Một số biện pháp khắc phục khó khăn của học sinh trong học tập nội dung giới hạn và tính liên tục của hàn số ở lớp 11 trung học phổ thông

LỜI CẢM ƠN Đề tài "Một số biện pháp khắc phục khó khăn của học sinh trong học tập nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT" là một nội dung trong chương trình dạy họ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -

LƯƠNG THANH HOA

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -

LƯƠNG THANH HOA

MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC KHÓ KHĂN CỦA HỌC SINH TRONG HỌC TẬP NỘI DUNG GIỚI HẠN

VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Ở LỚP 11 THPT

Ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 8140111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS Đỗ Thị Trinh

THÁI NGUYÊN - 2019

LỜI CAM ĐOAN Tên tôi là Lương Thanh Hoa, học viên cao học chuyên ngành: Lý luận và

phương pháp dạy học bộ môn Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, khóa học 2017 - 2019 Tôi xin cam đoan: Luận văn này là công trình nghiên

cứu thực sự của cá nhân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Đỗ Thị Trinh

Các số liệu có nguồn gốc rõ ràng, tuân thủ đúng nguyên tắc và kết quả trình bày trong luận văn được thu thập trong quá trình nghiên cứu là trung thực, chưa từng được ai công bố trước đây

Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019

Tác giả luận văn

Lương Thanh Hoa

LỜI CẢM ƠN

Đề tài "Một số biện pháp khắc phục khó khăn của học sinh trong học

tập nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT" là một nội

dung trong chương trình dạy học bộ môn Toán ở bậc trung học phổ thông, và là kết quả của một quá trình nghiên cứu của bản thân tác giả sau một thời gian học tập và nghiên cứu chuyên ngành Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Để có được kết quả này, ngoài sự nỗ lực, cố gắng của bản thân, trong quá trình tiến hành nghiên cứu hoàn thiện đề tài, tôi đã nhận được sự động viên, giúp đỡ, sự hướng dẫn tận tình của các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên và các thầy cô đã trực tiếp giảng dạy, giúp

đỡ cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường

Đặc biệt, tôi xin được bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới TS Đỗ Thị Trinh - Cô giáo đã trực tiếp giúp đỡ, hướng dẫn cho tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và

hoàn thiện bản luận văn này

Dù đã cố gắng nhiều, song vì những lý do khách quan và chủ quan, luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý, chỉ dẫn

và giúp đỡ của quý thầy cô giáo, và các bạn đồng nghiệp

Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019

Tác giả Lương Thanh Hoa

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VÀ GIẢI THÍCH THUẬT NGỮ iv

DANH MỤC CÁC BẢNG, HÌNH v

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Giả thuyết khoa học 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phạm vi nghiên cứu 3

6 Phương pháp nghiên cứu 3

7 Cấu trúc của luận văn 3

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Cơ sở lý luận 4

1.1.1 Định hướng đổi mới PPDH 4

1.1.2 Cơ sở lý luận 8

1.2 Cơ sở thực tiễn 30

1.2.1 Nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số trong phân phối chương trình môn Toán ở trường THPT 30

1.2.2 Mục tiêu của dạy học Giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT 31

1.2.3 Khảo sát thực trạng việc dạy và học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số ở trường phổ thông 32

1.2.4 Một số điều cần lưu ý trong dạy học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số 35

1.2.5 Khó khăn và sai lầm mà HS thường gặp phải trong học tập nội dung giới hạn và liên tục của hàm số ở lớp 11 trường THPT 36

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 48

Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC KHÓ KHĂN CỦA HỌC SINH TRONG HỌC TẬP NỘI DUNG GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC

CỦA HÀM SỐ Ở LỚP 11 THPT 49

2.1 Định hướng xây dựng một số biện pháp sư phạm khắc phục khó khăn của HS trong học tập nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số 49

2.2 Một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục khó khăn và sai lầm trong học tập nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số 50

2.2.1 Biện pháp 1: Hình thành biểu tượng các khái niệm trừu tượng trong dạy học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số bằng việc sử dụng các phần mềm hỗ trợ dạy học môn Toán 51

2.2.2 Biện pháp 2: Tăng cường khai thác và sử dụng các phản ví dụ trong dạy học các khái niệm và định lí về giới hạn và tính liên tục của hàm số nhằm mục đích giúp HS tiếp nhận và củng cố nội hàm của mỗi khái niệm trừu tượng, ý nghĩa và điều kiện áp dụng mỗi định lí 57

2.2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện cho HS kỹ năng tìm lời giải theo quy trình của Polya 61

2.2.4 Biện pháp 4: Xây dựng hệ thống bài tập có tính chất phân bậc cho mỗi nội dung cụ thể trong dạy học chuyên đề Giới hạn và tính liên tục của hàm số; với mục đích giúp HS dần dần tiếp nhận và củng cố các khái niệm trừu tượng 67

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 83

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 84

3.1 Mục đích, yêu cầu và nội dung thực nghiệm sư phạm 85

3.1.1 Mục đích, yêu cầu 85

3.1.2 Nội dung và đối tượng thực nghiệm 85

3.2 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 85

3.2.1 Giáo án thực nghiệm (Phụ lục 2) 85

3.2.2.Tiến trình thực nghiệm 85

3.3 Kết quả thực nghiệm sư phạm 87

3.3.1 Đánh giá định tính 87

3.3.2 Đánh giá định lượng 87

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 89

KẾT LUẬN 90

TÀI LIỆU THAM KHẢO 92

PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT VÀ GIẢI THÍCH THUẬT NGỮ

DANH MỤC CÁC BẢNG, HÌNH

Bảng 3.1 87 Hình 3.1 Biểu đồ tỉ lệ điểm kiểm tra sau thực nghiệm 88

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Một trong những mục tiêu của giáo dục mà Đảng ta đã đặt ra trong Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 4 tháng 11 năm 2013 là “Phát triển giáo dục và đào tạo, nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diên năng lực và phẩm chất người học Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội” Để đạt mục tiêu giáo dục như trên, cùng với những thay đổi về nội dung, cần có những đổi mới căn bản về phương pháp giáo dục

Nhu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học cho thấy việc dạy học không chỉ đơn giản là cung cấp tri thức có sẵn mà phải là giúp cho HS có tư duy, khả năng sáng tạo, năng lực tổng hợp chuyển đổi và ứng dụng thông tin vào hoàn cảnh mới để giải quyết các vấn đề đặt ra, thích ứng với những thay đổi trong cuộc sống, có năng lực hợp tác và chuyển đổi năng lực

