tương giao hai đồ thị

CHUYÊN LUY N THI T T NGHI P THPT

Môn: TOÁN Chuyên đ : S T NG GIAO

- Các b n s n m v ng ph ng pháp làm v s t ng giao gi a hai đ ng cong

- Giúp các b n làm t t bài t p v d ng này

II KI N TH C C B N

1 Ph ng pháp làm bài

- tìm giao đi m c a m t đ ng cong y = F(x) nói chung (c a l p các hàm đa th c nói riêng)

v i m t đ ng cong y = G(x) nào đó; ph ng pháp chung ta quy v xét s t n t i nghi m c a

ph ng trình

Nhìn chung (1) đ u là các ph ng trình b c cao (có b c ≥ 3) N u có th , các b n tìm m i cách h b c c a (1) Ta luôn s d ng k t qu sau:

N u x = a là m t nghi m đoán đ c c a (1) thì (1) đ a đ c v d ng sau:

(x - a)H(x) = 0 Trong đó ph ng trình H(x) = 0 có b c gi m đi 1 so v i ph ng trình g c (1)

- N u s d ng các k t qu v giá tr l n nh t, nh nh t c a hàm b c 3, ta có k t qu thông d ng sau:

Xét ph ng trình sau:

F(x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0, a ≠ 0 (2)

Khi đó:

1 (2) có 3 nghi m phân bi t khi và ch khi F(x) có c c đ i, c c ti u và

Ymax Ymin < 0

2 (2) có 2 nghi m phân bi t khi và ch khi F(x) có c c đ i, c c ti u và

Ymax Ymin = 0

3 (2) có 1 nghi m khi và ch khi:

- Ho c là F(x) không có c c đ i , c c ti u

- ho c là F(x) có c c đ i, c c ti u và Ymax Ymin > 0

C n nh n m nh r ng v i bài toán ngoài vi c đòi h i tính giao nhau c a các đ ng cong b c ba

v i m t đ ng cong khác có b c không quá ba, ta còn quan tâm đ n tính ch t c a các giao đi m thì k t qu v a d n ra trên ch có th xem nh m t đi u ki n c n Nó ch a đ s c m nh đ gi i hoàn toàn bài toán gi i quy t tr n v n, ta c n s d ng thêm các ki n th c khác

2 S t ng giao hàm đa th c v i tr c Ox

VD1: Cho h đ ng cong ph thu c tham s m:

y = x3 – 3(m+1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x – 4m(m+1)

Tìm m đ đ ng cong c t tr c hoành t i 3 đi m phân bi t có hoành đ > 1

Bài gi i:

ng cong c t tr c hoành t i 3 đi m phân bi t có hoành đ > 1 khi và ch khi ph ng trình x3 – 3(m+1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x – 4m(m+1) = 0 (1)

có 3 nghi m phân bi t > 1

Do x = 2 là nghi m c a (1), nên(1) có th vi t d i d ng sau:

(x - 2)[x2 – 3(m+1)x + 2m(m + 1)] = 0 (2)

(2) có 3 nghi m phân bi t > 1, thì đi u ki n c n và đ là ph ng trình

x2 – 3(m+1)x + 2m(m + 1) = 0 có 2 nghi m phân bi t > 1 và khác 2

Theo đ nh lý đ o v tam th c b c 2, đi u đó x y ra khi:

0

(1) 0

1

2

(2) 0

af

s

f

Δ >

⎧

⎪ >

⎪⎪

⎨

>

⎪

⎪

≠

⎪⎩

<=>

2 2

2

3 ! 2

m m m

⎧ − + >

⎪

⎪ − >

⎨ + >

⎪

⎪

0

⎩

<=>

1 2 1

m m

⎧ >

⎪

⎨

⎪ ≠

⎩

V y các giá tr c n tìm c a m là: 1 1

2< <m và m > 1

Nh n xét:

- nh lý đ o v d u tam th c b c hai nói chung là công c h u hi u đ gi i các bài toán thu c lo i này

- Tuy nhiên trong VD trên (2) có th vi t d i d ng:

(x - 2)(x – 2m)(x – m - 1) = 0

<=> x = 2, x= 2m, x = m + 1

Vì th ta c n có:

2 1, 2 2

1 1; 1 2

m m

> ≠

⎧

⎪ + > + ≠

⎨

⎩

<=>

1 2 1

m m

⎧ >

⎪

⎨

⎪ ≠

⎩

ó là cách gi i tr c ti p không thông qua đ nh lý đ o v d u tam th c b c hai

VD2: Bi n lu n theo m s giao đi m v i tr c hoành c a đ ng cong:

y = x3 – 3x2 + 3(1 – m )x + 3m+1

Bài gi i:

Ta có y’ = 3x2 – 6x + 3(1 –m ) = 3(x2 – 2x +1 –m )

ng cong có c c tr <=> PT: y’ = 3(x2 – 2x +1 –m ) = 0 có 2 nghi m phân bi t

<=> ’ = 1 – (1 – m ) = m > 0 (1)

Ta có nh n xét sau:

Hay: y = 1

ng th c (2) ch ng t r ng: N u(x1, y1) và (x2, y2) là các đi m c c tr c a hàm s thì:

⎧

Bây gi ta bi n lu n s giao đi m c a đ ng cong v i tr c hoành nh sau:

1 ng cong c t tr c hoành t i 1 đi m duy nh t khi:

a Ho c là đ ng cong không có c c đ i, c c ti u

<=> ’≤ 0 <=> m ≤ 0

b Ho c là có c c đ i, c c ti u nh ng y1y2 > 0 i u đó x y ra khi:

1 2

0

0

m

y y

>

⎧

⎨ >

0

m

m x x m m x x m

>

⎧⎪

⎨

⎪⎩

(3) (4)

Do x1, x2 là hai nghi m c a ph ng trình x2 – 2x + 1 – m = 0, nên

x1 + x2 = 2; x1x2 = 1 – m

Thay vào (4) và có:

3

0

1 0

m m

>

⎧⎪

⎨

− + >

⎪⎩ ⇔ 0 < m < 1

K t h p l i ta có: ng cong c t tr c hoành t i m t đi m duy nh t khi m<1

2 ng cong c t tr c hoành t i 2 đi m khi đ ng cong có c c tr và y1y2=0 i u này x y ra khi:

1 2

0

0

m

y y

>

⎧

0

1 0

m m

>

⎧⎪

⎨

− + =

3 T ng t đ ng cong c t tr c hoành t i 3 đi m khi m > 1

VD3: Cho đ ng cong y = x3

– 3x2 +( 2m - 2 )x + m - 3

Tìm m đ đ ng cong c t tr c hoành t i 3 đi m phân bi t có hoành đ x1, x2, x3 tho mãn đi u

ki n: x1< -1 <x2< x3

Bài gi i:

i u ki n c n: Gi s m là giá tr tho mãn yêu c u bài toán Khi đó ta có:

F(x) = x3 – 3x2 +( 2m - 2 )x + m – 3= (x – x1)(x – x2)(x – x3)

Ta gi thi t: x1< -1 <x2< x3 ta suy ra F(-1) > 0

=> -m – 5 > 0

V y m < -5 là đi u ki n c n đ tho mãn đi u ki n đ ra

i u ki n đ : gi s m < -5 Ta có:

F(-1) = -m – 5 > 0 F(0) = m – 3 < 0 (Do m < -5)

Vì lim ( ) ,nên t n t i b<-1 ,sao cho F(b)<0

x

F x

→−∞ = −∞

Vì: lim ( ) , nên t n t i a>0 , sao cho F(a)>0

x

F x

→+∞ = +∞

T tính liên t c c a F(x) và do F(b) < 0; F(-1) > 0; F(0) < 0; F(a) > 0;

nên t n t i x1, x2, x3 tho mãn: x1< -1 <x2< x3 khi và ch khi m < -5

Nh n xét: Ba Vd trên cho ta các cách gi i khác nhau, và đó c ng chính là các cách th ng g p

nh t:

- H b c ph ng trình r i dùng đ nh lý đ o v d u tam th c b c 2

- S d ng v i m i liên h v i giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s

