Bài tập tương giao hai đồ thị toán 12 (có đáp án)

Bài tập tương giao hai đồ thị toán 12 (có đáp án) Tìm giao điểm hai đồ thị Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị Tìm điều kiện tương giao Bài tập tương giao hai đồ thị toán 12 (có đáp án) Bài tập tương giao hai đồ thị toán 12 (có đáp án) Bài tập tương giao hai đồ thị toán 12 (có đáp án) Tóm tắt kiến thức + Bài tập ví dụ + Bài tập tự luyện

Luyện tập: Đại số 12 – Bài toán tương giao của đồ thị hai hàm số

Tóm tắt kiến thức về bài toán tương giao

Bài tập ví dụ Bài 1 Cho hàm số y = x3

– 3x2 + 2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 2 2 2

2) Biện luận số nghiệm của phương trình

12

o Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x1.

o Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x1 qua Ox

Dựa vào đồ thị ta có:

o m 2: Phương trình vụ nghiệm;

o m 2: Phương trình có 2 nghiệm kộp;

o   2 m 0: Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;

o m0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

2) Tỡm cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh sau cú 2 nghiệm trờn đoạn

2 0;

Giao điểm với trục tung : (0 ;2)

Giao điểm với trục hoành : ( 4/3 ; 0)

ĐTHS nhận giao điểm I(2 ;3) của hai đ-ờng tiệm cận làm tâm đối xứng

2) Gọi M(x;y) (C) và cách đều 2 tiệm cận x = 2 và y = 3

Vậy có 2 điểm thoả mãn đề bài là : M1( 1; 1) và M2(4; 6)

3) Xét ph-ơng trình : sin6x + cos6x = m ( sin4x + cos4x ) (2)

Bài 3 Cho hàm số : 2

1

x y x





 (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)

2) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của m, đường thẳng d: y  x m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm A,B phân biệt Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB

 > 0 , x Dh/số đồng biến trên D và không có cực trị

Các đường tiệm cận: T/c đứng x=1; T/c ngang: y =1

Tâm đối xứng I(1;1)

 BBT

 Đồ thị

2) Phương trình hoành độ giao điểm của d( )C là:

x2mx m  2 0 (1) ; đ/k x1

Vì

2

4 8 0(1) 1 0

m m f



  

 với m,nên p/t (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 với m.Suy

ra d( )C tại hai điểm phân biệt với m

Gọi các giao điểm của d( )C là: A(x A; x A m) ; B(x B; x B m);với x ; A x là các B

2) Xác định m để (C m ) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (C m ) tại D và E vuông góc với nhau.

Hướng dẫn

1) Bạn đọc có thể tự làm

2) PT hoành độ giao điểm x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 x(x2 + 3x + m) = 0  m = 0, f(x) = 0

Đê thỏa mãn yc ta phải có pt f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác 0 và y’(x1).y’(x2) = -1

2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương

Hướng dẫn

Hs đồng biến trên khoảng (;-1) và (1;), nghịch biến trờn (-1;1)

Hs đạt cực đại tại x=-1 và ycđ=3, Hs đạt cực tiểu tại x=1 và yct=-1

 Đồ thị : cắt Oy tại điểm A(0;1)

và đi qua các điểm B(-2;-1), C(2;3)

Đồ thị nhận điểm A(0;1) làm tâm đối xứng

m f

2) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình

Phương trình (3) là phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (D)

Chú ý rằng (C1) giống như đồ thị (C) trong miền   1 t 1

Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau:

  : Phương trình đã cho có 4 nghiệm

o 0 m 1 : Phương trình đã cho có 2 nghiệm

o m0 : Phương trình đã cho có 1 nghiệm

o m < 0 : Phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 7 Cho hàm số 3 2

yx  m x  x m (1) 1) Với m4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

 Sự biến thiên của hàm số

Giới hạn tại vô cực của hàm số

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)

Hàm số đạt cực đại tại x=1 =>ycđ=2

Hàm số đạt cực tiểu tại x=3=>yct=-2

 Đồ thị

Giao của đồ thị hàm số và Ox: y=0=>x=2;x=2 3

Giao của đồ thị hàm số và Oy: x=0=>y=-2

Đồ thị hàm số nhận điểm I(2;0) làm tâm đối xứng

3 312

m m

2 2

4

m m





 có đồ thị (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Tìm m (m ) để đường thẳng y x mcắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB4







 Tập xác định: D \{1}

 Sự biến thiên của hàm số

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số Tiệm cận của đồ thị hàm số

12

 Đồ thị

Giao của đồ thị hàm số và Ox: y=0=>x=1/2

Giao của đồ thị hàm số và Oy: x=0=>y=1

đồ thị hàm số nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng

2) Hoành độ giao điểm của đường thẳng y=x+m (d) và đồ thị (C) là nghiệm của phương trình

2) Tìm m ( m ) để phương trình m x( 33x2) 1 có 3 nghiệm thực phân biệt

Hướng dẫn

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số yx33x2

 Tập xác định: D

 Sự biến thiên của hàm số

Giới hạn tại vô cực của hàm số

3 2lim lim ( 3 2) lim (1 )

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-;-1) và (1;+ )

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1)

Hàm số đạt cực đại tại x=-1 =>ycđ=4

Hàm số đạt cực tiểu tại x=1=>yct=0

 Đồ thị

Giao của đồ thị hàm số và Ox: y=0=>x=1;x=-2

Giao của đồ thị hàm số và Oy: x=0=>y=2

Thêm điểm x=2=>y=2

Đồ thị hàm số nhận điểm I(0;2) làm tâm đối xứng

2) Tìm m (m )để phương trình m x( 33x2) 1 (1) có 3 nghiệm thực phân biệt

m m

2) Chứng tỏ rằng với mọi giá trị khác 0 của m, đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt A, B, C trong đó B, C có hoành độ phụ thuộc tham số m Tìm giá trị của m để các tiếp tuyến tại B, C song song với nhau

Hướng dẫn

1) y x3(m1)x2(m1)x1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

00

'

x

x y

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;0 và 

51

;0,2

51

U làm tâm đối xứng

2) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đú cho với trục hoành là nghiệm của phương trỡnh: x3(m1)x2(m1)x10

10

)1)(

1(

2 2

mx x

x mx

x x

CMinh m0 phương trỡnh (2) luụn cú hai nghiệm phõn biệt khỏc 1

 phương trỡnh (1) cú ba nghiệm phõn biệt

 m0 đồ thị hàm số đú cho luụn cắt trục Ox tại 3 điểm phõn biệt là: A(1, 0); B(x1, 0); C(x2, 0) với x1, x2 là nghiệm của phương trỡnh (2)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2) Chứng minh đ-ờng thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,

B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất

;2limlim

x x

x x

y y

y y

Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = -2 và một tiệm cận ngang là y = 2

D x x



)2(

3

Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (;2) và (2;)

 Bảng biến thiờn

 Đồ thị:

Đồ thị cắt các trục Oy tại điểm (0;

2

1) và cắt trục Ox tại điểm(

22

1

2

2

m x

m x

x m x x

x

Do (1) cóm210 va(2)2(4m).(2)12m30m

nên đ-ờng thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B

Ta có yA = m – xA; yB = m – xB nên AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(m2 + 12) suy ra

AB ngắn nhất  AB2 nhỏ nhất  m = 0 Khi đó AB 24

Bài tập tự luyện