BD HS giỏi: Phân tích đa thức thành nhân tử

- Học sinh hiểu và vận dụng được các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử.. Bước 1: Phát hiện nhân tử chung

- Học sinh hiểu và vận dụng được các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử

Bước 1: Phát hiện nhân tử chung và đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc

B−íc 2: ViÕt c¸c h¹ng tö trong ngoÆc b»ng c¸ch chia tõng h¹ng tö cña ®a thøc cho nh©n tö chung

2 Bµi tËp:

Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö :

A = 2x2 + x => A = x(2x + 1)

B = 17x3y - 34x2y2 + 51xy3 ⇒ B = 17xy( x2 - 2xy + 3y2)

C = 16x2(x - y) -10y(y - x) ⇒ C = (x - y)(16x2 + 10y)

D = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) => D = 2x2(ax + 2by + ax - by)

10) Lòy thõa bËc n cña mét nhÞ thøc (nhÞ thøc Niu t¬n)

0 1

2 Bµi tËp:

Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö :

a) x2 - 4 = x2 - 22 = (x - 2)(x + 2)

b) x2 + 2xy + y2 - 25 = (x + y)2 - 52 = (x + y + 5)(x + y - 5)

Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö :

P =(a2+ 4)2- 16a2 =(a2+ 4)2- (4a)2 = [(a2 + 4) - 4a][(a2 + 4) + 4a] = (a - 2)2(a + 2)2

Bước 1: Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm Bước 2: Nhóm để áp dụng phương pháp hằng đẳng thức hoặc đặt nhân

- Nếu ∆ = b2 - 4ac < 0: Đa thức không phân tích được

- Nếu ∆ = b2 - 4ac = 0: Đa thức chuyển về dạng bình phương của một nhị thức bậc nhất

- Nếu ∆ = b2 - 4ac > 0

+) ∆ = b2 - 4ac = k2 ( k ∈ Q) đa thức phân tích được trong trường Q

+) ∆ = b2 - 4ac ≠ k2 đa thức phân tích được trong trường số thực R

b, Trường hợp đa thức từ bậc 3 trở lên:

- Nhẩm nghiệm của đa thức:

+) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bằng 0 ⇒ đa thức có nghiệm bằng 1 +) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ ⇒ đa thức có nghiệm bằng - 1

- Lưu ý định lý: " Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải

là ước của hạng tử tự do Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ dạng p

q thì p là ước của hạng tử tự do, q là ước dương của hệ số của hạng tử có bậc cao nhất"

- Khi biết một nghiệm của đa thức ta có thể dùng phép chia đa thức, hoặc

dùng sơ đồ Hooc – ne để hạ bậc của đa thức

= (x - 3 - 1)( x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2)

Hoặc C = x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8 = x( x - 2) - 4 ( x - 2)

= (x - 2)( x - 4)

Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

P = x2 - 7xy + 12y2 = x2 - 3xy - 4xy + 12y2

P = x(x - 3y) - 4y(x - 3y) = (x - 3y)(x - 4y)

= (x7 - x) + (x2 + x + 1) = x(x6 - 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1) = x(x - 1)(x3 + 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x - 1)(x3 + 1) + 1]

Bài 8: Cho x ∈Z, chứng minh rằng: x200 +x100 +1 x
4 +x2 +1

- Giải tiếp các bài tập sau:

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân

Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử

- Học sinh hiểu và vận dụng được các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Phương pháp hệ số bất định; Phương pháp vận dụng định lí

về nghiệm của tam thức bậc hai; thấy được sự quan trọng của việc phân phân tích đa thức thành nhân tử trong việc giải một số bài toán thường gặp

II Kiểm tra bài cũ(15 phút)

- HS1: Giải bài tập 1d đã cho tiết trước

- HS2: Giải bài tập 2b đã cho tiết trước

- HS3: Giải bài tập 4a đã cho tiết trước

III Bài mới (160 phút)

Phương pháp 5: Dùng phép chia đa thức (nhẩm nghiệm)

Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 - 2x3 + x2 - 4

Đa thức trên nếu có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm sẽ là ước của 4

