Tổng hợp các dạng toán tích phân thường gặp, một số bài toán tích phân theo dạng có lời giải. Tài liệu này thích hợp với những ai đang ôn luyện thi đại học nhưng chưa tổng kết được các dạng bài và có những ví dụ minh họa kèm theo
Trang 1CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ CÁCH TÍNH
( )
P x
Q x
Dạng 1: Bậc của tử lớn hơn (hay bằng) bậc của mẫu:
Cách giải: Ta thực hiện phép chia đa thức cho đa thức
Ví dụ 1:
2 7
x x
0
7 19 ln | 2 | |
x + + x x−
Chú ý: 2 1
b a
ax bx c
=
+ +
∫ (Rất quan trọng trong tích phân hữu tỉ)
TH1: Mẫu có 2 nghiệm Đặt 2 1
ax + +bx c 1 2
A B
x x x x
= +
− − giải ra tìm A, B
Ví dụ 2:
2
3 2 ( 1)( 2)
x x x x
Làm ngài nháp:
( 1)( 2) 1 2 ( 1)( 2) ( 1)( 2)
A B A
A B A x B x A B x A B
A B B
+ + + + + +
+ = = −
0
2
ln | 1| ln | 2 | |
TH2: Mẫu có 1 nghiệm Phân tích 2 ( )2
0
ax + + = bx c a x x− Tính trực tiếp
Ví dụ 3:
1 0
|
−
TH3: Mẫu vô nghiệm Phân tích
2 2
2
2 4
b
ax bx c a x
a a
+ + = + −
b
∆
Ví dụ 4:
4 7 ( 2) 3
2 3 tan 3(1 tan )
x + = t ⇒dx = + t dt đổi cận 0 tan 2 , 1 tan 3
x = ⇒t Arc = x = ⇒t Arc=
khi đó
2
( 3 tan ) 3
t t
+ +
Đặc biệt: + I 2 1 dx
x a
= +
∫ Đặt a tant x= + I 2 1 dx
x a
=
−
∫ là dạng TH1 (a > 0)
Ví dụ 5: a)
1
2 0
1 5
x
= +
∫ Đặt x = 5 tant Giải hoàn toàn tương tự Ví dụ 4 b)
2
5 ( 5)( 5)
Dạng 2: Một số phép biến đổi thường dùng (phải nhớ từng dạng và cách biến đổi)
n n
n
ax b ax b
cx d + cx d cx d
cx d
+ + DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!
DeThiThu.Net
Trang 2Tích phân ôn thi đại học www.D E T H I T H U N E T Võ Hữu Quốc
* Tương tự: 1/
7 0
( 2) (3 5)
x
I
x
+
=
−
4 0
(5 2) (3 1)
x
I
x
−
=
+
∫
b) Áp dụng phương pháp trên:
.(4 1)
x
dx
+
1) dx
x +
Đặt t =
2 3
4 1
x
x
+
+
* Tương tự: 1/
1
0
1 (3 4) (3 2)
x x
=
+ −
1
0
1 (2 1) (3 1)
x x
=
− −
∫
Ví dụ 7: Các phép biến đổi hay
a)
+ I1: Đặt t = x2 - 3 + I2: ln|x|
* Tương tự: 1/
3
9 5
dx I
= +
3
6
dx I
= +
∫
Tổng quát: 1 ( )
b)
4
2
1
1
x
+
x
− (ở bước đầu chia cho x2)
* Tương tự: 1/
3 2
4 1
1 1
x
x
−
= +
4 3 2 1
1
x
−
=
∫
BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ
1/
1 3
3 2
0
1
x
+
=
3 2
2 2
( 2)( 1)
+ +
=
2 3
1 ( 1)
dx
x x +
∫
4/
1
0
3 1
( 2)( 1)
x
+
=
1
3 0
3 1 ( 1)
x
x
+
= +
3 3
2
x
x
=
+
∫
7/
2
3
3
3 2
x
=
− +
2 3
2
1 ( 1)
x
x
= +
3 3 0
dx
x x
= +
∫
Tham gia ngay! Group ÔN THI ĐH TOÁN - ANH: Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
