Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức. Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp: + Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn 12 , ,..., n thì đặt 12 12 () ... () n n A AA Px Q x x x x . + Khi 22 ( ) , 4 0 Q x x x px q p q thì đặt 2 () . () P x A Bx C Q x x x px q + Khi 2 () Q x x x với thì đặt 2 () () A P x B C Q x x x x . PHƢƠNG PHÁP TỪNG PHẦN Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên ; ab thì: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) bb aa b u x v x dx u x v x v x u x dx a hay bb aa b udv uv vdu a . Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau: Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv uv dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại ( ) . dv v x dx Bước 2: Tính du u dx và () v dv v x dx . Bước 3: Tính bb aa vdu vu dx và b uv a . Bước 5: Áp dụng công thức trên. Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.
Trang 1Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên
BẢNG CÔNG THỨC TÍCH PHÂN
dxxC
C
x
dx
11
x C
x
dx
ln
C n
b ax a dx
b
ax
n
1
e x dxe x C
a
a
dx
a
x
x
ln
cosx.dx sin xC ; nxC
n dx
nx). 1sin (
cos
sin x.dx cosxC; nxC
n dx
nx. 1cos sin
dx tg x tgxC
cos
2
dx gx gxC
x (1 cot ) cot
sin
2
C a
x x
a
2
2
x a
x
a
dx
arctan 1
2
2
du uC
C
u du
11
1 )
( 1
C u
n dx
u dx
n
).
1 (
1 1
C e
a dx
e ax b 1 ax b ; C
u
a du a
u
axb C
a dx b
sin(
axb C
a dx b
cos(
u
du dx
u
u
ln
'
;
dx u C u
u
2
'
; C
u
dx u
2
x a a x
a
dx
ln 2
1
2 2
x
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
I Phương pháp đổi biến số dạng 1
Để tính tích phân dạng này , ta cần thực hiện theo các bước sau
1/ Quy tắc :
Bước 1: Đặt x=v(t)
Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận
Bước 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt
Bước 4: Tính
( )
( )
( )
( )
v b b
v b
f x dx g t dt G t
v a
Bước 5: Kết luận : I= ( ) ( )
( )
v b
G t
v a
2/ Nhận dạng : ( Xem lại phần nguyên hàm )
* Chú ý :
a Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là :
ost 0 t
x a c
Trang 2Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên
x a
;
0; \
a
t a
c
a x
2 2
x=a.cos2t
xa b x x=a+ 2
sin
ba t
b Quan trọng nhất là nhận ra dạng :
- Ví dụ : Trong dạng phân thức hữu tỷ :
0
a x+
a
a
* áp dụng để giải bài toán tổng quát :
2 22k 1
dx
k Z
II Đổi biến số dạng 2
1 Quy tắc : ( Ta tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2 theo các bước sau : )
Bước 1: Khéo léo chọn một hàm số u(x) và đặt nó bằng t : t=u(x)
Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận : dt=u'(x)dx
Bước 3: Ta phân tích f(x)dx = g[u(x)]u'(x)dx = g(t)dt
Bước 4: Tính
( )
( )
( )
( )
u b b
u b
f x dx g t dt G t
u a
Kết luận : I= ( ) ( )
( )
u b
G t
u a
2 Nhận dạng :
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
A DẠNG : I= ( )
0 ax+b
P x
dx a
* Chú ý đến công thức : ln ax+b
ax+b
dx a
Và nếu bậc của P(x) cao hơn hoắc bằng 2 thì ta
B DẠNG : 2 ( )
ax
P x
dx
bx c
( ) ax
f x bxc có hai nghiệm phân biệt
Trang 3Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên
Công thức cần lưu ý : '( ) ln ( )
( )
u x
dx u x
u x
Ta có hai cách
Cách 1: ( Hệ số bất định )
Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu )
( ) ax
f x bxc có hai nghiệm kép
Công thức cần chú ý : '( )
ln ( ) ( )
u x dx
u x
u x
Thông thừơng ta đặt (x+b/2a)=t
( ) ax
f x bxc vô nghiệm :
Ta viết : f(x)=
2
;
2
b
u x
a u k
Khi đó : Đặt u= ktant
C DẠNG : 3 ( )2
ax
P x
dx
bx cx d
ax bx cxd a 0 có một nghiệm bội ba
Công thức cần chú ý : 1 1 . 11
1
ax bx cxd a 0 có hai nghiệm :
Có hai cách giải : Hệ số bất định và phương pháp nhẩy tầng lầu
ax bx cxd a 0 có ba nghiệm
PHÂN THỨC HÀM VÔ TỶ
I KIẾN THỨC
1 Cần nhớ một số công thức tìm nguyên hàm sau :
2 ( )
f x
f x
2
1
ln
2
'( )
ln ( ) ( ) ( )
u x
0 ax
bx c
a Lý thuyết :
Từ :
2 2
2
2 f(x)=ax
2
b
K a
Khi đó ta có :
Trang 4Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên
- Nếu :
0 ( )
2
2
a b
a
a
(2)
- Nếu : 0
+/ Với a>0 : f x( ) a x x1xx2 f x( ) a. xx1xx2 (3)
+/ Với a<0 : f x( ) a x 1 xx2 x f x( ) a. x1 xx2 x (4)
Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau :
b Cách giải
0,a 0 f x( ) a u k f x( ) a. u k
Khi đó đặt :
2
2 2
2
2
;
2
,
.