Một phần rất quan trọng của Toán học là Giải tích, Douglas (1986) đã viết:

“Giải tích là nền tảng của Toán học, Giải tích là con đường, là trung tâm của Toán học, là cơ sở cho việc nghiên cứu của nhiều ngành khoa học và kỹ thuật khác” Trong nội dung Giải tích lớp 11, vai trò của hai chủ đề chính là Giới hạn

và Đạo hàm được nêu rất rõ trong SGK Đại số và Giải tích 11 (nâng cao): “Giới hạn là một trong các vấn đề cơ bản của Giải tích Có thể nói: Không có giới hạn

thì không có Giải tích, hầu hết các khái niệm của Giải tích đều liên quan đến giới hạn” Khi HS tiếp thu các tri thức của Giới hạn và Đạo hàm đã xảy ra quá

trình biến đổi về chất trong nhận thức của HS (vì ta đã biết Đại số đặc trưng bởi

kiểu tư duy “hữu hạn”, “rời rạc”, “tĩnh tại” còn khi học về Giải tích, kiểu tư duy chủ yếu được vận dụng liên quan đến “vô hạn”, “liên tục”, “biến thiên”

Giải tích lớp 11 đóng vai trò hết sức quan trọng trong toán học phổ thông bởi lẽ:

Khái niệm Giới hạn là cơ sở; hàm số liên tục là vật liệu để xây dựng các khái niệm đạo hàm, vi phân và tích phân Đó là những nội dung bao trùm chương trình Giải tích ở THPT

Một số nghiên cứu đã chỉ ra rằng, nhiều HS khi học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số đã gặp khó khăn trong việc hiểu được bản chất của các khái niệm Ngay cả GV có kinh nghiệm cũng gặp không ít những khó khăn trong việc truyền thụ các tri thức này cho HS, khi dạy về các chủ đề Giới hạn, tính liên tục của hàm số Thông thường, GV dạy định nghĩa một cách thoáng qua rồi tập trung vào luyện các bài tập Hậu quả là rất nhiều HS phổ thông sau khi tốt nghiệp vẫn không hiểu được bản chất, nội hàm của các khái niệm về Giới hạn và tính liên tục của hàm số Do đó, làm thế nào để có thể giúp HS hiểu rõ bản chất của mỗi khái niệm là một nhu cầu của thực tiễn

Từ những lí do trên đây, với mong muốn góp phần giúp cho HS và GV khắc phục khó khăn, nâng cao hiệu quả học tập chương trình Giải tích lớp 11, chúng tôi

chọn đề tài nghiên cứu: “Một số biện pháp khắc phục khó khăn của học sinh trong học tập nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu những khó khăn trong việc học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số trong chương trình Giải tích 11, từ đó đề xuất một số biện pháp cụ thể nhằm khắc phục những khó khăn mà HS gặp phải trong học tập nội dung này

3 Giả thuyết khoa học

Nếu đề xuất được các biện pháp khắc phục khó khăn của học sinh trong học tập nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số thì có thể hạn chế sai lầm, phát triển năng lực giải toán và góp phần nâng cao chất lượng học tập môn toán cho HS

ở trường phổ thông

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu nhu cầu và định hướng đổi mới PPDH

- Nghiên cứu lý luận về dạy học có liên quan đến đề tài

- Nghiên cứu nội dung chương trình Giải tích 11

- Khảo sát, điều tra thực trạng việc dạy và học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số trong chương trình Giải tích 11 THPT hiện nay

- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục một số khó khăn mà

HS gặp phải trong học tập nội dung này

- Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá hiệu quả và khả năng thực hiện một số biện pháp cụ thể đã đề xuất trong luận văn

5 Phạm vi nghiên cứu

Nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số trong chương trình Giải tích

11 THPT

6 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Tìm hiểu nhu cầu và định hướng đổi mới PPDH hiện nay

- Nghiên cứu một số tài liệu về lý luận dạy học, phương pháp dạy học môn Toán; các tài liệu có liên quan đến dạy và học nội dung Giới hạn, tính liên tục của hàm trong chương trình môn Giải tích ở trường phổ thông

+ Phương pháp quan sát điều tra

Quan sát, thăm dò thực trạng để tìm hiểu những sai lầm thường gặp ở HS khi giải toán nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số và điều tra theo các hình thức: Dạy thử nghiệm, dự giờ, phỏng vấn trực tiếp và các biện pháp khác

+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Thực nghiệm sư phạm và dùng phương pháp thống kê toán học đánh giá kết quả thực nghiệm nhằm xác định tính hiệu quả và khả năng thực hiện trong thực tiễn các biện pháp nêu ra trong luận văn

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp khắc phục khó khăn của học sinh trong học tập nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Cơ sở lý luận

1.1.1 Định hướng đổi mới PPDH

Đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực cho HS

là yêu cầu tất yếu và cấp bách của Giáo dục Để đáp ứng được những yêu cầu mới của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước, sự thách thức trước nguy cơ tụt hậu trên con đường tiến vào thế kỷ XXI bằng cạnh tranh trí tuệ đang đòi hỏi phải đổi mới Giáo dục, trong đó có việc đổi mới căn bản về phương pháp dạy và học, sớm tiếp cận trình độ giáo dục Phổ thông ở các nước phát triển trong khu vực và trên Thế giới (đây không phải vấn đề riêng của nước ta, mà là vấn đề đang được quan tâm ở mọi quốc gia) nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện thế hệ trẻ, phát triển nguồn nhân lực trong giai đoạn mới, phục vụ các yêu cầu đa dạng của nền Kinh tế - Xã hội Sự phát triển với tốc độ mang tính bùng

nổ của khoa học công nghệ thể hiện qua sự ra đời nhiều thành tựu mới cũng như khả năng ứng dụng chúng vào thực tế cao, rộng và nhanh cũng đòi hỏi phải đổi mới Giáo dục Trong bối cảnh hội nhập giao lưu, HS được tiếp nhận nhiều nguồn thông tin đa dạng, phong phú, từ nhiều mặt của cuộc sống, nên hiểu biết linh hoạt

và thực tế hơn nhiều, so với các thế hệ cùng lứa trước đây mấy chục năm (đặc biệt là HS THPT) Vì vậy, đòi hỏi Giáo dục - Đào tạo phải xác định lại mục tiêu, nội dung, phương pháp, phương tiện, tổ chức, cách đánh giá, theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được xác định trong các tài liệu sau:

