Khóa luận tốt nghiệp toán Một số phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân và áp dụng Maple trong tính toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2’KHÒATOÁN’ HÀ NỘI - 2014 NGUYỄN THÀNH ĐẠT MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ ÁP DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TOÁN KHÓA LUÂN TỐT NGHIÊP ĐA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

’KHÒATOÁN’

HÀ NỘI - 2014

NGUYỄN THÀNH ĐẠT

MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ

ÁP DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TOÁN

KHÓA LUÂN TỐT NGHIÊP ĐAI HOC

Chuyên ngành: Giải tích

NGUYỄN THÀNH ĐẠT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

’KHÒATOÁN’

HÀ NỘI - 2014

MỘT SÓ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ

ÁP DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS KHUẤT VĂN NINH

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy cô giáo đã quan tâm, dìu dắtchúng em trưởng thành như ngày hôm nay Trong suốt quá trình học tập tại khoaToán - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 em đã tiếp thu được nhiều tri thức, kinhnghiệm, phương pháp học tập và được làm quen với nghiên cứu khoa học Đó làmột hành trang cần thiết cho em bước vào đời

Em xin gửi lời cám ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS KhuấtVăn Ninh - người đã giúp đỡ và hướng dẫn tận tình trong suốt thời gian qua để em

có thể hoàn thành được khóa luận này Thầy là một tấm gương về sự nghiêm túctrong công việc, hiểu biết về toán học và sự đam mê nghiên cứu khoa học Nhờ đó

em đã có ý thức và trách nhiệm để hoàn thành khóa luận của mình

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thành Đạt

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận là quá trình nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh

Các kết quả có trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, khôngtrùng với kết quả của các tác gỉả khác

Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo tài liệu của một số tác giả đã nêu ừong mục tài liệu tham khảo

Sinh viên

Nguyễn Thành Đạt

MỤC LỤC

Trang

Lòi nói đầu 4

Chương 1: Kiến thức bổ trợ 1.1 Không gian metric 5

1.2 Không gian định chuẩn 6

1.3 Nguyên lí ánh xạ co 7

1.4 Không gian c[ữib] 9

1.5 Không gian Lp[a,b] 10

1.6 Phương trình toán tử tích phân 11

Chưong 2: Một số phưong pháp giải gần đúng phương trình tích phân 2.1 Phương pháp càu phương 13

2.1.1 Phương pháp giải 13

2.1.2 Ví dụ 15 2.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 20

2.2.1 Phương pháp giải 21

LỜI CAM ĐOAN

2.2.2 Ví dụ 29

Chương 3: ứng dụng Maple vào giải một sổ phương trình tích phân

3.1 Phương pháp càu phương 38

3.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 45

Kết luân 49

Tài liệu tham khảo 50

LỜI NÓI ĐẦU

Cùng với sự phát triển nội tại của toán học và các ngành khoa học khác,toán học chia thảnh toán học lý thuyết và toán học ứng dụng Trong đó, Giải tích

số là một môn học quan trọng ừong toán học ứng dụng, môn học này thâm nhậpsâu vào hầu hết các lĩnh vực của khoa học công nghệ, kĩ thuật và kinh tế

Rất nhiều bài toán vật lý thường được giải bằng phương pháp phương trình

vi phân đều có thể giải một cách hiệu quả hơn bằng cách sử dụng phương trìnhtích phân Những bài toán như vậy xuất hiện rất nhiều trong những lĩnh vực ứngdụng và những phương pháp được sử dụng trong khóa luận này sẽ rất hữu íchtrong toán học ứng dụng, vật lý toán và cơ lý thuyết

Được sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh cùngvới niềm yêu thích bộ môn “Giải tích số”, em đã lựa chọn đề tài cho khóa luận tốtnghiệp của em là:

“ Một sổ phương pháp giải gần đúng phương trình tích phân và áp dụng Maple

5

-Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi là không gian metric một tập hợp X =£0 cùng với một

1) d ( x , y) > 0, d ( x , j) = 0 X = y , v ớ i m ọ i x , y g X ;

2) d(x,y) = d(y, X), với mọi x,y G X;

3) d(x,y)<d(x,z)+d(z,y), vớimọi x,y,zeX;

Ánh xạ d được gọi là metric trên X số d(x,y)đuợc gọi là khoảng cách giữa hai điểm X và y Các phần tử của X gọi là các điểm Các tiên đề 1), 2),

3) được gọi là hệ tiên đề metric

Không gian metric ký hiệu là: M = (X,d).

