Bài 1:Tính tích phân 3 2 2 1 2 1 dx I x x = − ∫ Lời giải: Đặt 2 2 2 2 1 1 2 2 dx tdt t x t x tdt xdx x x = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − 2 2 1 1 dx tdt tdt x t t ⇒ = − = − − Đổi cận: 1 3 3 1 ; 2 2 2 2 x t x t = ⇒ = = ⇒ = 1 3 3 2 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 1 1 1 7 4 3 ln ln 1 1 2 1 2 3 | dt dt t I t t t + + = = = = − − − ∫ ∫
Trang 104 TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: Tính tích phân
3 2
2 1
2
1
dx I
=
−
∫
Lời giải:
Đặt t 1 x2 t2 1 x2 2tdt 2xdx dx tdt2
= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − 2 2
dx tdt tdt
− −
x= ⇒t = x= ⇒t=
3
2
3
2 2
I
= = = =
Bài 2: Tính tích phân
π
2 cos
0
( x sin ).sin 2
I =∫ e + x xdx
Lời giải:
Ta có
( x sin ).sin 2 2 x.cos sin sin sin 2
+ Xét
2
cos
1
0
.cos sin
x
π
=∫ Đặt t=cosx⇒dt = −sinxdx, ta có
1
I =∫t e dt=t e −∫e dt=
+ Xét
2
I = x x dx= x− x dx= x− x =
Vậy:
2
cos
0
( sin ).sin 2 2
x
π
=∫ + = + =
Bài 3: Tính tích phân
1
ln
e
x
x x x
−
=
+
∫
Lời giải:
Ta có
Đặt t = lnx + 1 ⇒ dt 1dx
x
= ; Đổi cận: x = 1 thì t = 1; x = e thì t = 2
1
t
−
= = − = − = −
Bài 4: Tính tích phân: ∫
− +
1
0
2
1
dx
Lời giải:
Đặt sin ; π π;
2 2
x= t t∈ −
Ta có dx=costdt và 1−x2 = 1 sin− 2t = cos2t = cost =cost
Trang 2LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên! https://www.facebook.com/LyHung95
Đổi cận: Với x = 0 thì t = 0; với x = 1 thì π
2
t=
Từ đó
π
2
cos
1 cos
t x
= + + −
2
2 0
2
2 cos 2
t dt t
−
2
π
2
cos 2
t d
t
t
− = − = −
Bài 5: Tính tích phân π2( )
3
π
4
2 sin 3 cos sin
x
+ −
Lời giải:
π
2
π
4
cot
Vậy I = + =I1 I2 2 2−3
Bài 6: Tính tích phân
π
6
0
π
tan
4 cos 2
x
x
−
=∫
Lời giải:
Ta có
2
2
π
tan
4
x
x
−
+
cos
x
x= ⇒t= x=π ⇒t=
Suy ra
1
1 3
3 2
0 0
dt I
−
∫
Bài 7: Tính tích phân
2
2
0
1 3 sin 2x 2 cos xdx
π
∫
Lời giải:
Ta có
I =∫ − x+ xdx=∫ x− x dx=∫ x− x dx
π
3
x− x= ⇔ x= ⇔ = +x k
2
x∈ π
nên
π
3
x=
Trang 3Do đó
π
0
3
I =∫ x− x dx+∫ x− x dx
π
0
3
(sinx 3 cos )x dx (sinx 3 cos )x dx
π
0
3
cosx 3 sinx cosx 3 sinx
= − − + − − 1 3 1 3 1 3 3 3
= − − + + − + + = −
1
ln
3 ln
1 ln
e
x
= +
+
∫
Lời giải:
+) Tính =∫ +
e
dx x x
x I
1
1
ln 1
ln
Đặt t 1 lnx t2 1 ln ; 2x tdt 1dx
x
= + ⇒ = + =
Đổi cận: x=1⇒t=1;x=e⇒t= 2
2
2
t
−
+) Tính 2 2
1
ln
e
3
dx du
v
=
⇒
=
2
1
e
Suy ra
3
3
3
e
I = +I I = − +