- Nghị quyết số 29 - NQ/TW ngày 04/11/2013 Hội nghị Trung ương 8 khóa

XI [17] đưa ra quan điểm chỉ đạo định hướng đổi mới căn bản, toàn diện Giáo dục và đào tạo: “Phát triển giáo dục đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Nhấn mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học Học đi đôi với hành,

lý luận gắn liền với thực tiễn; giáo dục trong nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”

- Luật Giáo dục, điều 28.2, đã ghi: “Phương pháp Giáo dục - Phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng, vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú cho HS” Như vậy, quan điểm chung về hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay (và cũng là một trong những xu thế dạy học hiện đại trên Thế giới), trong đó có phương pháp dạy học môn Toán đã được khẳng định, không còn là vấn đề để tranh luận nữa là giúp cho HS học tập một cách tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Đó là hướng tới học tập trong hoạt động

và bằng hoạt động, tức là cho HS được suy nghĩ nhiều hơn, thảo luận nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn, khi đứng trước một vấn đề của nội dung bài học hay một yêu cầu thực tiễn của cuộc sống Đây chính là tiêu chí, thước đo, đánh giá sự đổi mới phương pháp dạy học Trên tinh thần đó, việc dạy học không chỉ phải thực hiện nhiệm vụ trang bị cho HS, những kiến thức cần thiết về môn dạy, mà điều

có ý nghĩa to lớn còn ở chỗ dần dần hình thành và rèn luyện cho HS tính tích cực, độc lập sáng tạo trong quá trình học tập, để HS có thể chủ động, tự lực, tự đào tạo, tự hoàn thiện tri thức trong hoạt động thực tiễn sau này

Chương trình giáo dục phổ thông bao gồm chương trình tổng thể (khung chương trình) và 27 chương trình môn học, hoạt động giáo dục

Theo Bộ Giáo dục và Đào tạo, chương trình giáo dục phổ thông mới đã quán triệt đầy đủ, nghiêm túc các quan điểm và tinh thần đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêu tại các Nghị quyết của Đảng, Quốc hội và Quyết định của Thủ tướng Chính phủ, thể hiện quyết tâm đổi mới của ngành Giáo dục

Về mục tiêu đổi mới, Chương trình giáo dục phổ thông mới thực hiện yêu cầu của Nghị quyết 29 và Nghị quyết 88 [18]: “Chuyển mạnh quá trình giáo dục

từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học”

Nếu như chương trình hiện hành và các chương trình giáo dục phổ thông trước đây trả lời cho câu hỏi: “Học xong chương trình, học sinh biết được những gì?” thì Chương trình giáo dục phổ thông mới tập trung trả lời cho câu hỏi: “Học xong chương trình, học sinh làm được những gì?”

Trong Chương trình giáo dục phổ thông mới, tổng thời lượng học tập của học sinh phổ thông và thời lượng học tập dành cho mỗi cấp học, lớp học, môn học, hoạt động giáo dục được xác định trên cơ sở kế thừa Chương trình giáo dục phổ thông hiện hành và tham khảo tỉ lệ thời lượng phân bổ cho các môn học, hoạt động giáo dục ở chương trình giáo dục phổ thông của nước ngoài

Theo đó, tổng thời lượng học tập theo Chương trình giáo dục phổ thông mới cụ thể: Tổng thời lượng học tập ở cả 3 cấp học là 8.172 giờ (60 phút/giờ), trong đó:

- Thời lượng học tập ở cấp tiểu học: 2.817,5 giờ

- Thời lượng học tập ở cấp trung học cơ sở: 3.070,5 giờ

- Thời lượng học tập ở cấp trung học phổ thông: 2.284 giờ

Trong khi theo chương trình hiện hành, học sinhtiểu học học 2.353 giờ Chương trình mới là chương trình học 2 buổi/ngày (9 buổi/tuần), tính trung bình học sinh học 1,8 giờ/lớp/buổi học; có điều kiện tổ chức các hoạt động vui chơi, giải trí nhiều hơn Chương trình hiện hành là chương trình học 1 buổi/ngày (5 buổi/tuần), tính trung bình học sinh học 2,7 giờ/lớp/buổi học

Ở trung học cơ sở, theo Chương trình giáo dục phổ thông hiện hành, học sinh học 3.124 giờ Như vậy, thời lượng học ở trung học cơ sở giảm 53,5 giờ

Ở trung học phổ thông, theo Chương trình giáo dục phổ thông hiện hành, học sinh Ban cơ bản học 2.546 giờ; học sinh Ban A, Ban C học 2.599 giờ Như vậy, thời lượng học ở trung học phổ thông giảm mạnh, từ 262 giờ đến 315 giờ Chủ đề “Giới hạn” ở trường phổ thông được trình bày trong chương trình lớp 11 (cơ bản) gồm 14 tiết, phân bố như sau:

Bảng 1.1: Phân phối chương trình của chương “Giới hạn”

Chương IV: Giới hạn (14 tiết)

Giới hạn của dãy số

Trong đó trình bày các nội dung chính như sau:

- Giới hạn của dãy số:

Giới hạn hữu hạn của dãy số (dãy số có giới hạn là 0, dãy số có giới hạn là

số a), một vài giới hạn đặc biệt, định lí về giới hạn hữu hạn, tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Một số định lí cơ bản: định lí về sự liên tục của các hàm đa thức và phân thức, định lí về tính liên tục của tổng hiệu tích thương của hai hàm số tại một điểm, định lí về tính duy nhất nghiệm của hàm số trên một khoảng

1.1.2 Cơ sở lý luận

1.1.2.1 Một số khái niệm cơ bản

- Khái niệm chướng ngại

Khái niệm chướng ngại trong khoa học luận do G.Bachelard đưa vào trong cuốn “Sự hình thành trí tuệ khoa học” (Bachelard,1977) [12]

Để hiểu rõ khái niệm chướng ngại, điều quan trọng là phải phân biệt hai từ

dường như đồng nghĩa trong từ điển, đó là khó khăn và chướng ngại

(Bouazzaoui, 1988) Khi một vấn đề mới được đặt ra, việc giải quyết nó có thể cần hay không cần sự tổ chức lại một lí thuyết hay sự điều chỉnh quan niệm về

một số kiến thức Toán học có liên quan Ta nói rằng có một khó khăn nếu vấn

đề được giải quyết mà không đòi hỏi xem xét lại quan điểm của lí thuyết đang

xét hay của những quan niệm hiện hành Ta nói có một chướng ngại nếu vấn đề

chỉ được giải quyết sau khi đã cấu trúc lại những quan niệm hay thay đổi quan điểm lí thuyết