Định nghĩa 1.1.2 Dãy điểm x n , n = 1,2, trong không gian metrỉc M =(X,d) gọi

là hội tụ tới điểm X ữ <=x khỉ n—> 00 , nếu

(Vs>0)(3n 0 gN n 0 ) d(x n ,x 0 )< s

Kỉ hiệu: li mx n - x 0 hay X JC 0 khi n—> 00.

n->00

Điểm xữ còn gọi là giới hạn của dãy (*„) trong không gian M.

là dãy cơ bản trong M nếu

(Vf>0)(3n 0 eN I>n 0 ) d{x n ,x m )<s Nói cách khác, ta có

Um d(x n ,x m ) = 0.

n,m—>00

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 4 Một không gian metrìc M =(X,d) gọi là không gian

đầy (hay đủ) nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ tới một phần tử trong X.

1.2 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.2.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tỉnh định chuẩn) là không gian tuyến tỉnh X trên trường p (P là trường sổ thực M hoặc trường sổ phức c) cùng với một ánh xạ từ X vào tập sổ thực M., kỉ hiệu

là I • I và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau:

1) | | j f | | > 0 v ớ i m ọ i X G X ;

2) 1*1 = 0 o x = ỡ (0 là kí hiệu phần tử không của X);

4) ||x +j|| <||x|| + ||j|| với mọi x,y gX;

Số 1*1 gọi là chuẩn của vector jc; Kí hiệu không gian định chuẩn là X\ Các tiên

đề 1), 2), 3), 4) là hệ tiên đề chuẩn

Định lí 1.2.1 Cho X là một không gian định chuẩn Với mọi X, y e X, đặt

d(x,y) = \\x-y\\

Khi đó d là một metric ừên X.

• Không gian Banach

Định nghĩa 1.2.3 Dãy điểm (x n ) trong không gian định chuẩn X gọi là một dãy

cơ bản nếu

n,m—>cc 11

Đ ị n h n g h ĩ a 1 2 4 Giả sử không gian định chuẩn X là một không gian

metric đầy đủ (với khoảng cách d(x, y) = ||x — yll^ Khi đó X là một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.

• Toán tử tuyến tính bị chặn

Định nghĩa 1.2.5 Cho hai không gian tuyến tỉnh X và Y trên trường p (P là trường số thực K hoặc trường số phức c) A là ánh xạ tuyến tỉnh từ không gian X vào không gian Y nếu thỏa mãn:

1) AỤt + y) = Ax + Ay với mọi X, y e X;

2) Aax - aAx với mọi x&X,aeP;

A cũng được gọi là toán tử tuyến tính Khi đó, nếu A chỉ thỏa mãn 1) thì A

được gọi là toán tử cộng tính, nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A được gọi là toán tử

thuần nhất

Khi Y = p thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến tính.

Định nghĩa 1.2.6 Cho không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyến tỉnh A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng sổ c > 0 sao cho

d 2 (Ax, Ax') < adx (-X, y), \/x,x' e X.

Định lí 1.3.1 (Nguyên lí Banach về ánh xạ co)

Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metrỉc đầy M = (X, d) vào chỉnh nó đều tồn tại duy nhất phần tử X* e X sao cho Ax* = X* Phần tử X* được gọi là điểm bất động của ánh xạ co A.

Chứng minh

Lấy một điểm bất kì Jt 0 e X, đặt x n = Ax n _ x , n = 1,2, thì

d(x 2 x 1 ) = d(Ax 1 ,Ax 0 ) < adi^Xo) < ad(Ax 0 ,x 0 )

d(x 3 x 2 ) = d(Ax 2 ,Ax l ) < ad(x 2 ,x^) <

a 2 d(Ax 0 ,x0 )

8

-d ( x n + i, x n) = d(Ax n ,Ax n _j) < adix^x^) < a n d(Ax 0 ,x 0) Từ đó

suy ra với VneN N ta có:

p~ l

d( x n +P ’ x n) ^ (Wl’Vi)

