SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỒNG NAISÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN... KINH NGHIỆM KHOA H ỌC - Lĩnh vực chuyên mơn cĩ kinh nghiệm : dạy học mơn Toán - Số năm cĩ kinh nghiệm: 16

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

******

1 Họ và tên : Lê Công Quý

2 Ngày tháng năm sinh : 14/03 /1973

8 Đơn vị cơng tác: Trường THPT Trị An

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO:

- Học vị: cử nhân

- Năm nhận bằng : 1996

- Chuyên ngành đào tạo: Toán

III KINH NGHIỆM KHOA H ỌC

- Lĩnh vực chuyên mơn cĩ kinh nghiệm : dạy học mơn Toán

- Số năm cĩ kinh nghiệm: 16 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã cĩ trong 2 năm gần đây :

Phương pháp giải phương trình lượng giác

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình toán học phổ thông , Tích phân là một vấn đề khó đốivới học sinh , thường học sinh lúng túng khi làm bài, không biết bắt đầu từđâu, xuất phát từ cái gì, sử dụng phương pháp gì cách biến đổi nào cho phùhợp đọc bài giải , sách tham khảo thì có thể hiểu được nhưng khi thựchành thì khó và thường mắc sai lầm khi làm toán

Trước thực trạng đó bản thân tôi qua nhiều năm giảng dạy đã đúc kếtđược một vài kinh nghiệm nhỏ khi giải toán tích phân xin được trình bàydưới đây để đồng nghiệp và học sinh có thể tham khảo và góp ý kiến.Đề tài tích phân thì rộng , ở đây tôi chỉ giới thiệu một số phương pháp giảibài toán tích phân mà trong quá trình giảng dạy hay gặp nhất

Bên cạnh đó đưa bài toán minh họa và cách giải cụ thể rỏ ràng Từ thấpđến cao , từ đơn giải đến phức tạp, để học sinh có thể tham khảo và hìnhthành được phương pháp giải cho mình, từ đó thấy hứng thú hơn trong họctập môn Toán nói chung và phương pháp giải tích phân nói riêng

II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

trong trường hợp a < b ta gọi a b f(x)dx là tích phân của f(x) trên đoạn [a;b]người ta còn dùng ký hiệu để chỉ hiệu số F(b) – F(a)

vậy theo định nghĩa ta có : a b f(x)dx= b

(3) f x dx f x dx c f x dx

a c

b b

(4) f x g x dx f x dx b g x dx

a b

a b

(5) kf x dx k b f x dx

a b

 ( )  ( ) (k : hằng số)

- Trong sách giáo khoa các phương pháp tính tích phân chưa thật sự đầy đủ

các dạng bài tập do đó chưa đáp ứng đủ nhu cầu kiến thức phục vụ cho học sinh tham gia các kỳ thi như trung học chuyên nghiệp, cao đẳng và tuyển sinh đại học

Thông qua đề tài này , tôi đã phân loại , bổ sung thêm các dạng toán mà sách giáo khoa chưa giới thiệu theo tinh thần từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phứctạp mỗi loại có trình bày phương pháp cụ thể và ví dụ minh họa , bài giải mộtcách rõ ràng để học sinh và đồng nghiệp tiện tham khảo

2 NỘI DUNG , BIỆN PHÁP THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI:

a Tính tích phân bằng định nghĩa

phương pháp: xác định được ngay nguyên hàm của hàm số dưới dấu tích

phân rối áp dụng định nghĩa để tính tích phân



x x

4

1 ( 3 4

1

1 neu x 1 - x 1

x x

) 1 2

1 ( 2 2 ) 2 2 (

(

) 1 ( )

2 1

2 2

2 1 1

x

dx x dx x

Chú ý: ở dạng này học sinh thường mắc sai lầm khi lấy nguyên hàm , các em

thường để cả dấu trị tuyệt đối khi lấy nguyên hàm

Sai lầm : nguyên hàm của f(x) = x  1 là F(x) = x  x

) ( )

a u

b

a

du u f dx x u

x

u

f

Trong đó hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f(u) liên tục

và sao cho hàm số f[u(x)] xác định trên K; a,b là 2 số thuộc K

chú ý: nếu tính tích phân 

b

a

dx x h x

g( ) ( ) bằng phương pháp đổi biến đặt u = u(x) sao cho : h(x) = k u’(x) ( k hằng số )

và g(x) biểu diển được theo u



dx x

x c) H = 

e

dx x

x

1

ln 1

phân tích : a) I = 

1 0

( 2

1 2

1 2

1 2

1

0 1

1 0



dx x

1 ln

4

1 1

4

1 3

x

1

ln 1

1 2 2

2 1

a a b ax

dx

ln 1 1

x x x x a

dx x x x x x

1 2

1 2

1

ln ) (

1 1

1 )

a x

x a

c bx ax c

bx ax

c bx ax

2 )' . 1 (

(

) (

1

2

1 x x x

x

dx n mx a

phân tích

2 1

2

1 )( )

B x

x

A x

x x x

n mx

) (

1

x x

dx n mx

C x x

n mx x x a

dx x x

n mx x

0

0 0

ln

1 ) ) (

2

) 1 2

( x

xdx

; C =   

2 1

0

2

x x

x x

x

 

