Giải tích lồi và áp dụng

định lý tách tập lồi trong không gian tuyến tính .... Định lýĐịnh lý cơ bản về tách tập lồi Cho M và N là các tập lồi không giao nhau của không gian tuyến tính X, Thêm vào M có c- điểm t

đại học thái nguyên trường đại học sư phạm

Mục lục

Trang

Mở đầu 4

Chương1 Các định lý tách tập lồi 5

1 định lý tách tập lồi trong không gian tuyến tính 5

1.1.định nghĩa tập lồi 5

1.2.các tính chất 5

1.3.định lý tách 8

2 định lý tách tập lồi trong không gian tôpô tuến tính 11

2.1.Định lý 1 11

2.2.Định lý 2 15

2.3.Định lý 3 17

Chương 2.các định lý điểm bất động 18

1.Giới thiệu một số định lý 18

1.1.Nguyên lý ánh xạ co 18

1.2.Định lý(Banach) 18

1.3.Hệ quả 19

1.4.Ví dụ 19

2 Điểm bất động của ánh xạ không giãn 20

2.1 Một số định lý có liên quan 20

2.2.Định lý (J.Schauder) 24

2.3.Định lý (Peano) 25

3 Các định nghĩa 27

Chương 3 lý thuyết cực trị 32

1.tích biến phân cổ điển 32

1.1.Các bài toán cực trị trong khoa học và kỹ thuật 32

1.2.Mở rộng bài toán biến phân cơ bản 32

1.3.Nghuyên lý Hamilton 36

1.4.Phiếm hàm phụ thuộc những đạo hàm cấp cao 39

1.5.Bài toán đầu mút động 42

1.6.Trường hợp phiếm hàm phụ thuộc các đạo hàm cấp cao 45

2 Các ví dụ áp dụng 46

3 Bài toán lồi 49

Kết luận 52

Tài liệu tham khảo 53

Do nhu cầu nghiên cứu những bài toán này mà hình thành môn giả tích lồi, vì thế em đặc biệt quan tâm tìm hiểu những vấn đề mở rộng hơn nhờ việc ứng dụng giải tích lồi do đó em đã chọn đề tài “Giải tích lồi và áp dụng”

2 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng đồng thời các phương pháp nghiên cứu phân tích, tổng hợp để nêu nên được mối liên hệ giữa các khái niệm và các định lý, từ đó hiểu rõ hơn các ứng dụng của giải tích lồi vào thực tiễn

Mỗi không gian con của không gian tuyến tính là tâp lồi

Nếu f(x) là phiếm hàm tuyến tính thì tập {x: f(x) ≤ a}, {x: f(x) ≥ a} với a

i x K a

1Chứng minh

n = 2 theo định nghĩa định lý đ−ợc chứng minh

Giả sử định lý đúng với n = m ta phải chứng minh định lý đúng với

n = m +1

Đặt b = a2 + + am+1 và 1 1

2 2 + + ++

x b

a x

1 1

m i i

i x a x by

Bổ đề 3

Cho X là không gian tuyến tính

Nếu K1, K2 lồi trong X thì βK1 và K1± K2 cũng lồi

Nhờ tính lồi của K1, K2 ta có

ax + (1-a)y = a(x1 + x2) + (1-a)( y1 + y2)

Điểm p gọi là c- điểm trong của M nếu với mỗi x ∈ X, ∃ε > 0, δ < ε

⇒ p + δx ∈ M

Điểm p gọi là c-điểm biên của M nếu nó không là c- điểm trong của M

và phần bù của M

Định nghĩa phiếm hàm Mincôpski

Cho K là tập lồi của không gian tuyến tính X và cho 0 là c-điểm trong của K, với mỗi x ∈ X, đặt I(x) = {a: a > 0, a-1x ∈ K }