- Dựa vào đặc điểm của đa thức đã cho ta đưa vào 1 hoặc nhiều biến mới

để đa thức trở thành đơn giản Phương pháp này thường được sử dụng để đưa một đa thức bậc cao về đa thức bậc 2 mà ta có thể phân tích được dựa vào tìm nghiệm của đa thức bậc 2

- Cần phát hiện sự giống nhau của các biểu thức trong đa thức để chọn

Đặt : x2 + 8x + 11 = t, ta có f(t) = (t - 4)(t + 4) - 9

Bµi 9:

a) Chøng minh r»ng: ( x y z)+ + 3 −x3 −y3 −z3 =3( x y )( y z)(z x )+ + +

b) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö

A =(a b c)+ + 3 +(a b c)− − 3 +( b c a)− − 3 +(c a b)− − 3

§Æt a = x2 −6x 1+ vµ b = x2 +1 => A = (2a b)(a 2b) 9( x 1) ( x+ + = − 2 2 −4x 1)+Bµi 12: Cho M = 4( x 2)( x 1)( x 4)( x 8) 25x− − + + + 2

B = (ax + b )(cx2 + dx + m)

B = acx3 + (ad + bc)x2 + (am + bd)x + bm (2)

§ång nhÊt hÖ sè cña (1) vµ (2) ta cã hÖ sau:

d c b a

=

12

12 3

5 3

10 12

bd

b d

a c

bc ad

d c b

⇒ P = 2(a - a1)(a - a2) = 2 ( 2 ) (2 1)( 2)

2

1

−+

−

−

=+

Cho biÓu thøc : P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x2 - 24x + 3y2 + 18y + 36

Chøng minh P lu«n d−¬ng víi mäi x; y thuéc R

Hướng dẫn:

P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x2 - 24x + 3y2 + 18y + 36

= xy(x - 2)(y + 6) + 12x(x - 2) + 3y(y + 6) + 36

Vậy P > 0 với mọi x; y thuộc R

Bài 2: Đề thi Đề thi khảo sát chọn HSG đợt I huyện Gia Lộckhảo sát chọn HSG đợt I huyện Gia Lộckhảo sát chọn HSG đợt I huyện Gia Lộc năm học 2009năm học 2009năm học 2009 20120120100

Bài 3: Đề thi Đề thi chính thức chọn HSG huyện Gia Lộc năm học 2007chính thức chọn HSG huyện Gia Lộc năm học 2007chính thức chọn HSG huyện Gia Lộc năm học 2007 2020200808

Chứng minh rằng với mọi số a, b, c thỏa mãn điều kiện a > b > c thì biểu thức căn bậc hai sau luôn có nghĩa: a ( b c) b (c a ) c (a b)2 ư + 2 ư + 2 ư

- Giải tiếp các bài tập sau

Bài 1: Giải các phương trình sau

Hướng dẫn: Nghĩ đến x + y + z = 0 => x + y = - z

Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) A = (a b)ư 3 +( b c)ư 3 +(c a )ư 3

b) B = (a b 2c)+ ư 3 +( b c 2a )+ ư 3 +(c a 2b)+ ư 3

Hướng dẫn: áp dụng kết quả bài tập 3 để phân tích

Kết quả: a) A = 3(a b)( b c)(c a)ư ư ư ; b) B = 3(a b 2c)( b c 2a)(c a 2b)+ ư + ư + ư

Ngày dạy : 06/09/11

Chủ đề

Buổi 3 các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử

- Học sinh hiểu và giải quyết được một số bài toán áp dụng phân tích

đa thức thành nhân tử: Giải phương trình bậc cao; giải bất phương trình bậc cao; chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức; chứng minh một biểu thức là số chính phương; chứng minh tính chia hết; rút gọn, tính giá trị biểu thức; Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức; giải phương trình nghiệm nguyên; tìm giá trị của biến số để biểu thức đạt giá trị nguyên

II Kiểm tra bài cũ

- HS1: Giải bài tập 1a đã cho tiết trước

- HS2: Giải bài tập 3 đã cho tiết trước

- HS3: Giải bài tập 4a đã cho tiết trước

III Bài mới

các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử

- Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 1 và x2 = - 2

2 Giải bất phương trình bậc cao:

Bài 1: Giải bất phương trình: x2 + 5x + 6 > 0

- Vậy nghiệm của bất phương trình là x < - 3 hoặc x > - 2

Bài 2: Giải bất phương trình: x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 < 0