- S d ng các ki n th c khác

ó chính là các l c đ chung nh t đ xét các bài toán v đi m c t đ i v i các đ ng cong đa

th c b c ba

VD4: Cho đ ng cong y = x3

- 3 mx2 + 2m (m - 4)x + 9m2 – m Tìm m đ đ ng cong ch n trên tr c hoành 2 đo n b ng nhau

Bài gi i

i u ki n c n:

Gi s đ ng cong ch n trên tr c hoành hai đo n b ng nhau, t c là đ ng cong c t tr c hoành t i 3 đi m phân bi t A, B, C sao cho: BA = BC

Gi s x1, x2, x3 t ng ng là hoành đ c a A, B, C

Khi đó ta có: x2 - x1 = x3 - x2

=> x3 + x1 = 2x2

=> x1 +x2 + x3 = 3 x2

Vì x1, x2, x3 là 3 nghi m c a ph ng trình b c 3

x3 - 3mx2 + 2m(m - 4)x + 9m2 - m = 0 (1)

nên theo đ nh lý Viet v i (1), và có x1 +x2 + x3 = 3 m

T đó có 3m = 3x2 => x2 = m

Do m là nghi m c a (1), nên thay vào (1) ta có

m3 - 3m3 + 2m2(m - 4) + 9m2 - m = 0

<=> m2 - m = 0

<=> 0

1

m m

=

⎡

⎢ =

⎣

V y đi u ki n c n là: m = 0 ho c m = 1

i u ki n đ :

-N u m = 0 => đ ng cong tr thành y = x3

Rõ ràng y = x3 ch c t tr c hoành t i m t đi m => lo i tr ng h p này

- N u m = 1 => y = x3 - 3x2 - 6x + 8

2

<=> x1 = 1, x2 = -2, x3 = 4

Rõ ràng đ ng cong c t tr c hoành t i ba đi m có hoành đ x1, x2, x3 sao cho:

x2 - x1 = x3 - x2 ,

t c là ch n trên tr c hoành 3 đo n b ng nhau

V y m = 1 là giá tr c a tham s m c n tìm

3 S t ng giao c a hàm phân th c

Các bài toán thu c lo i này th ng có d ng sau: Tìm đi u ki n đ đ ng cong (C) bi u

di n hàm phân th c và m t đ ng (C’) cho tr c c t nhau và hoành đ các giao đi m th a mãn

m t đi u ki n cho tr c nao đó Hãy xét các thí d sau đây:

1

x x x

+ + và đ ng th ng y = -x - 3 c t nhau t i 2

đi m phân bi t đ i x ng v i nhau qua đ ng th ng y = x

Gi i: Xét ph ng trình

2 2 1

x x x

+ + = - x - 3 v i đi u ki n x ≠ −1

ú x2

+ 2x = - x2 - 4x = 3

ú 2x2

+ 6x + 3 = 0 (1)

Rõ ràng (1) có hai nghi m phân bi t (vì Δ'= 3 > 0)

G i M1 (x1, -x1 - 3) và M2 (x2, -x2 - 3) là hai giao đi m c a hai đ ng trên

ng th ng qua M1M2 có h s góc

2 1

1

− − − − − = −

Vì v y, M1M2 n m trên đ ng th ng vuông góc v i y = x

G i I là trung đi m M1M2, thì to đ (x0, y0) c a I là

x0 = 1 2

2

x +x

2 1

1

− − + − − = −

−

Do x1, x2 là hai nghi m c a (1), nên theo đ nh lí Viet, ta có x1 + x2 = - 3

Thay vào (2) ta có: x0 = y0 = 3

2

−

i u đó ch ng t r ng I n m trên đ ng th ng y = x

Nói cách khác, M, N đ i x ng v i nhau qua đ ng th ng y = x ó là đ.pc.m

Thí d 2. Cho y =

2 3 1

x x

+

Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) đi qua M(2, 2

5) sao cho (d) và (C) c t nhau t i hai

đi m phân bi t A và B, sao cho M là trung đi m c a AB

Gi i : Vì y =

2 3 1

x x

+ + là đ ng cong thu n tuý ( ng v ói m t x ch có m t y t ng ng), nên đ ng th ng x = 2 không th c t (C) t i hai đi m phân bi t, cho nên đ ng th ng c n tìm

ph i có d ng y = k(x - 2) + 2

5 (d)