) (inf)(

x I

a a x

F

∈

= Hàm F(x) gọi là phiếm hàm Mincôpski của tập hợp K

Ví dụ

Nếu K là hình cầu đơn vị của không gian Banach X thì F(x) = x

Bổ đề 5

Nếu K là tập lồi của không gian X, có 0 là c- điểm trong

Cho F(x) là phiếm hàm Mincôpski của K khi đó

f, Toàn bộ c-điểm trong của tập K đặc tr−ng bởi F(x) < 1, Còn toàn bộ c-

điểm biên của nó bởi F(x) = 1

Chứng minh

a,c,d là rõ ràng

Khẳng định b đ−ợc suy ra từ 0 là c- điểm trong của K

Để chứng minh khẳng định e, chú ý nếu c > F(x) + F(y) thì c = a + b

ở đây a > F(x), b > F(y)

Từ tính lồi của tập K suy ra điểm K

b a

y b b x a a b a

y x c

+

=

)()

Như vậy F(x + y) ≤ c

f, Nếu X là c- điểm trong của K thì điểm X + εx = (1 + εx) với ε đủ nhỏ, ε∈ K

⇒ F(x) ≤ ( 1 + ε)-1 < 1

Ngược lại, cho F(x) < 1, Đặt ε = 1 – F(x) và xét X là không gian thực

Giả sử δ(F(y) + F(-y)) < ε (1)

Ta có F(x + δy) ≤ F(x) + F(δy) (2) Nếu δ≥ 0 thì F(δy) = δF(y) = δF(y)

Nếu δ < 0 thì F(δy) = F[(-δ)(-y)] = (-δ)F(-y) = δF(-y)

Vậy F(δy) ≤δ[F(y) + F(-y)] với δ tuỳ ý

Từ (2) có F(x + δy) < 1 không phụ thuộc vào δ dương hay âm thoả mãn (1) ⇒ 1(x + δy) = x + δy ∈ K ⇒ x là c- điểm trong của phần bù của K

Tương tự chứng minh bất đẳng thức F(x) > 1 đặc trưng cho c-điểm trong của phần bù của K

Như vậy F(x) = 1 đặc trưng cho c-điểm biên của K

1.3 Định lý tách

1.3.1 Định nghĩa

Cho X là không gian vectơ, M,N ⊂ X , phiếm hàm f gọi là tách tập hợp

M và N nếu tồn tại hằng số thực c sao cho Ref(M) ≥ c, Ref(N) ≤ c

N y M

x

y f x

f

∈

∈ ( )≤infRe ( )Re

supNếu có (1) thì ∀ x ∈ M , y ∈ N có

F(y-x) = f(y) – f(x) ⇒ Ref(y-x) = Re[f(y) – f(x)]

= Ref(y) – Ref(x) ≥ 0

⇒

N M z

z f

ư

∈ ( )ReinfChứng tỏ f tách M-N và {0}

Ngược lại nếu có (2) thì ∀ x ∈ M, ∀y ∈ N:

f(y) - f(x) = f(y-x) ⇒ Re[f(y)-f(x)] = Ref(y-x)

⇒ Ref(y) - Ref(x) = Ref(y-x) ≥ 0

⇒ Ref(y) ≥ Ref(x) ≥ 0, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ N ⇒

N y M

x

y f x

f

∈

∈ ( )≤infRe ( )Re

sup

Bổ đề 2

Cho f là phiếm hàm tuyến tính xác định trên không gian véctơ X

D là không gian con của X, nếu f(D) không trùng với toàn bộ trường vô hướng

y f D y f y

Như vậy mỗi vô hướng thuộc f(D) ⇒ T ⊂ f(D)

Tất nhiên f(D) ⊂ T Vậy f(D) = T

1.3.3 Định lý(Định lý cơ bản về tách tập lồi)

Cho M và N là các tập lồi không giao nhau của không gian tuyến tính

X, Thêm vào M có c- điểm trong, khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính khác 0, f tách M và N

Kí hiệu F là hàm Mincốpski của tập hợp K khi đó F(p) ≥ 1

Nếu đặt fo(αp) = αF(p) thì fo là phiếm hàm tuyến tính xác định trên không gian con một chiều của không gian X gồm từ các bội thực của p