Bài 1: Chứng minh rằng: (a + b + c)3- (a3 + b3 + c3) = 3(a + b)(b + c)(a + c)

Ta biến đổi vế trái bằng cách phân tích thành nhân tử :

Vậy: (a + b + c)3 - (a3 + b3 + c3) = 3(a + b)(b + c)(a + c)

Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu a + b + c = 0 thì: a3 + b3 + c3 = 3abc

Vậy : a3 + b3 + c3 = 3abc với a + b + c = 0

Bài 3: Chứng minh rằng nếu a,b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì :

= [(b - c)2 - a2][(b + c)2 - a2]2

= (b – c - a)(b – c + a)(b + c - a)(b + c + a)

Vậy A = ( b – c - a)(b – c + a)(b + c - a) (b + c + a)

Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên

số nguyên Vậy P là số chính phương ∀x ∈ Z

Bài 2: Chứng minh rằng với x , y nguyên thì biểu thức:

M = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương

Do x, y ∈ Z nên x2 + 5xy + 5y2∈ Z Suy ra M = (x2 + 5xy + 5y2)2 là số chính phương

5 Chứng minh tính chia hết

Bài 1: Chứng minh A = n3 - n chia hết cho 3 , ∀ n ∈ Z

Giải:

Ta có n3 - n = n(n2 - 1) = n(n -1)(n + 1) do n ∈ Z nên A là tích của 3 số nguyên liên tiếp do đó A chia hết cho 3

Bài 2: Chứng minh M = m3(m2 - 7)2 - 36m chia hết cho 5040 với ∀ m là số nguyên

b) Bài tập

5 5

2

+ +

+

x x

7 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

= (x + 1)(x + 4)(x + 3)(x + 2) + 2003

= (x2 + 5x + 4) (x2 + 5x + 6) + 2003

Đặt x2 + 5x + 5 = t Ta có N = (t - 1)(t + 1) + 2003 = t2 - 1 + 2003 = t2+2002 Vậy do t2 ≥0 với ∀t ⇒ N ≥ 2002

Vậy biểu thức N đạt giá trị nhỏ nhất là 2002 <=> t = 0

Bµi 1: T×m cÆp sè nguyªn (x , y) tho¶ m·n : x + y = xy

5 5

2

+ +

+

=

x x

1 (

) 1 ( 5

+

= + +

+

=

x x

x

x P

VËy P nguyªn <=> x + 7 lµ −íc cña 5

= +

= +

−

= +

1 7

1 7

5 7

5 7

x x x

x x x x

VËy khi biÕn sè nhËn mét trong c¸c gi¸ trÞ x ∈ { -12; - 8, -6, -2} th× P

được trên R Vậy A = (a - 1)(a - 2)(a2 - 3a + 16)

b) Do a ∈ Z nên (a - 1)(a - 2) là tích hai số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 2 Suy ra A chia hết cho 2 ⇒ A = 2k (k ∈ Z) Vậy A là số chẵn với ∀a ∈ Z Bài 2: Chứng minh rằng với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:

Bài 3: Trong mặt phẳng cho ba điểm A, B, C phân biệt đặt AB = c; AC = b;

BC = a Chứng minh rằng nếu phương trình ẩn x sau:

b2x2 + (b2 + c2 - a2)x + c2 = 0 có nghiệm kép thì ba điểm A, B, C thẳng hàng Hướng dẫn :

b) Chứng minh rằng nếu x, y, z nguyên và (x + y + z) chia hết cho 6 thì

Q = P - 3xyz chia hết cho 6

Hướng dẫn:

a) Có P = [(x + y + z) - z][ (x + y + z) - y][ (x + y + z) - x] + xyz

= (x + y + z)3- (x + y + z)2(x + y + z) + (x + y + z)(xy + yz + xz)- xyz + xyz = (x + y + z)(xy + yz + xz)

b) Do (x + y + z)
6 ⇒ P
6 (1)