Ta có thể phân biệt chướng ngại tánh được với chướng ngại không tránh được:

+ Chướng ngại tránh được (còn gọi là chướng ngại sư phạm) liên hệ với sự chuyển hóa sư phạm của tri thức Đó là một kiểu chướng ngại cần được đặc biệt chú ý, bởi vì no nảy sinh do những biện pháp sai lầm về mặt sư phạm Nó có thể tránh được nếu ta thực hiện những biện pháp chuyển hóa sư phạm hợp lí

+ Chướng ngại không tránh đợc liên hệ với sự phát triển tâm lí của đối tượng hoặc sự phát triển lịch sử của khái niệm Tuy không tránh được nhưng chúng có thể được xóa bỏ ở những thời điểm thích hợp bằng cách tổ chức cho người học hoạt động trong những tình huống thích hợp

- Khó khăn của HS trong học tập:

 Khái niệm khó khăn tâm lý

Trong từ điển Anh - Việt thì từ “Hardship” hoặc từ “Difficulty” đều được dùng để chỉ sự khó khăn, sự gay go, sự khắc nghiệt đòi hỏi nhiều nỗ lực để khắc phục

Tuy nhiên, thông thường người ta hay dùng từ “shock” để chỉ sự khó khăn,

sự sốc, sự choáng váng trước một môi trường mới

Từ điển Pháp - Việt thì “Difficulté” chỉ sự khó khăn, sự việc gây trở ngại Theo “Từ điển tiếng Việt căn bản” thì khó khăn nghĩa là sự trở ngại hoặc

sự thiếu thốn

Theo “Từ điển láy tiếng Việt” thì khó khăn nghĩa là có nhiều trở ngại làm mất nhiều công sức

Tập hợp tất cả nghĩa của các từ điển nói trên ta có thể hiểu: khó khăn nghĩa

là những cản trở, trở ngại đòi hỏi nhiều nỗ lực để vượt qua

Khó khăn tâm lý là những thiếu thốn, những biểu hiện tâm lí tiêu cực và những thói quen có ảnh hưởng xấu (gây trở ngại) đến quá trình và kết quả của hoạt động

[11]

Trong cuộc sống hàng ngày, với bất kỳ hoạt động nào mà con người tham gia không phải bao giờ cũng đạt được những mục tiêu như đã đề ra Bởi trong hoạt động, con người có thể gặp rất nhiều khó khăn, trở ngại, thiếu thốn cả về mặt vật chất lẫn tinh thân Đặc biệt, trước một môi trường sống mới, một hoạt động mới, con người chịu ảnh hưởng của các yếu tố tâm lý, sức khỏe, vật chất của bản thân cũng như những điều kiện, áp lực từ môi trường bên ngoài làm cho con người không có điều kiện thích ứng một cách kịp thời, có thể bị choáng, bị sốc Chính những yếu tố này làm cho hoạt động trí tuệ bị lệch hướng hoặc không thể tiếp tục được nữa, kết quả không được như mong muốn Những khó khăn, đặc biệt là khó khăn tâm lý làm xuất hiện biểu hiện tâm lí tiêu cực, gây ra sự choáng váng, chán nản, mệt mỏi làm ảnh hướng xấu đến tâm thế và chất lượng,

hiệu quả công việc, đôi khi gây cho con người sự nhụt trí không thể vượt qua được, có thể ảnh hưởng đến nét nhân cách

Khó khăn tâm lý xuất hiện do nhiều yếu tố khác nhau: Những yếu tố bên ngoài (yếu tố khách quan) và yếu tố bên trong (yếu tố chủ quan)

Những yếu tố bên ngoài được kể đến như là những điều kiện của hoạt động,

đó là môi trường gia đình, nhà trường, xã hội Những yếu tố này ảnh hướng gián tiếp đến hoạt động của con người Tuy nhiên, trong một số trường hợp nào đó,

nó có vị trí hết sức quan trọng đến quá trình và kết quả hoạt động tâm lý của chủ thể hoạt động

Những yếu tố bên trong là: những yếu tố xuất phát từ bản thân mỗi chủ thế khi tiến hành hoạt động như là: sự thiếu hiểu biết, vốn kinh nghiệm còn hạn chế, những thói quen, hành vi không còn phù hợp với môi trường mới, sự chủ quan, việc thực hiện các thao tác không phù hợp với đối tượng, sức khỏe đây

là những yếu tố ảnh hưởng trực tiếp đến quá trình và kết quả của hoạt động chủ thể [11]

 Khái niệm khó khăn tâm lý trong hoạt động học tập

Học tập là hoạt động đặc thù của con người giúp con người giúp con người hình thành và phát triển tâm lí nhân cách Trong quá trình học tập, không phải bao giờ người học cũng tiến hành hoạt động trong những điều kiện thuận lợi và giúp họ dễ dàng mang lại kết quả cao Ngược lại, đôi khi tại một thời điểm hoặc một giai đoạn nào đó hoặc cả cuộc đời của mình, người học chật vật, gian khổ với sự nỗ lực rất cao nhưng kết quả học tập vẫn không như mong đợi Đặc biệt, khi đến môi trường học tập mới mẻ, xa lạ, người học dù ở lứa tuổi nào cũng gặp khó khăn và chưa thể thích ứng ngay được Bởi họ thường quen với suy nghĩ hành động của môi trường cũ Mặt khác, môi trường mưới ấy đôi khi có những yếu tố cản trở sự cố gắng, nỗ lực của học sinh Điều này gây ra ở HS tâm lý lo lắng, sợ hãi đối với việc học, xấu hổ với cha mẹ, thầy cô, bạn bè Khó khăn tâm

lý đã cản trở đến quá trình và kết quả của hoạt động học tập, ảnh hưởng tiêu cực

đến việc hình thành và phát triển những phẩm chất tâm lý cá nhân Chúng tôi cho rằng, khó khăn tâm lý trong học tập là một hiện tượng tâm lý phức tạp cần được nghiên cứu và được định nghĩa như sau: “Khó khăn tâm lý trong hoạt động học tập là những thiếu thốn, những biểu hiện tâm lý tiêu cực và những thói quen làm ảnh hưởng xấu (làm cản trở) đến quá trình và kết quả học tập” [11]