Ngoài ra ∀ a ∈ R có : fo(ap) ≤ F(ap)

Vì fo(ap) = F(ap) khi a ≥ 0

Khi a < 0, fo(ap) = aF(p) < 0 < F(ap)

Theo định lý Han – Bannach fo có thể thác triển đến phiếm hàm tuyến tính f sao cho f(x) ≤ F(x) ∀ x ∈ X

Khi đó G(x) = f(x) - if(ix) là phiếm hàm tuyến tính khác 0 xác định trên không gian phức X và tách M,N

2 Các định lý tách Tập lồi trong không gian tôpô tuyến tính

2.1 Định lý 1

Trong không gian tôpô tuyến tính

a, Bao đóng và phần trong của tập lồi là tập lồi

b, Điểm trong của một tập hợp là c- điểm trong của tập hợp đó

c, Nếu tập hợp lồi K của không gian tôpô tuyến tính có ít nhất một điểm trong thì để p là điểm trong của K điều kiện cần và đủ là

p là c-điểm trong của K ⇔ p là điểm trong của K

p là c- điểm biên của K ⇔ p là điểm biên của K

Ngoài ra phần trong của tập K trù mật khắp nơi trong K

Chứng minh

a, Cho X là không gian tuyến tính, K ⊂ X, I = [0, 1], để tập K lồi, điều kiện cần và đủ là ánh xạ ϕ : [x,y,a] → ax + (1-a)y của tích tôpô XxXxI vào X chuyển vào K, vì ϕ liên tục và KìKìK = KìKìI

Nên ϕ(KìKìI) = ϕ(KìKìK) ⊆ ϕ(KìKìI)⊂ K nếu K lồi

Vậy nếu K lồi thì K lồi

Bây giờ chứng nếu p là điểm trong của tập hợp K và q ∈ K thì

ap + (1-a)q khi 0 < a < 1 là điểm trong của K

Thật vậy do p là điểm trong của K nên tồn tại lân cận U của 0,

p + U ⊂ K, do q ∈ K nên trong lân cận a(a-1)-1U + q của điểm q có

q1∈ K, q1 nằm trong lân cận của q đó

Hơn nữa vì K lồi nên tập mở U1 = a(p + U) + (1 –a) q1⊂ K

Vì (1-a)(q-q1) ∈ aU nên ap +(1-a)q = ap +(1-a)q1 + (1-a)(q-q1) ∈ U1 và nh−

Từ điều vừa chứng minh trực tiếp suy ra phần hai của a và phần sau của c

b, Khẳng định b trực tiếp suy từ định nghĩa của không gian tôpô tuyến tính

Từ b rõ ràng c- điểm trong của tập hợp K là điểm biên của nó

Ta chứng minh nếu tập lồi K có ít nhất một điểm trong p thì c- điểm trong q1 của nó là điểm trong,điểm biên q2 là c- điểm biên

Vì q1 là c- điểm trong nên r = q1 + ε(q1 – p) ∈ K với ε > 0 đủ nhỏ nào

đó, từ chứng minh trên với ε > 0 đủ nhỏ đó, điểm q1 =

là điểm trong của K

Cho q2 là điểm biên, khi đó nó không là c- điểm trong của K, nh−ng nh− chứng minh trên, khi 0 < a < 1 điểm ap + (1-a)q2 ∈ K, nh− vậy q2 không là c- điểm trong phần bù của K

Vậy q2 là c-điểm biên của K

Định nghĩa

Nếu A là tập con của không gian tuyến tính X thì bao lồi của A, kí hiệu w(A) là không gian của tấtcả các tập lồi chứa A , nếu X là không gian tôpô tuyến tính bao lồi đóng của A , kí hiệu w ( A)là giao của tất cả các tập lồi đóng chứa A