1 0

2 1

3 4

1

x

x d

2

1 ) 1 ln 3 (ln 2

1 1 2 2

1   



x n l

( x

xdx

= 12  

2 1

2

) 1 2 (

2 ( 2 1 )

1 )

1 2 (

1 2

21

dx x

x

x d

+ 41   

2 1

2

) 1 2 (

) 1 2 (

x

x d

=14

2 1

2

1 4

1 1

2 1

0 ( 1 )( 2 )

2

x x

x

x B x

A x

B x

A x

x x

2

2

B A B A

B

A

2 ln 2 3 ln 4 2 ln 4 3 ln 4 2 ln 2 2

3 ln 4

2

4 1

2

1 0 2

1

0

2 1 0

x

x x

dx x x

0

1 1

1 2 2

1

) 1 (

2 1

1 2

0 2

1 0 2

2 1

dx x

2 2

1

1 1

t , tan 2

3 2

t x

3 2

3

2

2 2

3

) 1 (tan

2 3

2 3

6 3

1) khi gặp tích phân của hàm chứa n f(x)ta dùng phương pháp đổi biến số ,

đặt u = n f(x) ( f(x) : đa thức hoặc phân thức)

nếu biến số vừa nêu không giải được thì :

+ dùng x = acost ( hoặc x = asint ) khi gặp 2 2

0

1

0 3 3 1 ; ) 1 2 1; ) 2

1 )

x

dx x C

c x

xdx B

b dx x

2 6 5

6 5

2 18 3

1 5

6 2 2 5

2 8 3

1 5

3

1 ) 2 ( 3 1

1 3

1

3 3

3 3 4

1 2 5 4

1 4 4

1

2

3

3 3

3 2

1 3

1 2

9 3 2

1 2

3 2

1 ) ( 2

1 1

1 2 3

2 2 ( 3 2 3 2

3 2

) 2 ( 2

3

2

3 3

2 2 3

2

2 1

x x x

dx A

5 2 4 ln ) 2

13 3 ln(

) 5 2 ln(

1 ) 1 (

1

ln

1 ) 1 ( 2

2 2

2 1

1 1

2 2 1

1 1

2 2

1

1

1 2 1 2

1 2

1 21

2

1 21

2

2

2 1

2

1 2

2 2

u

du u

u u

du u u

u u

du u u

u

u

du u

A

c

b a x

1 5 (

) 1 2 )(

1 5 ( ln 2

1 1 2

1 2 ln 1

1 1

1 1

1 2

1 1 )

1 ( 2 2 )

1

(

) 1

2 5

2 5

2 2 5

2 2 1

x x

2 1

2 /

1 2

1

; 2

giải

x x

t t

tdt

dx x

; 2

4

2 3

4

2 2

2

2 3

4

2 2

2

sin cos

cos sin

cos

1 cos

1 cos sin cos

1 )

tan 1 ( tan

t dt

t t

dt t t

t

t dt

t t

) 1

2 3 (

) 2 2 )(

2 3 ( ln 2

1 3

2 2

2 2 2

2 2 ln 2 3

2 3 ln 2

1 1 )

1

1 1

1 ( 2

1 1 1

1

3

2 2 2

3 2 2 2

3

2 2 2

3 2 2 2

du u u u

du u

u

e.

Tích phân hàm lượng giác

*Xét tích phân dạng R(sinx, cosx)dx

nếu R(  sinx, cosx)  R(sinx, cosx)thì đổi biến số t = cosx

nếu R(sinx,  cosx)  R(sinx, cosx)thì đổi biến số t = sinx

nếu R(  sinx,  cosx) R(sinx, cosx)thì đổi biến số t = tanx

nếu 3 cách trên thất bại đặt t = tan 2x

*Dạng đặt biệt sinn xcosm xdx(m,n Z)





nếu n lẻ, m chẵn : đổi biến số t = cosx

nếu n chẵn, m lẻ : đổi biến số t = sinx

nếu n lẻ, m lẻ : đổi biến số t = sinx ( hoặc t =cosx)

nếu n chẵn, m chẵn và mn < 0 : đổi biến số t = tanx

2 cos 4 sin



xdx x

giải :

4 sin ( 2

1 ) 4 cos 1 ( 2

0

2 0

1 2

1 6

1 2

1 2

1 6

6 cos 2

2 cos 2

1 )

6 sin

dx x x

3

cos sin



dx x

x

4

6 4

2

cos sin





dx x

x D

giải

8 1 3

1 1

3

1

1 1 1

sin

cos ).

sin 1 ( sin

cos

.

cos

1 2 1 3

1 2 1

2 4 1

2 1 4

2 2

6

4

2 2

dx t

t dx

x

x x dx

x

x x

1 3

1 5

1 3

1 5

3

) (

) 1 ( )

1 ( sin

cos )

4 2 1

1

2 2 1

1

2 2 0

2 2

t t xdx

x x

3 8

1 2

1 ln 2

1 )