1.1.2.2 Vị trí của khái niệm và yêu cầu của dạy học khái niệm

a Vị trí của dạy học khái niệm

Trong việc dạy học toán, cũng như việc dạy học bất cứ khoa học nào ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắc cho HS một hệ thống khái niệm Đó là cơ sở của toàn bộ kiến thức toán học cho

HS, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức

đã học

b Yêu cầu của dạy học khái niệm

Việc dạy học khái niệm ở trường THPT phải làm cho HS dần đạt được những yêu cầu sau:

- Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm

- Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi một khái niệm cho trước

- Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm

- Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán và ứng dụng vào thực tiễn

- Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm

Các yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau, song vì lí do sư phạm, các yêu cầu trên không phải lúc nào cũng được đặt ra với mức độ như nhau với mọi khái niệm Chẳng hạn, khái niệm về “hướng của véctơ” không được nêu

thành định nghĩa một cách tường minh mà chỉ được diễn tả một cách trực quan dựa vào kinh nghiệm sống của HS Nhưng với các khái niệm “hàm số”, “hàm số chẵn”, “hàm số lẻ”, thì lại yêu cầu HS phải phát biểu được định nghĩa một cách chính xác và vận dụng được khi giải toán [10]

c Những con đường tiếp cận khái niệm

Con đường tiếp cận khái niệm được hiểu là quá trình hoạt động và tư duy dẫn tới một sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa tường minh, nhờ mô tả, nhờ trực giác, ở mức độ nhận biết một đối tượng, một tình huống có thuộc về khái niệm đó hay không

Trong dạy học người ta phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm đó là:

- Con đường qui nạp

- Con đường suy diễn

- Con đường kiến thiết

Sau đây ta sẽ đi sâu vào từng con đường nói trên

 Con đường qui nạp

Theo con đường này, xuất phát từ một số đối tượng riêng lẻ (như vật thật,

mô hình, hình vẽ,…) GV dẫn dắt HS phân tích, so sánh, trừu tượng hoá và khái

quát hoá để tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện ở những trường

hợp cụ thể này, từ đó đi đến một định nghĩa tường minh hay một sự hiểu biết trực giác về khái niệm đó tuỳ theo yêu cầu của chương trình

Cần phải chọn lọc một số lượng thích hợp những hình ảnh, thí dụ cụ thể, trong đó dấu hiệu đặc trưng cho khái niệm được đọng lại nguyên vẹn, còn những thuộc tính khác của những đối tượng thì thay đổi

Qui trình tiếp cận một khái niệm theo con đường qui nạp:

- GV đưa ra những ví dụ cụ thể để HS thấy sự tồn tại hoặc tác dụng của một đối tượng nào đó

- GV dẫn dắt HS phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của các đối tượng đang được xem xét Có thể đưa ra đối chiếu một vài đối tượng không có đủ các đặc điểm đã nêu

- GV gợi mở để HS phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên và đặc điểm đặc trưng của khái niệm

Con đường quy nạp có ưu điểm là thuận lợi cho việc huy động hoạt động tích cực của HS, góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung và đào tạo cho họ nâng cao tính độc lập trong việc đưa ra định nghĩa Tuy nhiên con đường này đòi hỏi tốn nhiều thời gian nên không phải lúc nào cũng có điều kiện thực hiện

Con đường này nên thực hiện khi:

Ví dụ 1.1 Khi dạy về khái niệm giới hạn của dãy số GV có thể dạy như sau:

Cho HS biểu diễn các dãy số sau trên trục số

(1) Dãy  u n với 1

n

u n



(2) Dãy  u n với 1

n n

u n

n





+ Học sinh quan sát các hình biểu diễn và nhận xét xem các dãy số trên có tính chất gì? Nêu lên sự giống nhau và khác nhau, từ đó rút ra tính chất đặc trưng?

+ GV hướng dẫn HS nhận xét: Từ chỉ số nào đó khá lớn của n các dãy (1), (2), (3) gần bằng 0, các số hạng của dãy (4) gần bằng 2, các số hạng của dãy (5)

gần bằng 6, các số hạng của dãy (6) gần bằng 3

2

 Sau khi đã cùng học sinh quan sát và nhận xét, GV hoặc HS có thể đưa ra định nghĩa giới hạn 0 và giới hạn a của dãy số

Qua ví dụ trên, GV đã cho HS tiếp cận theo con đường quy nạp Quá trình này chưa kết thúc khi phát biểu được định nghĩa của khái niệm đó

Con đường suy diễn

Con đường thứ hai là con đường suy diễn, trong đó định nghĩa khái niệm

mới xuất phát từ định nghĩa của khái niệm mà HS đã biết

Qui trình tiếp cận một khái niệm bằng con đường suy diễn:

- Xuất phát từ khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó một

số đặc điểm mà ta quan tâm

- Phát biểu định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa nó bằng một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm để hạn chế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó

- Đưa ra ví dụ minh hoạ cho khái niệm được định nghĩa

Con đường này nên thực hiện khi:

- Trình độ nhận thức của HS đã khá hơn

- Vốn kiến thức đã nhiều lên

- Phát hiện ra một khái niệm làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn

Ví dụ 1.2 Có thể hình thành khái niệm giới hạn của một tổng cho HS theo

con đường suy diễn bằng cách dựa vào giới hạn hữu hạn của hàm số đã được học trước đó như sau:

Sau khi định nghĩa theo con đường này, cần thiết phải lấy ví dụ cụ thể để chứng tỏ rằng khái niệm được định nghĩa như vậy thực sự tồn tại

Ví dụ 1.3 Khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm: Cho khoảng K

chứa điểm x và hàm số 0 y f x  xác định trên K hoặc K\ x0

Ta nói hàm số y f x  có giới hạn là L khi x dần đến x nếu với dãy số 0

Con đường thường được sử dụng khi phát hiện ra một khái niệm loại làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn

Con đường kiến thiết

Con đường này mang cả những yếu tố quy nạp lẫn yếu tố suy diễn Yếu tố suy diễn thể hiện ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu tổng quát để xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần hình thành Yếu tố quy nạp thể hiện ở chỗ khái quát hoá quá trình xây dựng những đối tượng đại diện riêng lẻ,

đi đến đặc điểm tổng quát đặc trưng cho khái niệm cần định nghĩa

Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đường kiến thiết thường diễn ra như sau:

Bước 1: Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần

được hình thành, hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định, xuất phát từ nội

bộ toán học hay từ thực tiễn

Bước 2: Khái quát hoá quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới

những đặc điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành

Bước 3: Phát biểu định nghĩa được gợi ý do kết quả từ bước 2

Con đường kiến thiết thuận lợi cho việc khơi gợi hoạt động tự giác, tích cực của HS và rèn luyện cho họ khả năng giải quyết vấn đề trong quá trình hình thành khái niệm Bởi con đường này mang cả những yếu tố quy nạp lẫn suy diễn nên quy luật biện chứng “từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn” được tuân thủ triệt để Điều đó kích thích sự phát triển

tư duy biện chứng cho HS

d Hoạt động củng cố khái niệm

Để củng cố khái niệm cho HS, GV cần cho HS luyện tập những hoạt động: Nhận dạng và thể hiện khái niệm, hoạt động ngôn ngữ, khái quát hóa và đặc biệt hóa khai niệm, vận dụng khái niệm,

Sau đây ta sẽ đi sâu vào từng hoạt động

 Nhận dạng và thể hiện khái niệm

Một trong những biểu hiện của chủ nghĩa hình thức trong quá trình học môn toán là HS học thuộc cách phát biểu định nghĩa nhưng lại không nhận biết được một đối tượng cụ thể trong những tình huống khác nhau có thỏa mãn định nghĩa

ấy hay không, không tự mình tạo ra được những đối tượng thỏa mãn định nghĩa

Vì vậy, cần phải cho HS tiến hành những hoạt động “nhận dạng” và “thể hiện”

để tránh và khắc phục tình trạng này [10]

Ví dụ 1.4 Sau khi học xong khái niệm hàm số liên tục, HS làm bài tập sau:

Bài tập 1:

Hàm số f x( ) có đồ thị như hình bên không liên

tục tại điểm có hoành độ là bao nhiêu?

Có bao nhiêu giá trị của tham số a để hàm số ( )

2 3 2

khi 11

khi 1

x x

bộ môn trong nhà trường đều có trách nhiệm thực hiện:

- Phát biểu lại định nghĩa bằng lời lẽ của mình và biết cách thay đổi phát biểu, diễn đạt định nghĩa dưới những dạng ngôn ngữ khác nhau

- Phân tích, nêu bật những ý nghĩa quan trọng chứa đựng trong định nghĩa một cách tường minh hay ẩn tàng [10]

Ví dụ 1.5 Học sinh có thể phát biểu định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy

số theo các cách như sau:

Cách 1: Dãy  u n được gọi là có giới hạn a nếu khoảng cách từ u đến n càng dần tới 0 khi n càng lớn

Cách 2: Dãy số  u n được gọi là có giới hạn a khi n tăng lên vô hạn nếu có

thể làm cho u sai khác với a một lượng nhỏ bao nhiêu tùy ý, miễn là chọn n đủ n

lớn

Cách 3: Dãy số là có giới hạn a khi n tăng lên vô hạn nếu điều kiện sau đây

được thoả mãn: Với mọi số dương  nhỏ tuỳ ý ta đều có thể làm cho u n a 

miễn là chọn n đủ lớn

Cách 4: Dãy số  u n được gọi là có giới hạn a khi n tăng lên vô hạn nếu

điều kiện sau đây được thỏa mãn: Với mọi số dương  nhỏ tùy ý đều tồn tại N sao cho với mọi n N ta đều có u n  a .

Khái quát hoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá

Để củng cố khái niệm, GV có thể thực hiện nhiều hoạt động khác nữa, trước hết là:

- Khái quát hóa khái niệm - một hoạt động quan trọng cần rèn luyện cho

HS Chẳng hạn, từ khái niệm tiếp tuyến của một đường tròn tới khái niệm tiếp tuyến của một đường cong, từ các khái niệm vận tốc tức thời của một chuyển động, hệ số góc của một tiếp tuyến tới khái niệm đạo hàm của một hàm số, Ngược lại với hoạt động khái quát hóa là đặc biệt hóa

- Đặc biệt hoá, ví dụ đang xét một hình bình hành đặc biệt với một góc vuông để được hình chữ nhật

- Hệ thống hóa khái niệm, tức là biết nhận ra những mối quan hệ giữa những khái niệm, ví dụ như khái niệm tiếp tuyến của một đường tròn là một trường hợp riêng của khái niệm tiếp tuyến của một đường cong, khái niệm đạo hàm là một khái niệm khái quát của khái niệm vận tốc tức thời,

Rộng hơn nữa, việc vận dụng khái niệm để giải quyết những vấn đề nảy sinh trong Toán học và đời sống không những có tác dụng củng cố khái niệm mà còn là mục đích sâu xa của việc học khái niệm [10]

Ví dụ 1.6 Từ khái niệm về giới hạn hữu hạn của hàm số ta có thể mở rộng

ra khái niệm hàm số dần tới vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và khái niệm giới hạn một phía

Ví dụ 1.7 Từ khái niệm giới hạn của dãy số bao gồm:

Giới hạn 0 Giới hạn hữu hạn a Giới hạn vô cực của dãy

Trong các hoạt động trên thì hoạt động "nhận dạng và thể hiện" khái niệm

có vai trò đặc biệt quan trọng vì các hoạt động này có tác dụng tích cực không chỉ trong giai đoạn củng cố khái niệm mà còn cả trong giai đoạn hình thành khái niệm và vận dụng khái niệm, hơn nữa chúng là biện pháp chủ yếu để chống và khắc phục chủ nghĩa hình thức trong học tập

e Trình tự truyền thụ một khái niệm mới

Trình tự truyền thụ một khái niệm mới thường bao gồm các hoạt động sau:

- Dẫn HS vào khái niệm: giúp HS tiếp cận khái niệm, có thể thực hiện được bằng cách thông qua một ví dụ hoặc một hiện tượng có trong thực tiễn,

- Hình thành khái niệm: giúp HS có được khái niệm, có thể thực hiện được bằng cách khái quát hóa,

- Củng cố khái niệm: Thông qua các hoạt động nhận dạng, thể hiện, ngôn ngữ Khắc sâu kiến thức thông qua ví dụ và phản ví dụ

- Bước đầu vận dụng khái niệm trong bài tập đơn giản

- Vận dụng khái niệm trong bài tập tổng hợp

1.1.2.2 Dạy học định lý toán học

a Vị trí của định lý và yêu cầu dạy học định lý

Các định lý cùng với các khái niệm toán học tạo thành nội dung cơ bản của môn Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn, đặc biệt là khả năng suy luận và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện tư tưởng, phẩm chất và đạo đức