Rõ ràng w(A) là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính ∑

=

n i i

i x a

1các phần tử của

a , tổ hợp tuyến tính nh− thế gọi là tổ hợp lồi Nh− vậy w(A) là toàn bộ các tổ hợp lồi có thể có của các điểm của tập hợp A

Bổ đề 1

Nếu A và K là các tập con đóng của nhóm cộng tôpô G , thêm vào K song compac thì tập A + K đóng

họ có tâm các tập con đóng của nó có giao khác rỗng ‘ , ∃ k0∈ K thuộc tất cả các K , vậy nếu N là lân cận tuỳ ý của 0 thì ( N + k U 0) ∩ ( N +p – A) ≠φ

Điều này nghĩa là ( N – N + k0) ∩ ( p – A ) ≠φ

Nếu M là lân cận tuỳ ý của 0 thì tìm đ−ợc lân cận của 0 sao cho

N – N ⊂ M, Nh− vậy mỗi lân cận của điểm k0 giao với p – A

Phần đầu của i, suy từ bổ đề : Cho X là không gian tuyến tính

Nếu K1, K2⊂ X lồi thì αK1 và K1 + K2 cũng lồi

Từ đó cũng có w(A+B) ⊂ w(A) + w(B) (1) Hơn nữa, nếu y ∈ B và ( )

1

A w x a x

n i i

i x y a

y x

Từ đó w(A) + w(B) ⊂ w(w(A)+B)

Nh− vậy w(A) + w(B) ⊂ w(w(A)+B) ⊂ w(w(A+B)) = w(A+B)

Kết hợp với (1) suy ra w(A+B) =w(A) + w(B)

Để chứng minh ii, chú ý rằng w ( A)đóng và chứa w(A) suy ra )

(

)

(A w A

w ⊂ (2) Theo định lý 1 bao đóng của tập lồi là lồi, nh− vậy tập w ( A) lồi và chứa

A, do đó w(A)⊃w(A), kết hợp với (2) có w(A)=w(A)

Iii, suy từ i, và ii,

Từ i, và bổ đề 1 suy ra w(A)+w(B) là tập lồi, đóng, nh− thế

)()()

i x a x

a , )

( A

w

x i∈ hay x i∈w (B) , chẳng hạn x i∈w ( A) vì w ( A) lồi nên

)(

)

w

x∈ ⊂ ∪

−+

−+

−

2 1

2 1

2 1

1 2

1

)1(

)1()

1()

1

a b ba

a b p

a b ba

ba a

−

−

−+

−

−+

−

−

−

−+

2 1

2 1

2 1

1 2

1

)1)(

1()1(

)1)(

1()

1)(

1()1(

)1()

1)(

1(

)

1

a b a

b

a b q

a b a

b

a b a

b a

Vì w ( A) là tập con đóng của không gian đủ X nên cũng đủ Theo định

lý, để chứng minh w ( A) song compac ta chứng minh w ( A) hoàn toàn giới nội

Cho ε > 0 Vì A hoàn toàn giới nội nên tồn tại tập con hữu hạn

a

Cho V là hàm, ánh xạ A vào {1,2, ,n}, nh− thế nếu x ∈ A thì

1

) (

y V

i z a y z a

)2,

0,:

1 1

n i i i

n i i

i z a a a

k k K

=

→ n

i i i n

n z z a z a

a

1 1

1, , ; , , )(

m

k k

S

K ⊂ ) Nh−ng khi đó w(A)⊂S({k1, ,k m},ε)

Bổ đề 4

Nếu phiếm hàm tuyến tính tách hai tập hợp, một từ trong các tập hợp

đó chứa điểm trong thì phiếm hàm đó liên tục

Chứng minh

Cho X là không gian tôpô tuyến tính và A1,A2⊂ X

Xét phiếm hàm tuyến tính h tách A1 và A2, p là điểm trong của A1 Nếu f

và g là phần thực và ảo của h thì g(X) = -f(ix) và nh− vậy để chứng minh h liên tục chỉ cần chứng minh f liên tục

Vì phiếm hàm tuyến tính h tách A1,A2 nên tồn tại c :