2

(ln

) 1 ( 1

1 sin

cos

2 1

2 2

1 1

2 3

dt t

t dt

t

t xdx

x

x C



chú ý : ta có thể đặt t = sinx  dt = cosxdx

xdx x

x

2 3

0 2

3

1 t dt t

dùng tích phân hàm hữu tỉ ta tính được , tuy khá phức tạp hơn cách làm trên , trong trường hợp này ta nên dùng đổi biến đặt t = cosx biến ở mẫu số

x

3 9

1 3

1 3 3

1 1 3

1 3

cos

1 tan

1

3 1

3 1

3 1 2 4

6

2 2

x

v

x

u( ) ' ( ) ( ( ) ( )) ( ) ' ( )

Trong đó các hàm số u,v có đạo hàm liên tục trên K và a,b là hai số thuộc K

Ta còn viết công thức dưới dạng:

cos ) 1 (



xdx

6 0

3 sin ) 2 (



xdx x

5

2

) 1 ln(

2x x dx

giải:



1 0

3 1

2 9

1 9 3

3 3

(



xdx x

đặt u = x - 1  du = dx

cosxdx = dv  v = sinx

2 0

cos



2 1 1

(



xdx x

1 3

2 9

3 sin 3

2 3

3 cos 3

cos3x

6 0

1 1)

1)ln(x

-(x

5 2 2

5 2 5

2

2 5

2 2

dx x dx

x

x D

nhận xét: *học sinh thường chọn v = x2 rồi tính tích phân

2 5

2

) 1 ln 2

( ) 1

1 1

Chú ý : ngoài ra còn gặp các tích phân mà ta phải dùng tích phân từng phần

nhiều lần để làm xuất hiện lại tích phân ban đầu

Và đôi khi gặp các tích phân không thuộc các dạng ở trên, dùng phương pháp đổi biến số không giải được ta có thể dùng phương pháp tích phân từng phần

1

2

) (ln ; c) C = 





dx x x

1

2

) (ln

e

xdx e

xdx x

x

1 1

1

) (ln

 C =        

e

e e

e e x e dx x





dx x x

đặt u = ln(sinx)  du = dx

x

x

sin cos

1 2

3 ln 3 sin

cos tan )

ln(sin

x

3

2 3 ln 2

3 2

ln 3

1 2 ln 3

2

) 1 3 (

1

x x

x

   

2 1

) 1 ( 5

x x

3

I x x dx b)

2 23

sin x dx



 b) 

2 0

tg x dx x

 d)

/ 4

2 / 4

1cos

tgx dx x

2 cos



dx x x

1 0

I

1

ln ).

2 2 (

d)   

2 1

2 1

2 ; B ln )

ln 1

x

x dx

x A

e

III.HIỆU QỦA CỦA ĐỀ TÀI :

- Sau một năm áp dụng sáng kiến này vào các lớp mà tôi trực tiếp giảng dạy ở

trường THPT trị an, thấy học sinh hứng thú hơn trong học tập nhận dạng đượcbài toán tích phân , áp dụng giải được bài tập sách giáo khoa và các tài liệu

năm học 2011-2012 sau khi làm xong sáng kiến kinh nghiệm này , tôi đã cho

2 lớp 12A1 và 12A4 làm bài kiểm tra 45 phút và kết quả thu được như sau:

sáng kiến kinh nghiệm này

IV ĐỀ XUẤT , KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG:

Sáng kiến kinh nghiệm này có phạm vi áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả cao tại trường và các trường bạn trên cơ sở đó đề xuất :

- hằng năm giáo viên trong nghành giáo dục làm rất nhiều đề tài tham giacác cuộc thi hội giảng , chiến sĩ thi đua cấp cơ sở , chiến sĩ thi đua cấp tỉnh nghành có kế hoạch chọn các đề tài chất lượng đóng thành đĩa CDphát hành về các trường để giáo viên và học sinh tham khảo

V TÀI LIỆU THAM KHẢO:

1 Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao do Đoàn Quỳnh tổng chủ biên – nhà xuất bản giáo dục phát hành - năm 2008

2 sách giáo khoa giải tích 12 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 do Ngô Thúc Lanh chủ biên – nhà xuất bản giáo dục phát hành năm 2000

3 sách chuyên đề luyện thi vào đại học - Giải Tích - Đại Số tổ hợp do

trần văn hạo chủ biên – nhà xuất bản giáo dục phát hành năm 2001

PHIẾU NHẬN XÉT , ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học :2011-2012

Tên Sáng Kiến Kinh Nghiệm: Một số phương pháp giải toán tích phân

Họ và tên tác giả : Lê Công Quý , Đơn Vị Tổ : Toán

lĩnh vực :

Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học bộ môn

Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác

1 Tính mới:

- Có giải pháp hoàn toàn mới

- Có giải pháp cải tiến , đổi mới từ giải pháp đó

2 Hiệu Quả :

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn nghành có hiệu quả cao

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai

áp dụng trong toàn nghành có hiệu quả cao

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai

áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao

Xác nhận của tổ chuyên môn: Thủ trưởng đơn vị :

( Ký và ghi rỏ họ tên ) ( ký tên , ghi rõ họ tên và đóng dấu)