Tham gia ngay! Group ÔN THI ĐH TOÁN - ANH: Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan DeThiThu.Net
Trang 3Tích phân ôn thi đại học www.D E T H I T H U N E T Võ Hữu Quốc
10/
2
5 3 1
dx
x x
=
+
1
3
dx
x
= +
1 5
2
x
x
= +
∫ 13/
1
3
0 (1 2 )
x
x
=
+
9 0
(3 5) (1 2 )
x
x
−
= +
2
0
1 ( 1)( 1)( 3)
x x x
=
− + +
∫
DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!DeThiThu.Net
Trang 4B – TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
www.Dethithu.Net
Dạng 1: sin os
b
a
I = ∫ x c xdx
+ Nếu n hoặc m lẻ: Đặt hàm số dưới mũ chẵn bằng t (Tức là sinx = t hoặc cosx = t)
+ Nếu n, m cùng lẻ: Đặt t = sinx hoặc t = cosx đều được
+ Nếu n, m cùng chẵn thì dùng công thức hạ bậc: 2 1 cos 2 2 1 cos 2
x = − x= + Dạng 2: I =∫ f [cos ].sinx xdx - Hàm số ta có thể đưa hết về cosx và chỉ còn lại sinx là phần dư ở sau
(cách nhận dạng là số mũ của sinx lẻ) Đặt t = cosx
Các phép biến đổi:
sin x = sin sin x x = − (1 cos ) sinx x
sin k os batki sin k os batki .sin (1 cos ) os k batki .sin
lẻ)
A2 = 2 1 1 s inx 2 2 s inx 2 1 s inx2 1
sin k + x = sin k + x = (sin ) x k + = (1 c os )x k+
A3: Hàm số có chứa sin 2 x = 2 sin cosx x
áp dụng: 1/
4 2 0
sin 2 3sin 4 sin 1
x
x x
π
=
− +
4 3 0
1 sin
x
π
2
0
sin 2 sin cos 3
x x
x
π
+
=
+
∫ Dạng số 3: I =∫ f [sin ].cosx xdx - Hàm số ta có thể đưa hết về sinx và chỉ còn lại cosx là phần dư ở sau (cách nhận dạng là số mũ của cosx lẻ) Đặt t = sinx
Các phép biến đổi:
cos x c = os os x c x = − (1 sin ) osx c x
cos k + x .sin x batki x = cos k x .sin x batki x .cos x = − (1 cos ) sin x k x batki x .cosx (nhận dạng: cosx
mũ lẻ)
A2 = 2 1 1 cos 2 2 cos 2 1 cos2 1
cos k cos k (cos ) k (1 sin )k
A3: Hàm số có chứa sin 2 x = 2 sin cosx x
áp dụng: 1/
4
2 5 0
sin os
I x c xdx
π
4
0
1 cos
x
π
2
0
sin 2 cos sin 3
x x
x
π
+
=
+
∫
[sin , cos ].sin 2
I =∫ f x x xdx - Hàm số chứa 2 2
sin , cosx x và sin2x tách rời ra
Cách biến đổi: Đặt t = 2 2
[sin , cos ]
f x x
(sin ) ' sin 2 , (cos ) ' x = x x = − sin 2x
+ Đôi khi người ta không cho sin2x mà cho sinx.cosx ta biến đổi sinx.cosx = 1sin 2
Ví dụ 8: a)
/2
2 0
sin 2
1 os
x
c x
π
= +
∫ Ta nhận thấy hàm số có chứa cos 2 x và sin2x
1 cos sin 2
sin 2
dt
t x dt xdx dx
x
= + ⇒ = − ⇒ =
− đổi cận: x = pi/2 thì t = 1, x = 0 thì t = 2 Khi đó:
1
1 2 2
sin 2
ln | || 2 sin 2
x dt
−
∫
DeThiThu.Net
Trang 5Tích phân ôn thi đại học www.D E T H I T H U N E T Võ Hữu Quốc
b)
/2
0
sin 2 cos 4 sin
x