Reh(A2) ≥ c; Reh(A1) ≤ c ⇒f(x) ≤ c với mọi x ∈ A1

Cho p là điểm trong của A1, nghĩa là có một lân cận của p nằm trọn trong A1, chẳng hạn S(p,δ) ⊂ A1∀ x∈ S(p,δ) ⇒ x ∈ A1⇒ f(x) ≤ c nh− vậy f(x)

bị chặn bởi số c trong lân cận nói trên của p, f tuyến tính nên liên tục tại p Vì phiếm hàm tuyến tính liên tục tại một điểm cũng liên tục tại mọi điểm nên bổ

đề đ−ợc chứng minh

2.3 Định lý 3( Tách tập lồi )

Bất kỳ hai tập hợp lồi không giao nhau của không gian tôpô tuyến tính, một từ chúng chứa điểm trong, có thể tách bởi phiếm hàm tuyến tính liên tục khác 0 nào đó

Định lý này suy trực tiếp từ định lý tách tập lồi trong không gian tuyến tính và bổ đề 4

∃α∈ [0,1]: ∀x,y ∈ X, d(Ax,Ay) ≤ αd(x,y)

ánh xạ A đ−a không gian mêtric (X,d) vào không gian mêtric (Y,d’)

đ−ợc gọi là liên tục tại x0 nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0: ∀ x ∈ X: d(x, x0) < δ

⇒ d’(A(x), A(x0) < ε

ánh xạ liên tục tại ∀x0∈ X đ−ợc gọi là liên tục trên X

Rõ ràng nếu A liên tục tại x0 và xn→ x0 thì Axn → Ax0 Hiển nhiên mọi

ánh xạ co đều liên tục

Ta nói x ∈ X là điểm bất động của ánh xạ A nếu A(x)=x

Kí hiệu x ∈ Fix(A) nếu A(x) = x

1.2 Định lý (Banach)

Mọi ánh xạ co trong không gian mêtric đủ có một điểm bất động duy nhất Chứng minh

Xuất phát từ x0∈ X bất kỳ, k nh−ng cố định ta xây dựng dãy lặp

xn+1 = A(xn) ( n ≥ 0) Sử dụng điều kiện co ta có :

Do A liên tục nên qua giới hạn trong đẳng thức xn+1 = A(xn) ta có x* = A(x*) hay x* ∈ Fix(A)

Giả sử x*, y*∈ Fix(A) thì 0 ≤ d(x*,y*) = d(A(x*),A(y*)) ≤αd(x*,y*)

Đặt S : = S(x0,r) vì (S, d) là không gian mêtric đủ ( do không gian (X,d)

đầy đủ) nên áp dụng nguyên lý Banach ta chỉ cần kiểm tra A : S → S

Thật vậy ∀ x ∈ S : d(A(x), x0) ≤ d(A(x),A(x0)) + d(A(x0), x0)

≤αr + (1- α)r = r

1.4 Ví dụ

Xét bài toán Cauchy

x = f(t,x); x(0) = x0 ; 0 ≤ t ≤ a (1) Trong đó f(t,x) là hàm liên tục theo biến t ∈[o,a] thoả mãn điều kiện Lipschitz theo biến x ( đều theo t)

Để chứng minh (X,d) cũng là không gian đủ trước hết ta thấy

Nếu một dãy {xn} là d - cơ bản ( tức d(xn,xm) → 0 khi n, m →∞ thì từ (2)

⇒ {xn} là d0 - cơ bản

Do (X,d0) đầy đủ nên tìm được x ∈ X để d0(xn,x) → 0 ( n →∞)

Từ (2) suy ra d(xn,x) → 0 như vậy (X,d) cũng là không gian mêtric đủ

⇒ Bài toán (1) tương đương với phương trình tích phân sau

x(t) = x0 + ∫t f s x s ds

0

))(,

a, Vì d0(A(x),A(y)) =

a

t≤

≤ 0

max e-Lt ∫t f s x s ư f s y s ds

0

)]

