Bài giảng số 09: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ... Lập bảng biến thiên... Theo tính chất 3, phương trình 12 có nhiều nhất hai nghiệm.
Trang 1Bài giảng số 09: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Tính chất 1: Gi ả sử hàm số y f x ( ) là đơn điệu trên khoảng ( , ) a b và x y , ( , ) a b thì
Tính chất 2: Gi ả sử f x ( ) là hàm số đồng biến trên khoảng ( , ) a b và g x ( ) là hàm số nghịch biến trên khoảng ( , ) a b , khi đó nếu phương trình f x ( ) g x ( ) có nghiệm trên khoảng ( , ) a b thì nghiệm đó là duy nhất
Nhận xét: N ếu f x ( )là hàm số đơn điệu trên khoảng ( , ) a b thì phương trình f x ( ) c nếu có nghiệm trên khoảng ( , ) a b thì nghiệm đó là duy nhất
Tính chất 3: Cho hàm s ố y f x ( )trên khoảng ( , ) a b Nếu phương trình f x '( ) 0 có n 1
( n N ) nghiệm thuộc ( , ) a b thì phương trình f x ( ) 0 có nhiều nhất n nghiệm thuộc ( , ) a b
B CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Giải phương trình: 85
2x
Lời giải
Điều kiện: x 1.
Xét hàm số f x ( ) x 1 2 x 4 trên 1; ), ta có
f x
Vậy f x ( ) đồng biến trên miền xác định
Mặt khác xét hàm số 8
5
8
2
x x
, ta có g x '( ) 28x.ln 2 0 nên g x ( ) nghịch biến trên miền xác định Theo tính chất 2, phương trình (1) có nghiệm duy nhất x 5, thật vậy:
Nếu 1 x 5 thì f x ( ) f (5) g (5) g x ( ) nên phương trình (1) vô nghiệm
Nếu x 5 thì f x ( ) f (5) g (5) g x ( ) nên phương trình (1) vô nghiệm
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2
2
2 2
1
Lời giải
Điều kiện: x R
Phương trình (2)
Xét hàm số f t ( ) log2t t t ( 0), khi đó phương trình (2) có dạng
Trang 2Vì 1
ln 2
f t
t
nên f t ( ) là hàm đồng biến trên (0, ).
Vậy theo tính chất 1, phương trình (2’)
x2 x 1 2 x2 4 x 3 2 3 2 0 1
2
x
x
Ví dụ 3*: Giải phương trình: 3x 5x 6 x 2 (3)
Lời giải
Phương trình (3) 3x 5x 6 x 2 0.
Xét hàm số f x ( ) 3x 5x 6 x 2, ta có f '( ) x 3 ln 3 5 ln 5 6x x
Dễ thấy f x '( ) là hàm số đồng biến và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện f (0) (1) f 0 nên phương trình
'( ) 0
Vậy theo tính chất 3 phương trình (3) có nhiều nhất hai nghiệm
Dễ thấy x 0, x 1 là nghiệm của (3)
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 2( 1) (4)
x y
Lời giải
Lấy phương trình (4) –(5) theo vế ta có hệ phương trình ban đầu tương đương với
x y
x y
Lấy (4’)-(5’) theo vế, ta được ex y ( x y ) ex y ( x y ). (6)
Xét hàm số f t ( ) et t t ( R ), ta có f t '( ) et 1 0 nên f t ( ) là hàm số đồng biến trên R
Theo tính chất 1, phương trình (6) f x ( y ) f x ( y ) x y x y y 0.
Với y 0 thay vào (4), ta có : ex x 1 0 (7)
Xét hàm số g x ( ) ex x 1, với g x '( ) ex 1 thì g x '( ) 0 x 0.
Lập bảng biến thiên
Trang 3x 0
'( )
g x - 0 +
( )
g x
Từ bảng biến thiên, ta suy ra g x ( ) 0, dấu xảy ra khi và chỉ khi x 0.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (0; 0)
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình
2
1
x
Lời giải
Biến đổi phương trình (6) về dạng: 1 4
x y
x y
x y
Đặt t x y, khi đó phương trình trên có dạng: 1 4
t
Dễ thấy vế trái l à hàm số nghịch biến và vế phải là hàm số đồng biến nên theo tính chất 2 phương trình có nghiệm duy nhất t 0
Vậy y x, thay vào (7), ta có: 2 1
x
Chia cả hai vế cho x ta được 1 1
x
2
u
u
Với
2 1
2
x
u
x
2
x u
x
Vậy hệ có 4 nghiệm 1 5 1 5 1 5 1 5
0
Trang 4Ví dụ 6: Giải hệ phương trình: 2 3
Lời giải
Điều kiện: cos 0
x y
Lấy phương trình (8) trừ (9) theo vế, ta có:
log (1 3cos ) log cos x x log (1 3sin ) log sin y y (10) Xét hàm số f t ( ) log (1 3 ) log3 t 3t t ( 0), ta có:
(1 3 ) ln 2 ln 3
Vậy theo tính chất 1, phương trình f (cos ) x f (sin ) y cos x sin y
Thay sin y cos x vào (8), ta có:
log (1 3cos ) log (cos ) 2
Đặt 2
3
log (1 3cos )
t t
t
x x
Vậy phương trình (11) tương đương với 3(2t 1) 3t 3t1 2t 1 0 (12)
Xét g t ( ) 3t1 2t 1, ta có g t'( ) 3t1ln 3 2 ln 2 t
2
t
g t t
Theo tính chất 3, phương trình (12) có nhiều nhất hai
nghiệm Dễ thấy (12) có hai nghiệm là 1
2
t t
3
3
y Trong trường hợp này hệ có 4 nghiệm
+) Nếu t 2 thì log (1 3cos )2 x 2 cos x 1, từ đó sin y 1
Trong trường hợp này hệ có nghiệm ( 2 , 2 ) ( , ).
2
Trang 5C BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải các phương trình sau
b) log 3 log 3
c) 2x1 2x2x ( x 1)2 Đs: x 1.
d) x2 ( 3 2x) x 2 ( 1 2x) 0 Đs: x 0; x 2
Bài 2: Giải các phương trình sau
e) log2x log (25 x 1) 2 Đs: x 2.
f) log7 x log (3 x 2). Đs: x 49
g) ( x 2) log (32 x 1) 4( x 1) log (3 x 1) 16 0. Đs: 80
2;
81
x x
h) 2 x 1 5 x 1 10 x 1 x2 x 6 Đs: x 1.
1
2
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
Đs: ( 2 , 2 )
b)
y x
Đs: (1,1)
c)
Đs: (1, 2), (1, 0), ( 1, 2), ( 1, 0)
d)
2
Đs: 1
( ; 2) 2
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:
a)
Trang 6b)
.
Đs: 0; 0
.
x
x y y
Đs: (1,1)
d)
3
.
2
x
y
e)