Tr c h t ta tìm k đ (d) và (C) c t nhau t i hai đi m phân bi t Mu n v y xét ph ng trình:

2 3

1

x

x

+

+ = k(x - 2) +

2 5

ú 5(1 - k)x2

+ (5k - 2) + 10k + 13 = 0 (1) ( do x=-1 không ph i là nghi m c a x2 +3 )

(1) có hai nghi m phân bi t ta c n có

(5k - 2)2 + - 20(1- k) (10k + 3)> 0 (2)

Khi đó (1) có hai nghi m phân bi t x1, x2 và hai giao đi m c a (C) v i (d) là: I(x1, k(x1 - 2) + 2

5) và J(x2, k(x2 - 2) +

2 5

Rõ ràng M, I, J cùng n m trên (d), do đó M là trung đi m c a IJ n u nh

2xM = xI + xJ

ú 4 = x1 + x2

ú 4 = 5 2

5( 1)

k k

−

−

ú 20k - 20 = 5k - 2

ú k = 6

Thay (3) vào (2) th y đúng V y k = 6

5là giá tr duy nh t c a tham s m tho mãn yêu

c u đ ra

Thí d 3: Cho y =

1

x x x

+ −

− (C) Tìm m đ (C) c t y = -x + m t i hai đi m phân bi t A và B Ch ng minh r ng khi y A, B thu c cùng 1 nhánh c a đ th (C)

Gi i : y = -x + m c t (C) t i hai đi m phân bi t, đi u ki n là ph ng trình:

1

x x

x

+ −

− = -x + m có hai nghi m phân bi t ≠ 1 Vì x = 1 không ph i là nghi m c a x2

+

x - 1, nên đi u đó x y ra khi ph ng trình

x2 + x - 1 = (x - 1)(-x + m) (1) có hai nghi m phân bi t Ta có th vi t l i (1) d i d ng sau :

f(x) = 2x2 - mx + m - 1 = 0 (2)

ú m < 4 - 2 2 ho c m > 4 + 2 2 (3)

V i đi u ki n (3) ta có:

af(1) = 2 > 0 V y 1 ∉ [x x1, 2], đây x1, x2 là hai nghi m c a (2) i u này ch ng t

r ng c hai giao đi m A, B gi a (C) và y = -x + m n m v cùng m t phía c a đ ng th ng x = 1,

t c là A, B thu c cùng m t nhánh c a đ th c a (C) => đpcm

III C NG C KI N TH C

Bài t p 1: Cho y =

x mx

x m

− (Cm) Tìm m đ Cm c t tr c hoành t i hai đi m phân bi t A, B sao cho các ti p tuy n v i (Cm)

t i A và B vuông góc v i nhau

Gi i : ng cong (Cm) và tr c hoành Ox c t nhau t i hai đi m phân bi t (mà ta s g i là

A, B) khi và ch khi h sau

x mx

x m

− = 0

x ≠m

có hai nghi m phân bi t i u này x y ra khi và ch khi h

f(x) = x2 + mx - 8 = 0 f((m) ≠0

có hai nghi m phân bi t , t c là:

Δ= m2 + 32 > 0 (1)

T (1) suy ra v i m i m, Cm và Ox luôn c t nhau t i hai đi m phân bi t A, B G i x1, x2

t ng ng là hoành đ c a A và B thì x1, x2 là hai nghi m phân bi t c a ph ng trình x2 + mx -

8 = 0 (2)

Ta có y’ =

2

x m

2 2

8 2

m

x m

−

−

Ti p tuy n v i (Cm) t i A, B t ng ng có h s góc là

k1= 1 +

2 2 1

8 2

m

−

−

k2 = 1 +

2 2 2

8 2

m

−

− hai ti p tuy n này vuông góc v i nhau, ta c n có

k1, k2 = - 1 ⇔ 1 + (8 - 2m2)

(x m) (x m)

+

+

2 2

(8 2 )

m

−

⇔ 1 + (8 - 2m2

)

2 2

1 1 1 2

2

x m x m

2 2 2

(8 2 )

m

−

Áp d ng đ nh lý Viet v i (2), ta có

x1 + x2 = - m; x1x2 = - 8, suy ra

2

1

x + x22 = (x1+ x2)2 - 2x1x2 = m2 + 16 ,

(x1 - m) (x2 - m) = x1x2 - m (x1 + x2) + m2 = - 8 + 2m2 .