(,())(,(

max e-Lt∫t x s ưy s ds

0

)()(

= L

a

t≤

≤ 0max e-Lt∫t Ls ưLs ư

ds s y s x e e

0

)()(

≤ L d(x,y) {

a

t≤

≤ 0max e-Lt∫t ưLs

ds e

0

} = (1 – e-La)d(x,y)

Suy ra mọi a > 0 ánh xạ A co trong không gian (X,d) theo định lý và bài toán (3) suy ra bài toán (1) có nghiệm trên [o,a] bất kỳ

2 Điểm bất động của ánh xạ không giãn

Định nghĩa

Cho (X,ρ), ( Z,d) là các không gian mêtric

ánh xạ A: X → Z gọi là ánh xạ không giãn nếu (∀ x, y ∈ X) d(Ax, Ay) ≤ ρ(x,y)

i i

x

B là hình cầu đóng đơn vị trong l2 và f: B → B cho bởi công thức

f(x) = ( 1ư x 2,x1,x2, ) ánh xạ f liên tục nhưng không có điểm bất động Thật vậy

Nếu điểm x = (x1,x2, ) ∈ B là điểm bất động của ánh xạ f thì f(x) = x

⇒ f(x) = x vì f (x) = 1 nên x =1 vậy f(x) = ( 1ư1=0,x1,x2, )

= x = (x1,x2,x3, )

mâu thuẫn với x =1

Sau đây là một nguyên lý mở rộng của nguyên lý Brouwer ra tập lồi

đóng trong không gian Bannach

Chứng minh định lý dựa vào ba bổ đề sau

Bổ đề 1

Nếu {An} các toán tử hoàn toàn liên tục trên tập M trong không gian Bannach, {An} hội tụ đều trên đó đến toán tử A0 thì A0 cũng hoàn toàn liên tục trên M

Chứng minh

Trước tiên chứng minh tính liên tục của toán tử A0 trên M

Giả sử {xn} ⊂ M hội tụ đến x0∈ M Ta có

Khi đó với mỗi m ≥ m0 có A0x m ư A0x0 < ε tức là toán tử A0 liên hợp

Để chứng minh tính compac của toán tử A0 ta chứng minh tập A0(M) compac tương đối

Với ε > 0 cho trước chọn n0 sao cho ∀x ∈ M, A n x ư x A0 <ε

0

điều đó có thể làm được vì dãy toán tử {An} hội tụ đến A0

Đặt N = ( )

0 M

A n Tập N là compac tương đối và là ε - lưới đối với tập

A0(M), từ đó suy ra A0(M) là compac tương đối

Vậy A0 là toán tử hoàn toàn liên tục

Bổ đề 2

Mọi toán tử A hoàn toàn liên tục trên tập M là giới hạn đều trên tập đó của duy {Ak} các toán tử hữu hạn chiều liên tục ( ánh xạ vào không gian con hữu hạn chiều của không gian E)

(

1 , , , k

m k

k

k

y y

y , } đối với tập A(M), lưới đó tạo thành bởi các điểm thuộc A(M), xác định trên A(M) toán tử pk bằng cách đặt với y ∈ A(M)

k i i

k i K i

y

y y

1

) ( 1

) ( ) (

)(

)(

ki k i k

i k

k i

y y Khi

y y Khi y

y y

ε

εε

à

) (

) ( )

( )

(

0)

à cũng là hàm số liên tục của y

1

) (

M A y y

k

m i

i

k i

m i

k i k i m

i

k i

m i

k i k i

k

k k

y

y y y

y y y

y p

à

àà

) ( ) (

1

) ( 1

) ( ) (

)(

)()