2
t c
bx c t a x
* Trường hợp :
0 ( )
2
2
a b
a
a
Khi đó :
1
1
a
* Trường hợp : 0,a 0
1 2
2
ax bx c a x x x x x x t
x x t
* Trường hợp : 0,a 0
1 2
2
ax bx c a x x x x x x t
x x t
ax
mx n
bx c
Phương pháp :
ax
f x
b.2 Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A,B
b.3 Giải hệ tìm A,B thay vào (1)
2
1
2 ax
ax
bx c
0 ax
dx a
bx c
3 Tích phân dạng :
1
0 ax
Trang 5Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên
Phương pháp :
b.1 Phân tích :
2
m
(1)
2
1
ax
n
n x
b.3 Thay tất cả vào (1) thì I có dạng :
'
2 '
dy I
Tích phân này chúng ta đã biết cách tính
4 Tích phân dạng : ; ;m x
x
( Trong đó : R(x;y) là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và , , , là các hằng số đã biết ) Phương pháp :
b.1 Đặt : t=m x
x
(1) b.2 Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng x t
b.3 Tính vi phân hai vế : dx=' t dt và đổi cận
'
x
*) Tính tích phân: I mx2 n dx , a 0
ax bx c
(trong đó f x ( ) 2mx n
liên tục trên đoạn ; ) +) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:
c bx ax
B c
bx ax
b ax A c bx ax
n mx
2 2
2
) 2 (
+)Ta có I=
dx c bx ax
B dx
c bx ax
b ax A dx
c bx ax
n mx
2
) 2
Tích phân dx
c bx ax
b ax A
2
) 2 (
=
c bx ax
ln
Tích phân
2
dx
*) Tính tích phân ( )
b
P x
I dx với P(x) và Q(x) là đa thức của x
Trang 6Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên
Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức
Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:
+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn 1, 2, , nthì đặt
( )
( )
n n
A
P x
Q x x x x
Q x x x px q p q thì đặt
2
( )
( )
( )
Q x x x với thì đặt
2
( ) ( )
A
Q x x x x
PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
Định lí Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên a b ; thì:
b
u x v x dx u x v x v x u x dx
a
hay
b udv uv vdu
a
Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:
Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng '
udv uv dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại '
dv v x dx
Bước 2: Tính '
du u dx và '
( )
v dv v x dx
vdu vu dx
uv a
Bước 5: Áp dụng công thức trên
*Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần
( )
b
x
a
P x e dx
b
a
P x xdx
b
a
P x xdx
b x
a
e
Trang 7Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên
Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và
'
dv v dx thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx Nói chung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn '
dv v dx là phần của f(x)dx là vi phân một hàm
số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm
Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần:
Nếu tính tích phân P x Q x dx( ) ( )
mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong những hàm số: eax, cos ax , sin ax thì ta thường đặt
'
( ) ( )
Nếu tính tích phân P x Q x dx( ) ( )
mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số ln(ax) thì
( )
du Q x dx
u Q x
dv P x dx v P x dx
Nếu tính tích phân axcos
ta đặt
1
ax
u e
b
hoặc đặt
1
ax
u e
b
Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính
TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC
Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác
1 Tính
cos
dx I
asinx b x c
Phương pháp:
Đặt
2
2 tan
t
Trang 8Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên
Ta có:
2
2 sin
1
t x
t
và
2 2
1 cos
1
t x
t
2
2
I
2 Tính
sin sin cos cos
dx I
Phương pháp:
dx I
2 2
cos
dx x
a d x b x c d
cos
dx
x
dt I
sin cos
m x n x p
a x b x c
Phương pháp:
+)Tìm A, B, C sao cho:
m xn x p A a xb xc B a xb x C x+) Vậy
sin cos
sin cos
m x n x p
a x b x c
c x b x a
dx C
dx c x b x a
x b x a B
dx
A
cos sin
cos sin
sin cos
Tích phân dx tính được
c x b x a
x b x
cos sin
sin cos
Tích phân asinxdx bcosxctính được
Nguyên hàm dạng R sin , cos x x dx , với R sin , cos x x là một hàm hữu tỉ theo sinx, cosx
Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta đã biết cách tính tích phân
Trường hợp chung: Đặt
2
2 tan
t
Trang 9Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên
Ta có
2
Những trường hợp đặc biệt:
+) Nếu R sin ,cos x x là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là
R sin , cos x x R sin , cos x x thì đặt t tan x hoặc t cot x, sau đó đưa tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t
+) Nếu R sin ,cos x x là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là:
R sin ,cos x x R sin ,cos x x thì đặt t cos x
+) Nếu R sin ,cos x x là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là:
R sin , cos x x R sin ,cos x x thì đặt t sin x
TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT
1.Cho hàm số y f x( ) liên tục và lẻ trên đoạn a a; Khi đó
( ) 0
a
a
2.Cho hàm số y f x ( ) liên tục và chẵn trên đoạn a a ; Khi đó
0
a
0
Ta tính
0
( )
a
bằng cách đặt x t 0 t a dx dt
Thay (2) vào (1) ta được
0
a
I f x dx f x dx
3.Cho hàm số y f x ( ) liên tục và chẵn trên đoạn: Khi đó
dx x f dx
a
x f
2
1 1
) (
Chứng minh: Đặt t= -x
Trang 10Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên
Ta có f(x) = f(-t)= f(t); ax+1= a-t+1= t 1
t
a a
Khi x= - thì t = ; x = thì t =-
dt t f a
a dt
a
t f a dx
a
x f
t t
t
1
1 1 1
) ( 1
) (
I dx x f dt a
t f dt
t
1
) ( )
(
dx x f dx
a
x f
2
1 1
) (
4.Cho f(x) liên tục trên đoạn 0;
2
Khi đó
2 2
(sin ) (cos )
Chứng minh:
Đặt
2
Khi x = 0 thì
2
, khi
2
thì t = 0
2
2
Nhận xét : Bằng cách làm tương tự ta có các công thức
*Nếu f(x) liên tục trên 0;1 thì (sin ) (sin )
2
*Nếu f(x) liên tục trên 0;1 thì