Việc dạy học các định lý toán học nhằm đạt được các yêu cầu sau đây:

- HS nắm được hệ thống định lý và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó

có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn

- HS thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lý, thấy được chứng minh định lý là yếu tố quan trọng trong phương pháp làm việc trên lĩnh vực Toán học

- HS hình thành và phát triển năng lực chứng minh toán học, từ chỗ hiểu chứng minh, trình bày lại được chứng minh, nâng lên đến mức độ biết cách suy nghĩ để tìm ra chứng minh, theo yêu cầu của chương trình phổ thông

b Hai con đường dạy học định lý

Trong việc dạy học định lý toán học, người ta phân biệt hai con đường: con

có đường có khâu suy đoán và con đường suy diễn

Sự khác biệt căn bản giữa hai con đó là ở chỗ: theo con đường có khâu suy đoán thì việc dự đoán phát hiện trước việc chứng minh định lí, còn ở con đường

có khâu suy diễn thì hai việc này nhập lại thành một bước

Hai con đường này được minh họa bằng sơ đồ sau:

 Con đường có khâu suy đoán bao gồm: tạo động cơ; phát hiện định lí;

chứng minh định lý; phát biểu định lý; vận dụng định lý

Các bước dạy học định lý theo con đường có khâu suy đoán:

- Gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ Toán học

- Dự đoán và phát biểu định lí dựa vào những phương pháp nhận thức mang tính suy đoán: quy nạp không hoàn toàn, lật ngược vấn đề, tương tự hóa, khái quát hóa một định lí đã biết, nghiên cứu trường hợp suy biến xét mối liên hệ và phụ thuộc

- Chứng minh định lí dựa vào việc gợi động cơ chứng minh và gợi cho HS thực hiện những hoạt động ăn khớp với những phương pháp suy luận, chứng minh thông dụng và những quy tắc kết luận logic thường dùng Tùy theo yêu cầu của chương trình, trong những trường hợp nhất định, việc chứng minh một số định lí có thể không đặt ra cho chương trình phổ thông

- Vận dụng định lí vừa tìm được để giải quyết, khép kín vấn đề đặt ra khi gợi động cơ

- Củng cố định lí

Con đường có khâu suy đoán có các ưu điểm, nhược điểm sau:

Ưu điểm:

- Khuyến khích tìm tòi, dự đoán, phát hiện vấn đề trước khi giải quyết vấn

đề, khuyến khích học tập tri thức Toán học trong quá trình nó đang nảy sinh và phát triển chứ không hạn chế ở việc trình bày lại tri thức Toán học có sẵn

- HS có ý thức rõ ràng về sự phân biệt và mối liên hệ giữa suy đoán và chứng minh

- Khuyến khích phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa

- Con đường này thường được sử dụng khi tồn tại một cách tìm tòi, phát hiện định lí mà HS có thể hiểu được và có thể tự mình thực hiện được tới mức

độ nhất định Tuy nhiên, điều kiện đó không phải bao giờ cũng được thỏa mãn

Nhược điểm: Tốn nhiều thời gian

 Con đường suy diễn bao gồm: tạo động cơ; suy luận logic dẫn tới định lý; phát biểu định lý; củng cố định lý

- Gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ Toán học

- Xuất phát từ những tri thức Toán học đã biết, dung suy diễn logic dẫn tới định lí

- Phát biểu định lí: Vận dụng định lí vừa tìm được để giải quyết, khép kín vấn đề đặt ra khi gợi động cơ

- Củng cố định lí

Tuy nhiên, con đường suy diễn có ưu điểm là ngắn gọn và tạo cơ hội cho

HS tập dượt theo những sách báo Toán học Trong quá trình dạy học, nó thường được dùng khi chưa thiết kế được một cách dễ hiểu để HS có thể tìm tòi, phát hiện định lí, hoặc khi quá trình suy diễn tới định lí là ngắn gọn và đơn giản

Ví dụ 1.9 Khi dạy cho HS định lý kẹp về giới hạn của dãy số, theo con

đường suy diễn, GV có thể gợi động cơ và phát biểu vấn đề bằng cách cho HS làm các bài tập sau:

Bài tập 1: Cho 3 dãy số    u n , v n và  w n với limu n limw n L và

u  v w Hãy tìm limvn ?

HS có thể giải như sau:

Xuất phát từ giả thiết u n  v n w n suy ra *

0 v n u n w n u n  n .Theo định lý về giới hạn ta có:limw n u n limw n  limu n   L L 0. Nên limv n u n 0

Do đó limv n limv n u nu nlimv n u nlimu n   0 L L

Vậy limv n L

Từ bài toán trên HS có thể suy diễn dẫn tới phát biểu thành định lý sau:

Định lý: Cho 3 dãy số    u n , v n và  w n nếu   n * ta có u n  v n w nvà limu n limw n L thì limv n L

Sau khi phát biểu xong định lý GV cho HS vận dụng định lý để giải bài toán sau

Bài tập 2: Tìm 3sin 4cos

Giải:

Học sinh nhận xét  2  2 2 2 2 

3sinn4cosn  3 4 sin ncos n 25

Khi dạy định lý cho HS cần lưu ý tới các điều kiện để áp dụng định lý, tránh những sai lầm đáng tiếc

Ví dụ 1.11 Tìm giới hạn

2 1

   vi phạm điều kiện g x  0 trong định lý

Hoặc sau khi học xong định lý, GV có thể củng cố định lý bằng cách thành lập các mệnh đề đảo, phản, phản đảo rồi cho HS nhận xét xem các mệnh đề đó

có đúng không

Ví dụ 1.12 Xét xem mệnh đề sau có đúng không: Nếu hai dãy số  u n và

 v n đều không có giới hạn thì tổng của chúng cũng không có giới hạn

Ta thấy mệnh đề trên rõ ràng là sai vì:

1.1.2.3 Dạy học quy tắc phương pháp

Thực ra quy tắc không hoàn toàn đối lập với định nghĩa định lý có khi nó chỉ là một hình thức phát biểu khác của một định nghĩa hay một định lý Tuy nhiên việc dạy loại hình này có những nét riêng Trong luận văn này đề cập dạy học quy tắc để tìm giới hạn dựa trên khái niệm thuật giải

Hằng ngày, con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán, từ đơn giản đến phức tạp Đối với một số bài toán, tồn tại những quy tắc xác định mô tả quá trình giải

Từ đó người ta đi đến khái niệm trực giác về thuật giải và khái niệm này được dùng từ lâu kéo dài suốt mấy nghìn năm lịch sử toán học

Thuật giải, theo nghĩa trực giác được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện một cách đơn trị và kết thúc sau hữu hạn bước

Ví dụ 1.13 Khi dạy cho HS quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số, GV

có thể hướng dẫn HS làm như sau: Gọi h x  f x g x   .