(

)()

i

k i

m i

K i

k k

y

y

εà

) ( 1

) (

)(

)(

Vì nếu đối với một i nào đó ta có k k

i

y

yư ( ) ≥ε thì hệ số tương ứng 0

)(

K là tập compac tương đối

Chứng minh

Theo bổ đề 1 toán tử A0 hoàn toàn liên tục Vì {An} hội tụ đến toán tử

A0 nên với ε > 0 tuỳ ý và y ∈ Kn tuỳ ý khi n ≥ n0(ε), tìm được u ∈ K0 sao cho

K

=thì kết quả rõ ràng

Nếu y ∈ Kn với n > n0 thì theo chứng minh trên tồn tại u ∈ K0 sao cho

Theo chú ý sau bổ đề 2 và do S lồi nên Anx ∈ S với x ∈ S tuỳ ý

Giả sử En là không gian con hữu hạn chiều chứa An(S) Xét toán tử Antrên tập Sn = S ∩ En của không gian En Rõ ràng Sn cũng là tập lồi đóng và

An(S) ⊂ S,

Vậy toán tử An xét trên không gian hữu hạn chiều En, ánh xạ tập lồi

đóng Sn của không gian đó vào chính nó, vì thế theo nguyên lý Brouwer,

n

n S A

Theo bổ đề 3 có S là tập compac tương đối Vậy từ {x~ n} có thể rút ra

được dãy con {xn

k} hội tụ đến x0

Ta chứng minh x0 là điểm bất động của A Ta có

0 0

0

0 x Ax Ax Ax A x A x x

Ax

k k k k k

2.3 Định lý (Peano)

Cho f(t,x) liên tục đối với hai biến số trong miền tưt0 ≤a, xưx0 ≤b

và β là giá trị lớn nhất của f ( x t, ) trong miền đó

Phương trình (1) cùng với điều kiện ban đầu (2) tương đương với phương trình tích phân

x(t) = x0 + ∫t

t

d x f

0

)(,(τ τ τ (3)

Xét toán tử A xác định bởi đẳng thức Ax = x0 + ∫t

t

d x f

0

)(,(τ τ τ trên hình

cầu xưx0 ≤b của không gian C[t0 ưh,t0 +h]

Ta chứng minh toán tử A hoàn toàn liên tục trên hình cầu đó

Trước hết, nếu {xn(t)} thuộc hình cầu B = {x: xưx0 ≤b hội tụ đến x(t) thì x(t) ∈ B và do tính liên tục của f(t,x) có f(t,xn(t)) → f(t,x(t)) đến trên

[t0 - h, t0 +h]

Từ đó ta có thể qua giới hạn dưới dấu tích phân nên Axn→ Ax, tức toán

tử A liên tục trên hình cầu B

Hơn nữa ∀ x ∈ B có Ax(t)≤ x0 + ∫t

t

d x f

0

)(,(τ τ τ ≤ x0 +βh (4)

0

)(,(τ τ τ ≤β(t2 ưt1) (5)

Từ (4) và (5) theo định lý Arzela – Ascoli có toán tử A biến hình cầu B thành tập compac tương đối Vậy A là toán tử hoàn toàn liên tục

Cuối cùng ta chứng minh toán tử A biến B thành chính nó

Thật vậy Ax(t)ưx0 = ∫

t

d x f

0

)(,(τ τ τ ≤ h< b =b

ββ

Vậy A thoả mãn tất cả các điều kiện của định lý Schauder, do đó tồn tại

điểm bất động của toán tử A, tức là tồn tại x ∈ C[t0 ưh,t0 +h] sao cho

x(t) = x0 + ∫t

t

d x f

0

)(,(τ τ τ Đẳng thức này tương đương

))(,()(

x t x

t x t f dt

t dx

Định lý Peano được chứng minh

Chú ý: Khi chứng minh định lý Peano ta đã áp dụng nguyên lý Schauder thiết lập sự tồn tại nghiệm phương trình tích phân (3) là phương trình tuyến tính Nguyên lý này cho phép thiết lập sự tồn tại nghiệm của các phương trình tích phân không tuyến tính phức tạp hơn

1,1,,

,0)

22

2 2

2 2

2

2 = + ư ư ≤ ưε ⇒ + ≤ ư ư ưε

x