x x
π
=
+
∫ Ta nhận thấy hàm số có chứa đồng thời sin 2 x, cos 2 x và sin2x
cos 4 sin cos 4 sin 2 ( sin 2 4 sin 2 )
3sin 2
tdt
t x x t x x tdt x x dx dx
x
Đổi cận: x = pi/2 thì t = 2, x = 0 thì t = 1
Khi đó:
1
2 1 2
|
x tdt
Dạng 5: (tan ). 12
cos
x
= ∫ - Hàm số chứa mình tanx và 1 2
cos x tách rời ra
Cách biến đổi: Đặt t = tanx
Ví dụ 9: a)
2 0
(tan 1) cos
x
x
= ∫
2
1
cos
x
= ⇒ = ⇒ = Đổi cận x = 0 ⇒t = 0, x = π / 4 ⇒t= 1
Khi đó:
2
.cos ( 1)
t
x
+
Nhưng đề thi không cho một cách đơn giản vậy, có nghĩa là mình phải qua các phép biến đổi mới nhận dạng được chứ lúc đầu chưa thấy có mình tanx và 1 2
cos x (yêu cầu kỹ năng và làm nhiều)
b)
4 2 / 4
sin cos (tan - 2 tan 5)
x
x x x
π
π
=
+
sin , cosx x Ta sẽ
cố gắng tìm cách đưa về đúng dạng, Ở ví dụ sau ta sẽ thấy điều đó:
2
2
cos (tan - 2 tan 5) cos tan - 2 tan 5
cos cos tan - 2 tan 5 cos tan - 2 tan 5
tan - 2 tan 5 cos
x
x
=
+
/ 4
/ 4
dx
π
π
∫
Từ bài này ta có thể tổng quát được rằng cứ số mũ của sin ở trên tử nhỏ hơn số mũ của cos ở dưới mẫu là ta tách như vậy
Chú ý: Các phép biến đổi thường dùng để đưa về dạng này
(1 tan ).
cos x = cos x cos x = + x cos x Từ đây làm cho thầy 1 6
cos x???
Tổng quát lên cosx mũ chẵn ta sẽ giải quyết được hết bằng cách này (Nếu cosx mũ lẻ ta cũng giải quyết được bằng A2 dạng 3)
sin sin cos cos
a x b + x x c + x d+ ta sẽ chia cả tử và mẫu cho cos
2
x
sin sin cos cos tan tan (1 tan )
x x x x d a x b x c d x
+ + + +
DeThiThu.Net
Trang 6Tích phân ôn thi đại học www.D E T H I T H U N E T Võ Hữu Quốc
A3 =
cos cos ( os sin ) ( os sin )
asinx b x c = asin b c c c
2
s
2
x
co )
( s inx a bc x os ) = a sin x 2 sin cos ab x x b cos x
A5 =
osx (sin os ) ( os sin ) ( 1)sin ( 1) cos
cho?)
A6 =
sinx
a
cho?)
Dạng 6: (cot ). 12
sin
x
= ∫ - Hàm số chứa mình cotx và 1 2
sin x tách rời ra
Cách biến đổi: Đặt t = cotx
Ví dụ 10: a)
/4
2 /6
3cot 1 sin
x
x
π π
+
= ∫ nếu theo 1 cách máy móc thì thấy hàm số chứa cotx và 1 2
sin x thì ta
đặt t = cotx Nhưng nếu tinh ý ta đặt nguyên căn bằng t bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều
Không tin hãy thử?
Cũng giống dạng 6 thì đề rất ít khi cho sẵn dạng, mà phải qua phép biến đổi
sin x = sin x sin x = + co x sin x Từ đây làm cho thầy 1 6
sin x???
A 2, A 3 , A 4 , A 5 , A 6 Ở dạng 4 ta có thể giải quyết bằng cách này bằng cách không chia cho cos nữa mà
ta sẽ chia cả tử và mẫu cho sin Thử coi?