Thay l i vào trên và có

k1k2 = - 1 ⇔ 1 + (8 - 2m2) 2 2

2 2

16 4 (2 8)

m

+ +

2 2 2

(8 2 ) (2 8)

m m

−

− 2 = -1

⇔ 3 - 2

2

m m

+

−

6

= 0 ⇔ m = ± 40

V y có hai giá tr c n tìm c a tham s m là m = ± 2 10

Bài t p 2: ( i h c, Cao đ ng kh i D n m 2003)

Tìm m đ đ ng th ng y = mx + 2 - 2m c t đ ng cong y = 2 2 4

2

x x x

− t i hai đi m phân

bi t

Bài gi i

ng cong y =

2 2 4 2

x x x

− và y = mx + 2 - m c t t i hai đi m phân bi t khi và ch khi

ph ng trình:

2 2 4

2 2

x x

m m

− m có hai nghi m phân bi t, t c là ph ng trình

x2 - 2x + 4 = (m - 2) (mx + 2 - m)

ú (m - 1) (x - 2)2

= 4 có hai nghi m phân bi t ≠ 2

i u đó x y ra khi và ch khi m - 1 > 0 ú m > 1

Bài t p 3: ( i h c, Cao đ ng kh i A - 2004)

Cho y =

2 3 3 2( 1)

x

− (C) Tìm m đ đ ng th ng y = m c t (C) t i hai đi m A, B sao cho AB = 1

Bài gi i Xét ph ng trình

2 3 3 2( 1)

m x

Do x = 1 không ph i là nghi m c a - x2 + 3x - 3, nên

(1) ú - x2 + 3x - 3 = 2m(x-1)

ú x2

+ (2m -3)x + 3 - 2m = 0 (2)

G i x1, x2 là hai nghi m phân bi t c a (2) có đi u này ta c n có

Δ = (2m - 3)2 - 4(3 - 2m) > 0

ú 4m2

- 4m - 3 > 0 ú m > 3

2

ho c m < - 1

2 (3)

Ta có giao đi m A, B là A (x1, m) B (x2, m)

T đó AB = 1 ú x2−x1 = 1

ú (x2 - x1)2 = 1

ú (x2 + x1)2 - 4x1x2 = 1 (4)

Áp d ng đ nh lí Viet đ i v i (2), thì x1 + x2 = 3 - 2m, x1x2 = 3 - 2m

Thay l i vào (4) ta có:

(3 - 2m)2 - 4 (3 - 2m) = 1

ú m2

- m - 1 = 0

ú m = 1 5

2

± (5)

K t h p (3), (5) suy ra m = 1 5

2

±

V y có hai giá tr c a tham s m tho mãn đ u bài

IV BÀI T P V NHÀ

Bài t p 1 Ch ng minh r ng v i m i m, đ ng th ng y = 1

2x - m luôn c t (c) t i hai đi m phân

bi t A và B Tìm m sao cho AB là nh nh t áp s : nên AB = 10 khi m = -2

x m

− + + + c t đ ng th ng (d) y = x - 1 t i 2 đi m phân bi t

áp s : m < - 6 - 4 2 ho c m > - 6 + 4 2 (vì m ≠ 0)

1

x mx x

+ c t y = m t i 2 đi m phân bi t A, B sao cho

2

− ±

Bài t p 4:Cho đ ng cong y = x3

- x2 + 18mx - 2m Tìm m đ đ ng cong c t tr c hoành t i 3 đi m phân bi t có hoành đ x1, x2,x3 ,sao cho x1 < 0

< x2 < x3 áp s : m < 0

s góc là k Tìm k đ đ ng th ng (d) c t (C) t o 3 đi m phân bi t

3 2

y= x − x −1

Bài t p 6: Cho hàm s :

2 2 4 2

x x y

x

=

− (1) và đ ng th ng (d): y = mx+2-2m Tìm m đ đ ng

th ng (d) c t đ th hàm s (1) t i hai đi m phân bi t

T Toán Trung tâm BDVH Hocmai.vn