7 = 0

<^а п+ Ч(Ах 0 ,Ах 0 ) j=0

Điều này chứng tỏ d(Ax*,x*) - 0 hay Ax - X

Giả sử tồn tại * ^ X thỏa mãn * 4v* = y* thì ta có:

A v ì < a d ( x \ y )

=> ạ-a)d(x,y)<0 => d(jc*,/) = 0

(do 1 - a > 0) * *

Như vậy với mỗi t cố định thuộc [a,b] thì {*„(í)}°°=1 là dãy cơ bản trong M

Vì M là một không gian đầy nên dãy {*„(0}°°=1 hội tụ trong M

Đặt x(t) = Um^ (í) cho t thayđổi ừên [a,b] thì ta có hàm số xịt) xác đinh

ữên [a,b].

Từ (1.2) cho m —» 00 ta có:

ì (yt eĩa,b])\x n (t)-x(t)\< £

Ị|x(í)|

Hay max be, (f)-jc(f) \<£.

a<t<b " 1

Tức là dãy {*„(*)} hội tụ đều tới xịt).

Vậy xịt) liên tục ừên C[a b], x(t) G C[a b] và {*„(í)}”=1 hội tụ tới x(t) ữong C[a b] Nói cách khác C[a b] là không gian Banach với chuẩn (1.1). □

1.5.Không gian Lp [a,b]

Giả sử E là một tập nào đấy, F là một ơ - đại số các tập con của E, ụ là một độ đo trên F Ta kí hiệu Lp [E,fu] là tập tất cả các hàm xịt) đo được theo

độ đo ỊX trên tập E sao cho

Ị\x(t)\ P dju < +00

E

Tập Lp[E,fỉ] là không gian tuyến tính trên trường số thực к với các phép toán

thông thường cộng hai hàm số và nhân một số thực với hàm số

Thật vậy, với mọi xịt), yịt) - Lp[E,ỊĨ\ ta có:

Dễ dàng kiểm tra được hai phép toán trên thỏa mãn hệ tiên đề tuyến tính nên

không gian Lp [E, ju] trở thảnh không gian tuyến tính thực.

Với mỗi hàm số x(t) G Lp [E,ỊŨ\ ta đặt

- 1 1 -

Dễ dàng kiểm tra công thức (1.3) thỏa mãn hệ tiên đề chuẩn Do đó, Lp

[E, ju] trở thành không gian định chuẩn với chuẩn (1.3).

Nếu E = [a,b] và/7 = 2 thì ta có không gian L^E, fj\.

nếu các tích phân ừong bất đẳng thức (1.5) đều hữu hạn

1.6 Phương trình toán tử tích phân

Cho A là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X vào

chính nó

trong đó / cho trước, / e X, được gọi là phương trình loại I.

- 1 2 -

trong đó, / cho trước, /eX, tham số Ằ thuộc trường số thực R (hoặc trường số

phức c), được gọi là phương trình loại II, đôi khi còn được gọi là phương trìnhFredholm loại II

• Nếu A là toán tử tích phân tuyến tính thì phương trình (1.6), (1.7) là

phương trình tích phân tuyến tính

• Nếu A là toán tử tích phân nhưng không giả thuyết tuyến tính thì

phương trình (1.6), (1.7) là phương trình tích phân phi tuyến tính

Ta thường xét X là không gian C[a b] hoặc L^ạ,b\.

Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN

ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN

2.1 Phương pháp cầu phương

2.1.1 Phương pháp giải

Xét phương trình tích phân tuyến tính dưới dạng Fredholm : tìm hàm X -

Trong đó K, f là các hàm cho trước

Chọn một công thức tính gàn đúng tích phân xác định Công thức này

- 1 3 -

Phụ thuộc vào cách chọn các công thức lấy tích phân (2.3) ta có thể có các hệ

số Aj,tj như sau:

- 1 4 -

Ví dụ 2.1 Giải phương trình sau bằng phương pháp càu phương, sử dụng

công thức Simpson với 2m = 2

- 1 5 -

Với / = / = 0,1,2 ta thay vào (I) ta có hệ phương trình sau:

b

X (tị) + À Ị k (tị, s)x(s)ds = f (tị) i = Q, ,n;

a

Áp dụng công thức simpson vào tính gần đúng tích phân với : í,; '