Từ đây ta có nhận xét: hầu hết các bài tích phân của hàm lượng giác mà tử số là hằng số sẽ được giải quyết bằng 2 cách dạng 4 hoặc dạng 5
'sin 'cos '
asinx b x c
+ +
=
∫ - Hàm bậc nhất của sinx, cosx chia hàm bậc nhất của sinx,cosx Hướng giải quyết: Tử = asinx b + cos x c A a + = ( 'sin x b + 'cos x c + + ') B a ( 'cos x b − 'sin )x +C
Ví dụ 11:
/2
0
sin 7 cos 6
4 sin 3cos 5
x x
x x
=
+ +
∫
Ta phân tích tử số:
sin x + 7 cos x + = 6 A (4 sin x + 3cos x + + 5) B (4 cos x − 3sin ) x + = C (4 A − 3 ) sin B x + (3 A + 4 ) cos B x + + 5A C
Khi đó ta có hệ phương trình:
A C
− =
(tức là ta cho hệ số sinx, cosx ở đầu bằng cuối) giải hệ phương trình ta được: A = 1, B = 1, C = 1
Khi đó:
sin 7 cos 6 (4 sin 3cos 5) (4 cos 3sin ) 1
4 sin 3cos 5 4 sin 3cos 5
4 sin 3cos 5 4 sin 3cos 5 4 sin 3cos 5
DeThiThu.Net
Trang 7Tích phân ôn thi đại học www.D E T H I T H U N E T Võ Hữu Quốc
1
4 sin 3cos 5
4 sin 3cos 5 2
x x
x x
+ +
/2 2 0
4 cos 3sin
4 sin 3cos 5
x x
x x
=
+ +
/ 2
3
0
1
4 sin 3cos 5
x x
π
=
+ +
∫ quay lại A3 của dạng 5
MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG DÙNG TRONG TÍNH TÍCH PHÂN
1 / sin 2 x = 2 sin cos 2/ cos 2 x x x = cos x − sin x = 2 cos x − = − 1 1 2 sin x
3 / sin 4 / cos tan
x
+
5 / sin 6 / cos
7 / 1 tan 8/ 1 t
cos x = + x sin x = +co x
9 / sin cos 1 sin 2 cos 2 cos 4
x + x = − x = + x = + x
10 / sin cos 1 sin 2 cos 4
11 / 1 sin 2 + x = (sin x + cos )x
CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM QUAN TRỌNG
1 / (sin ) ' sin 2 2 / (cos ) ' sin 2
3 / (tan ) ' 1 tan 4 / ( t ) ' 1 t
BÀI TẬP TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC 1/
/2
2 0
sin cos (1 cos )
I x x x dx
π
/2 3 0
tan
I xdx
π
/2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
x
=
+
∫ 4/
/2
0
sin 2 cos
1 cos
x x
x
π
=
+
/2 3
0
4 sin
1 cos
x
x
π
= +
/12
0
tan 4
I xdx
π
= ∫ 7/
/2 3
0
cos
1 sin
x
x
π
=
+
/2
0
3sin 4 cos 3sin 4 cos
x x
x x
=
+
/3 2 0
sin tan
I x xdx
π
= ∫ 10/
/2 3
2 0
sin
1 cos
x
x
π
=
+
/2
0
cos 2
1 cos
x
x
π
= +
/2 cos 0
sin 2
x
I e xdx
π
= ∫ 13/
/4
sin 0
(tan xcos )
I x e x dx
π
/2 sin 0
( x cos ) cos
I e x xdx
π
/2
2 0
sin 2
4 cos
x
x
π
=
−
∫ 16/
/4 3
4 0
4 sin
1 cos
x
x
π
=
+
0
1 2 sin
1 sin 2
x
x
π −
= +
/3
0
cos
2 cos 2
x
x
π
=
+
∫
/2
sin
0
.sin 2
x
I e xdx
π
/2
0
cos
2 cos 2
x
x
π
=
+
/2
2 3 0
sin 2 (1 sin )
I x x dx
π
= ∫ +
DeThiThu.Net
Trang 8Tích phân ôn thi đại học www.D E T H I T H U N E T Võ Hữu Quốc
25/
/2
2 0
sin 2
1 cos
x
x
π
=
+
/2
2 0
sin 4
1 cos
x
x
π
= +
/2
2 3 0
sin 2 (1 sin )
I x x dx
π
= ∫ +
28/
/2
0
sin 2 cos 4 sin
x
x x
π
=
+
/2
0
sin cos
4 cos 9 in
x x
x s x
π