Trong dạy học thuật giải và quy tắc tựa thuật giải có một số điều cần lưu ý sau: + Nên cho HS biết nhiều hình thức thể hiện một quy tắc, tạo điều kiện thuận lợi cho HS nắm vững được nội dung từng bước và trình tự thực hiện từng bước quy tắc đó

+ Cần trình bày rõ ràng các bước trong những ví dụ cụ thể theo một sơ đồ nhất quán trong một thời gian thích hợp

Ví dụ 1.15 Tính giới hạn

2 1

1lim

1

x

x x





GV có thể hướng dẫn HS theo các bước sau:

Bước 1: Nhận dạng giới hạn ta thấy  2 

0

Bước 2: Khử dạng 0

0 + Phân tích 2   

x

x x

x  khi x1 thì cũng không áp dụng được quy tắc tìm giới hạn

+ Cần cho HS thấy được và biết cách sử dụng các cấu trúc điều khiển cơ bản để quyết định trình tự các bước

+ Thông qua dạy học thuật giải và quy tắc tựa thuật giải cần có ý thức góp phần phát triển tư duy thuật giải cho HS

0 của hàm phân thức có chứa căn không đồng bậc chẳng hạn như:

Tìm    

 0

Hiện nay, quy tắc phương pháp như vậy thường không phải là đối tượng dạy học tường minh trong nhà trường, trong điều kiện đó những quy tắc phương pháp này thường được thực hiện theo hai con đường

+ Thông báo tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động

+ Tập luyện cho HS hoạt động ăn khớp với quy tắc, phương pháp mà ta mong muốn họ biết thực hiện

Những quy tắc phương pháp tìm đoán chỉ là gợi ý, giải quyết vấn đề chứ không phải là những thuật toán, đảm bảo chắc chắn rằng sẽ dẫn tới thành công

Vì vậy, khi cho HS sử dụng chúng, cần rèn luyện cho HS mềm dẻo, linh hoạt biết điều chỉnh phương hướng, thay đổi phương pháp khi cần thiết Sẽ không có

gì đáng ngại, nếu HS không thành công khi áp dụng quy tắc, phương pháp nào

đó Điều quan trọng là tới một lúc nào đó, họ phát hiện ra sự nhầm đường, biết thay đổi phương hướng và cuối cùng đi tới thành công Đó chính là học phát hiện

và giải quyết vấn đề Đó chính là cách học, một yêu cầu căn bản đối với mục tiêu

và phương hướng dạy học hiện nay

1.1.2.4 Dạy học giải bài tập

a Vai trò của bài tập

Bài tập có vai trò rất quan trọng trong bộ môn Toán ở trường THPT Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện các hoạt động nhất định như: Nhận dạng thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc phương pháp, những hoạt động toán phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến, những hoạt động ngôn ngữ…[10]

Khi dạy bài tập giáo viên cần phải hướng tới mục tiêu dạy học là:

+ Hình thành củng cố tri thức, kỹ năng kỹ xảo, những khâu khác của quá trình dạy học, kể cả những kỹ năng ứng dụng vào thực tiễn

+ Phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ

+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành phẩm chất của con người lao động mới

Những bài tập là cái giá mang hoạt động liên hệ với nội dung nhất định một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ xung cho những tri thức nào

đó đã trình bày trong lý thuyết

Phương pháp dạy học bài tập là cái giá mang hoạt động để người học kiến tạo tri thức nhất định, trên cơ sở đó thực hiện mục tiêu dạy học khác, khai thác tốt các bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác tích cực chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

b.Các yêu cầu đối với lời giải

Khi giải các bài tập yêu cầu phải có lời giải tốt tức là:

+ Lời giải phải có kết quả đúng, kể cả bước trung gian

+ Lập luận chắt chẽ

+ Lời giải đầy đủ

+ Ngôn ngữ chính xác

+ Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật

+ Tìm ra nhiều lời giải, chọn lời giải ngắn gọn hợp lý nhất

+ Nghiên cứu sâu lời giải

Trên đây là các yêu cầu đối với các câu hỏi tự luận, bốn yêu cầu đầu tiên là

cơ bản, hai yêu cầu cuối dành cho học sinh khá giỏi, yêu cầu thứ 5 là yêu cầu về trình bày

Ví dụ 1.17 Khi giải bài tập tính giới hạn Glim 2n 2 2 2   2

HS giải như sau:

Ta biết: 2 2 2 2cos 2cos 2

Nên: 2 2 2 2cos 2 2 1 cos 2 4cos2 3 2cos 3

Vậy không tồn tại giới hạn

2 3 0

Nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số được giới thiệu chủ yếu trong

Chương IV: Giới Hạn - Đại số và Giải tích 11, dạy trong 14 tiết với các nội dung

cụ thể sau:

- Dãy số có giới hạn 0

- Dãy số có giới hạn hữu hạn

- Dãy số có giới hạn vô cực

- Định nghĩa và một số định lý về giới hạn của hàm số

về giới hạn của dãy số, hàm số, nghiên cứu tính liên tục của hàm số

- Biết các định lý về giới hạn của dãy số, hàm số và vận dụng chúng vào việc tính các giới hạn dạng đơn giản Biết định nghĩa và tính chất của hàm số liên tục trên một khoảng, một đoạn (đặc biệt là đặc trưng hình học của nó) và các định lý nêu trong SGK, biết vận dụng chúng vào nghiên cứu tính liên tục của hàm số và sự tồn tại nghiệm của phương trình dạng đơn giản

1.2.2 Mục tiêu của dạy học Giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT

Khi dạy học chủ đề này GV phải làm cho HS nắm vững được các nội dung sau:

+ Các khái niệm về giới hạn của dãy số, của hàm số

+ Khái niệm về tính liên tục của hàm số

+ Các định lí, tính chất về giới hạn, tính liên tục của hàm số

+ Các quy tắc, phương pháp tìm giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực, giới hạn một bên của dãy số, hàm số

+ Cách chứng minh một hàm số liên tục