x4+ 32x3+ 32x2 − x − 3 = 0

⇐⇒

(

x > 0(2x2+ 3x − 1) (4x2+ 10x + 3) = 0

⇐⇒ x = −3 +

√17

4 ⇒ y = 13 − 3

√172

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = −3 +√17

13 − 3√

172

Trang 15

Ta có phương trình đã cho tương đương với:

x = 1 +

√52

x = 1 +

√132Ps: Bài toán nay mình đã làm mất khá nhiều thời gian nhưng đăng lên diễn đàn và nhìn đáp ánlại thấy khá là cơ bản Do đó mình rút ra 1 kinh nghiệm là khi làm chúng ta nên sử dụngcác biến đổi đơn giản, không nên sử dụng các biến đổi phức tạp, biến bài toán trở nên

Với x ∈ (0; 1] ta có:

x

r1

x2 + x2+ 1 + x = x

r1

x − x ⇐⇒

r1

x2 + x2+ 1 + 1 =

r1

x2 + x2+ 1 + 1 = −

r1

x − x

Trang 16

Tương tự ta có: r 1

x− x = t ⇒ t4 = 1

x2 + x2 − 2Khi đó

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = −1 −√5

Trang 17

x = 1 ±

√216

√3x2− 12x + 5 ≤√x3− 1 +√x2 − 2x

Trang 18

Nhận thấy với x ≥ 2 luôn đúng.

Vậy nghiệm của bất phương trình là: x ≥ 2

x ≤ 1 −

√152Biến đổi phương trình đã cho như sau:

Vậy nghiệm của phương trình là

Trang 19

16 ⇒ y = 129 +

√25716

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = (1; 1) , 1 +

√257

16 ;

129 +√

25716

!

Trang 20

2+ b22

⇐⇒

(

b ≥ 2a7a2− 8ab + b2 = 0 ⇐⇒

x2− x − 20 = 5√x + 1

Lời giải:

Điều kiện: x ≥ 5

Trang 21

Ta biến đổi như sau:

u2 −72

Trang 22

(

x2y2− 2x + y2 = 02x2− 4x + 3 + y3 = 0

Lời giải:

Ta có:

(

x2y2− 2x + y2 = 02x2− 4x + 3 + y3 = 0 ⇐⇒

Thử lại vào hệ phương trình đã cho thỏa mãn

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = (1; −1)

x + y + 1

x + y

+ 3 (x − y) = 13

Trang 23

9a2+ 3b2 = 103

3a + 3b = 13 ⇐⇒

(2b2− 13b + 11 = 03a = 13 − 3b ⇐⇒

b = 112(loai)

x − y = 1

⇐⇒ (x; y) = 2

3;

−13

, (2; 1)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = 2

3;

−13

, (2; 1)

Trang 24

nên phương trình đó vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = −2 +√

2x + y = 4

2√2x + y − 7

10

√5x + 10y = 2

10

√10b2− 24b − 48 = 2

⇐⇒

(

a = b + 420b − 20 = 7√

4

r

x4+ 420

Trang 25

5 ≤ x + 3x − 1

5 + 1 =

8x + 45

Dấu bằng xảy ra khi: x = 2

Vậy nghiệm của phương trình là: x = 2

px (x + 2)q

Trang 26

Khi đó ta có bất phương trình đã cho tương đương:

Dễ thấy y = −1 không phải là nghiệm của hệ phương trình

Chia cả 2 vế phương trình một và hai cho y + 1 ta được hệ mới:

y = 112

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: (x; y) = (3; 1) , −3

2 ;

112

Trang 27

(

(x + y)√

x − y + 2 = x + 3y + 2(x − y)√

(

a (2 − b) + (2 + b) (2 − b) = 0(b2− 2) b = (a + 1)√a − 2

⇐⇒

(

b = 2(a + 1)√

y = 12

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (x; y) = 5

2;

12

Trang 28

Thay xuốn phương trình (2) ta được:

(y − 1)

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: (x; y) = (2; 2)

2 +√x

√

2 +p2 +√

2 −√x

√

2 −p2 −√

√2

Trang 29

2− 54

a + b = 6

⇐⇒

(3a2− 12a + 9 = 0

⇐⇒ (x; y) = (2; 1) ,

2;12

, (1; 1) ,

1;12

Trang 30

(

a = 1

b = 5 hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

(x; y) = (2; 1) ,

2;12

, (1; 1) ,

1;12

√2x + 4 − 2√

⇐⇒





x = 23

2 √2x + 4 + 2√

2 − x =√9x2+ 16

Mặt khác:

2 √2x + 4 + 2√

√23

Thử lại ta có nghiệm của phương trình đã cho là:







x = 23

x = 4

√23

Trang 31

(

y = −3x2x − y = 0 ⇐⇒ x = y = 0 (loai)

Trường hợp 2:

r

1 + 3x

y 6= 0Chi 2 vế của 2 phương trình cho nhau ta được

⇐⇒ y = 2 ⇒ x = 0

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = (0; 2)

Trang 32

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (0; 2) , (3; 5)

b =√

5 − 2x (a, b ≥ 0) ⇒

(2a2+ 3 = 4x − 32b2+ 3 = 13 − 4x

Mặt khác: a2+ b2 = 2; ab =√

16x − 4x2− 15

Trang 33

2 (V N )

√16x − 4x2− 15 = 1

⇐⇒ x = 2 (T M )

x = 2

x = 0

((x + y)(x + 4y2+ y) + 3y4 = 0

px + 2y2+ 1 − y2 + y + 1 = 0 (x, y ∈ R)

Lời giải:

Trang 34

2 .

Với y = 1 −

√13

2 thì x = −4 +

√

13 và với y = 1 +

√13

2 thì x = −4 −

√13

TH 2: x = −y − 3y2 thay vào phương trình 2 của hệ ta được

!, −4 −√13; 1 +

√132

!, (−2; − 1)

Trang 35

Điều kiện:

"

x ≥ 1

−1 ≤ x < 0

TH 1: Nếu −1 ≤ x < 0 thì nó thỏa mãn bất phương trình

TH 2: Nếu x ≥ 1 thì bất phương trình đã cho tương đương với

x = 1 −

√5

2 (loai)

Vậy nghiệm của bất phương trình là: −1 ≤ x < 0 hoặc x = 1 +

√52

Định dạng
Số trang	35
Dung lượng	234,79 KB