=
+
/2
0
1
1 tan
x
π
= +
∫ 31/
/4
4 0
1
cos
x
π
/4 6 0
tan
I xdx
π
/4 3 0
tan
I xdx
π
= ∫ 34/
/4
0 sin 2 sin cos cos
dx
x x x x
π
=
2 2 5 0
sin (tan 1) os
x
x c x
π
=
+
/6 4
0
tan cos 2
x
x
π
= ∫ 37/
/6 3
0
tan
cos 2
x
x
π
/2
0
1
1 sin 2
x
π
= +
/4
2 0
1 (sin 2 cos )
x x
π
=
+
∫ 40/
4 /3
1
sin
2
x
π
π
/2
0 1 cos
dx I
x
π
= +
/2
2 0
1
2 cos
x
π
=
−
∫
43/
/2
4 /4
1
sin
x
π
π
/2
2 /4
3cot 1 sin
x
x
π π
+
/4 2 /6
1 sin cot
π π
= ∫
46/
/3
/3
1 sin 9 cos
π
π
=
+
/2 cot 2 /4 sin
x
e
x
π π
/4
3 0
cos 2
(sin cos 2)
x
π
=
∫
49/
/4
0
cos 2 sin cos 2
x
π
=
/2
/4
sin cos sin cos
π π
−
=
+
/2
/4
1
1 sin 2
x
π π
= +
∫
52/
/2
3
/4
sin cos
sin cos
π
π
+
=
−
/3
/4
sin cos
3 sin 2
x
π π
+
=
+
/2
/4
sin cos
1 sin 2
x
π π
−
=
+
∫
55/
/2
3 0
cos 2 (sin cos 3)
x
π
=
/2
/4
sin cos
1 sin 2
x
π π
−
=
+
∫
57/
/4
sin sin cos
x
π
π
=
+
/4
sin sin cos
x
π π
=
+
/2
/4
sin sin cos
x
π π
=
+
∫
DeThiThu.Net
Trang 9Tích phân ôn thi đại học www.D E T H I T H U N E T Võ Hữu Quốc
C - TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ (CHỨA CĂN)
www.Dethithu.Net
b a
I = ∫ f x x −k dx - Hàm số có chứa 2
x −k
Hướng giải quyết: đặt
2
2
t k
t
+
Ví dụ 1:
1 2 2
x
x
=
−
∫ Nếu đặt t = căn thì việc giải sẽ rất khó khăn
Khi đó ta sẽ định hướng đặt 2
3
x − = −t x
2
x t x x t x x t xt x x dx dt
− = − ⇒ − = − ⇒ − = − + ⇒ = ⇒ =
2 2
3
2
t
t
t
+
−
Đến đây rồi việc giải tiếp dành cho các em!!!
Dạng 2: I = ∫ ( x a x b dx+ )( + ) - Hàm số có chứa ( x a x b+ )( + )
Hướng giải quyết:
2
a b
t x= + +
Ví dụ 2:
1
0
( 1)( 3)
I = ∫ x + x + dx
2
t x = + + = +x
dt dx
⇒ = , x + = − + = + 1 t 1, x 3 t 1
2
( 1)( 1) 1
I = ∫ t − t + dx = ∫ t − dx Hình như là đã quay về dạng 1 hehe!!!
Dạng 3: 1 ,
( )( )
x a x b
− − +
∫
Hướng giải quyết: 2
( ) sin , (0 )
2
x a = + − b a t < <t π
2( ) sin cos
( ) sin , ( )(1 sin ) ( ) os t
dx b a t tdt
x a b a t x b b a t b a c
= −
− = − − + = − − = −
2 2 2
2( ) sin cos
( ) sin cos
b a t t
dt dt t
b a t t
−
Ví dụ 3:
2 2 0
1
3 4
x x
=
− + +
∫
Ta sẽ phân tích:
I = ∫ dx = ∫ dx Trình bày lời giải cho thầy
DeThiThu.Net
Trang 10Tích phân ôn thi đại học www.D E T H I T H U N E T Võ Hữu Quốc
I = ∫ f x a x dx− - Hàm số có chứa 2
a x−
Hướng giải quyết: Đặt x = a sint
Ví dụ 4:
1
2 0
1 3
x
=
−
∫ đặt x = 3 sint, trình bày lời giải tiếp
Ta quay lại với trường hợp phương trình trong căn vô nghiệm, coi cách này có giải quyết được không?
Ví dụ 5:
1 2 0
1
2 4
x x
=
− + +
∫ đúng là phương trình trong căn vô nghiệm và có hệ số a < 0
2 4 ( 2 1) 5 5 ( 1)
− + + = − − + + = − +
1
2
0
1
2 4
x x
=
+ +
1
2 0
1
5 ( 1)
x
=
− +
∫ đặt x + = 1 5 sint thử coi được không?