- x(t;), ta có hệ phương trĩnh đại số tuyến túứi sau:

5 3tan

riV1

Í-"

,3,'5V

- 1 8 -

*3=

—

- 1 9 -

(*)

Ta thay vào (*) vào hệ phương trình (1) ta được hệ phương trình sau:

(3)(4)(5)

- 2 0 -

Kết l u ậ n : Với số điểm chia đoạn [a,bj càng lớn việc giải hệ phương

trình đại sổ tuyến tính càng khó khăn, do vậy việc áp dụng các phần mềm vào lập trình giải toán sẽ đơn giản và thuận tiện hom Ở khóa luận này hướng dẫn lập trình trên phần mềm Maple và ví dụ cho phương pháp này sẽ được trình bày ở chương sau.

2.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp

Trong phần này ta áp dụng nguyên lí ánh xạ co vào việc giải phương trình

tích phân phi tuyến Ta sẽ đi kiểm tra với giá trị Ằ đã cho thì ánh xạ xác định bởi

phương trình tích phân có thỏa mãn điều kiện nguyên lí ánh xạ co hay không.Trường hợp thỏa mãn ta sẽ sử dụng nguyên lí ánh xạ co để tìm nghiệm gần đúngvới nghiệm duy nhất X* (t) thông qua việc xây dựng dãy xấp xỉ xn (t).

( 2 8 )

(2.9)

(2.1 0)

trong đó: Jt0(í) là hàm số liên tục tùy ý

/(í) là hàm số xác định ừên đoạn [a,b].

• Điều kiện Lipschitz

Ta nói rằng trên [a,b] ánh xạ A thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến

X nếu tồn tại L> 0 sao cho với mọi ' ~ *a,b\ ta cỏ bất đẳng thức

Ax-Ax' < L x-x'

< +00) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo X

(a<t,s<b,-cc<x,x l <+oo).

Ngoài ra f(t) e C [aM và \ Ă \ < — 1 —

L{b — a) Khỉ đó phương trình (2.8) có nghiệm duy nhất X* (t) xác định frên đoạn fa,bj

và nghiệm này là giới hạn của dãy xấp xỉ (2.9).

Tốc độ hội tụ được xác định bởi bất đẳng thức

Chứng minh

Đặt X =C [ab] , Tx = Aịt,s,x(s)]ds + f(t).

Xét ánh xạ T: C [aJb] —> C [a b]

x(t) Vx,Xị e C [aJbì , ta

Vậy T là ánh xạ co từ không gian C[a b] vào chính nó nên theo nguyên lí ánh xạ

co, phương trình (2.8) có nghiệm duy nhất x*(í) là giới hạn của dãy xấp xỉ

(2.9)

Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức (2.10)

- 2 4 -

T a chứng minh

rằng:

- 2 5 -

ds

< u Lmax

a<s<b

x 0 ( t)

— x*

(t)

,Vjc

&[

a, b\

T a chứng minh

rằng:

- 2 6 -

( 2 . 11 )

thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo X

Khi đó phương trình (2.11) có nghiệm

duy nhất

X* (t) xác định trên đoạn [a,b] và X* (t) là

giới hạn của dãy x n (t)

t

/(í), n= 1,2,3

a

trong đó, * 0 (í) là hàm số liên tục tùy ỷ trên đoạn [a,b].

- 2 9 -

,^( 5 ) - Ẵ"[í, j,jc(í)]|ííj

a t

< 1^1 |l 1^(5) - x(s)\fỉs

a t

3 0 -

X* và JC* là giới hạn của dãy xấp

xỉ xn (í).

Ta lại có A k (Ax*) = A(A k x*) = Ax* hay Ax* cũng là nghiệm của (2.8)

• Xét trong không gian

Không gian Z^[ứ,Z?] gồm tất cả các hàm số xịt) xác định trên đoạn [a,b]

í/í + 1 —í

Và xữ (t) liên tục tùy ý ừên CRjl]

Ta chọn nghiệm xấp xỉ ban đầu của phương trình (III) là x ữ(0 = leC[_U]

V 2 8 ,

phương trình (IV) có nghiệm duy nhất

*'t) xác định trên [0,1] và nghiệm này là giới hạn của dãy xấp xỉ

- 3 6 -