Bài 9: Tính tích phân
1
( 2) ln (1 ln )
e
− +
=
+
∫
Lời giải:
Ta có
+ −
Xét
2 1
t
−
= = − = − = −
Vậy I = − +e 3 2 ln 2
Bài 10: Tính tích phân
1
π
3π 4
2 tan cos
x
= + +
∫
Lời giải:
Ta có:
1
1
x
x
Trang 4LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên! https://www.facebook.com/LyHung95
+)
3 2
3
4
π
π
= − = − = − +
+)
2
3π
4
cos
x
x
2
2
3 3 4 2
4
2
1
tan cos
u x
du xdx
x
π π π π
=
∫ Suy ra
π
2
3π 4
9π
2 tan 16
J = − ∫ x xdx
Thay vào (1) ta có
16
I = − +e e +
Bài 11: Tính tích phân :
π
4
2 0
sin sin 2 cos
x
+
=∫
Lời giải:
+ Ta có
2
2
= ∫ = ∫
x
−
= ⇒ = =∫ = −∫ =
π
4 1
0
I
+ Tính
4 2
0
0
x
= − ∫ = − = −
I = + =I I − + −
−
Bài 12: Tính tích phân
ln 6
0
x
x x
e
= ∫
+ + +
Lời giải:
Đặt 3+e x =t Khi đó e x =t2 −3⇒e x dx=2tdt Khi x=0⇒t =2, khi x=ln6⇒t=3
Suy ra
2
2
=∫ = ∫
+ − + + +
t
= ∫ + + = ∫ + − +
80
2 ln 1 ln 2 1 (2 ln 4 2 ln 3) (ln 7 ln 5) ln
63
Bài 13: Tính tích phân
6
dx I
= + + +
Lời giải:
Đặt
2
1
t= x+ ⇒x= − ⇒dx=
t( )2 =3,t( )6 =5
Khi đó
5 3
tdt
= = − = + + = −
+ +
3
1
ln 1
1
t t
= + +
+
ln
2 12
= −
Trang 5Bài 14: Tính tích phân:
4
0
sin 2
1 cos 2
x
π
+
= +
∫
Lời giải:
Ta có
+
+ Tính
1
+
= = −
0
ln(1 cos 2 ) ln 2
π
= − + =
+ Tính
4
0 cos
x
x
π
cos
dx
x
= ⇒ = = ⇒ =
4 4
0
x
x
π
I = +π
Bài 15: Tính tích phân
3
2
(1 ln )
e
e
x x x x
− +
=
−
Lời giải:
x x x
− +
3 2
1
1 ln
e e
x
= − −
2
3ln 1 ln e 2 ln e e e e 3ln 2 4 2
e
Bài 16: Tính tích phân
π
4
π
8
cot tan
π
sin 2 cos 2
4
−
=
∫
Lời giải:
4
8
cot tan
sin 2 cos 2
4
π
=
∫
sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos sin 2 sin
−
−
2
x=π ⇒t= x=π ⇒t=
0
1
1
t
t
= −
+
1
t
= = −
+ +
0
2 t lnt 1 2 1 ln 2
= − + = −
Bài 17: Tính tích phân = + +
+
1
3
1 26
Lời giải:
Trang 6LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia khĩa TỐN để đạt được 8 điểm Tốn trở lên! https://www.facebook.com/LyHung95
+ +
∗ = = − + = − +
x
3
3 3
1
26
=
=
x
Vậy I
2 3
2
1 15 7 4 1 26 322
91
Bài 18: Tính tích phân
π
2
0
3sin cos
2 sin cos
−
=
+
Ta cĩ
Đặt t=2 sinx+cosx⇒dt=(2 cosx−sin )x dx
Đổi cận: Khi x = 0 thì t = 1, khi x = π 2
2
x= ⇒t=
Khi đĩ
2
1
2
1
dt
t
= −∫ = − = −
2
I = −
Bài 19: Tính tích phân
2
6
4
6
x
π
=
+ +
∫
Lời giải:
Ta cĩ
3 sin 2 cos 2 2
2 3 sin cos cos 1
6
2
2
6
u x
du dx dx
dv
x
π π
=
=
nên
cos
6
d x
x
π
π
−
= − − − = − = − −
2
π
= −