Từ đó đặt câu hỏi: vô nghiệm nhưng hệ số a dương bài toán sẽ được giải quyết như thế nào?
( ; )
I = ∫ f x x +a dx
Hướng giải quyết: sẽ có 2 cách
Cách 1: đặt x = a tant
Cách 2: đặt 2
x + + =a x t
Ví dụ 6:
1 2 0
1 3
x
=
+
∫
3 tan 3(1 tan )
x = t ⇒dx = + t dt đổi cận x = 0, t = 0: x = 1, t = π / 6
khi đó:
2
1 tan
cosx
cách 2: đặt
2
x x t x t x x t x x dx dt
+ + = ⇒ + = − ⇒ + = − ⇒ = ⇒ =
đổi cận: x = 0, t = 3: x = 1, t = 3
khi đó:
3
2
3
2
t
Ví dụ 7: Đề thì sẽ không cho sẵn như trên, hoặc đó chỉ là bước tính cuối cùng của 1 bài tích phân
1
2
0
1
2 4
x x
=
+ +
∫ - vô nghiệm và hệ số a dương
Ta có thể biến đổi: 2 2
2 4 ( 1) 3
x + + = + +x x
khi đó
2 4 ( 1) 3
cách 1: x + = 1 3 tant Giải tiếp
cách 2: 2
( x + + + + = 1) 3 ( x 1) t Giải tiếp (ta xem x + 1 như là x trong ví dụ 6)
Dạng 6:
2
1 ( ' ')
a x b ax bx c
=
∫
DeThiThu.Net
Trang 11Tích phân ôn thi đại học www.D E T H I T H U N E T Võ Hữu Quốc
Hướng giải quyết: đặt 1
' '
t
a x b
= +
=
Hướng giải quyết: nhân cho lượng liên hợp (nếu cộng nhân tử và mẫu cho dấu trừ và ngược lại)
n m
=
+
∫
hướng giải quyết: đặt
m
x k t
x
+
= (cách này sẽ sử dụng rất hiệu quả khi đặt t = căn không được)
Tổng kết lại
- Hướng thứ nhất: đặt t = căn
- Hướng thứ hai: đặt t
x
=
- Hướng thứ ba: dựa vào bảng sau
2 2
π π
∈ −
hoặc x = |a| cost; với t∈[ ]0;π
2 2
x −a
2 2
t π π
∈ −
cost; với [ ]0; \
2
t∈ π π
2 2
π π
∈ −
hoặc x = |a|cost; với t∈( )0;π
a x
a x
+
a x
a x
−
( x a b x− )( − ) Đặt x = a + (b – a)sin2t
2 2
1
π π
∈ −
BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ 1/
4
2
dx
I
x x
=
+
7 3
3 2
x
x
=
+
1
3 2 0
1
I = ∫x −x dx
4/
3
2 3 (1 )
dx I
x
=
+
3 3
3
2
dx I
=
−
4
(1 )
dx I
x x
= +
∫ DeThiThu.Net
Trang 12Tích phân ôn thi đại học www.D E T H I T H U N E T Võ Hữu Quốc
10/
6
3
2 4
4
2 (2 )
x dx
I
−
=
+ −
2 3
3
2 2
1
1 ( 1)
x dx
I
x x
−
=
+ −
16
4
1 (1 )
dx I
=
+
∫
13/
1
5 4 0
3 5 3 2 0
2 1
x
+
=
+
2 3
2 5
1 4
x x
=
+
∫
16/
2 4
5
x
x
=
+
3 3 2
x
x
=
+
1
5 2 0
1
I = ∫x −x dx
19/
9
3
1
1
2
4 2
1 1
dx I
−
=
+
2
3
1 1
dx I
=
+
∫
22/
3/ 2
2
2 1
dx I
=
−
( )
1
2
dx I
=
1
2
dx
x + x + x
∫
25/
3
2
0
dx
I=
x -3x+2
1 2 0
dx I=
x +2x+1
1 2
dx I
x x
=
+ +
∫
28/
1
2
0 - - 2 3
dx I
=
+
1 2 0
1.
1 2 0
2 3.
I = − − +∫ x x dx
31/
1
0 3 1 3 6
dx
I
=
1
0 2 4 2 9
dx
I
=
∫
DeThiThu.Net