§Ó chøng minh Q
6 ta Chøng minh 3xyz
6 ⇒ xyz
2

ThËt vËy: (x + y + z)
6⇒ (x + y + z)
2 ⇒ (x + y + z) lµ sè ch½n ⇒ kh«ng thÓ x, y, z cïng lÎ ⇒ Ýt nhÊt mét trong ba sè x, y, z lµ ch½n ⇒ xyz lµ sè ch½n

⇒ xyz
2 => 3xyz
6 (2)

Tõ (1) vµ (2)=> Q = P - 3xyz chia hÕt cho 6

Bµi 5: Chøng minh r»ng : (n5 - 5n3 + 4n) chia hÕt cho 120 , ∀ n ∈ Z

H−íng dÉn:

Ta cã:

n5 - 5n3 + 4n = n(n4 - 5n2 + 4) = n[(n4 - 4n2) - (n2 - 4)] = n[n2(n2 - 4) - (n2 - 4)] = n(n2 - 4)(n2 - 1) = n(n -1)(n - 2)(n + 1)(n + 2)

Do n ∈ Z ⇒ n(n- 1)(n - 2)(n + 1)(n + 2) lµ tÝch cña n¨m sè nguyªn liªn tiÕp nªn chia hÕt cho 1 2.3.4.5 = 120

VËy: n5 - 5n3 + 4n chia hÕt cho 120

Bµi 6: Chøng minh r»ng nÕu a + b + c + d = 0 th× :

- Gi¶i tiÕp c¸c bµi tËp sau:

Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc A thµnh tÝch cña mét nhÞ thøc bËc nhÊt víi mét ®a thøc bËc ba víi hÖ sè nguyªn, sao cho hÖ sè cao nhÊt cña ®a thøc bËc ba lµ 1

A = 3x4 +11x3 −7x2 −2x 1+H−íng dÉn: 3x4 +11x3 −7x2 −2x 1+ = (3x 1)( x− 3 +ax2 +bx 1)−

§ång nhÊt hÖ sè t×m ®−îc a = - 2 ; b = 1

Vậy C = ( x2 ư2x 1)( xư 2 +x 5)+

Bài 4: Giải phương trình sau: ( 4x + 3)2 - 25 = 0

Hướng dẫn: ( 4x + 3)2 - 25 = 0 <=> ( 4x + 3)2 – 52 = 0 <=> 8(2x - 1)(x + 2) = 0

1x2x 1 0

Bài 5: Giải bất phương trình sau: x2 - 7x + 10 < 0

Bài 6: Giả sử a, b, c, d ∈ Z ; Chứng minh rằng:

A = [(a- c)2 + (b - d)2](a2 + b2) - (ad - bc)2 là số chính phương

Bài 7: Chứng minh rằng đa thức :

z2 + y(2x - y) - x2 chia hết cho đa thức : x – y + z Bài 8: Chứng minh rằng đa thức : (a2 + 3a + 1)2-1 chia hết cho 24 với ∀a ∈ Z

Bất đẳng thức này đúng với mọi a, b

b) Biến đổi BĐT được (ad bc)ư 2 ≥0 Bất đẳng thức này đúng với mọi a, b, c, d Bài 10:

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Phõn tớch đa thức 2 2

4(1+x)(1+ y)(1+x+ y)ư3x y thành nhõn tử Hướng dẫn:

Bài 13: Đề thi chính thức chọn HSG huyện Hương Thủy năm học 2011 Đề thi chính thức chọn HSG huyện Hương Thủy năm học 2011 Đề thi chính thức chọn HSG huyện Hương Thủy năm học 2011 20122012

Cho biểu thức : P = xy(x – 2)(y + 6) + 12x2 – 24x + 3y2 + 18y + 36

Phân tích đa thức P thành nhân tử.Từ đó chứng minh P luôn dương với mọi x;y Hướng dẫn:

P = xy(x – 2)(y + 6) + 12x2 – 24x + 3y2 + 18y + 36

= xy(x – 2)(y + 6) + 12x(x – 2) + 3y(y + 6) + 36

*) H·y gi÷ phÝm ctrl vµ nhÊn vµo ®−êng link nµy - http://quanghieu030778.violet.vn/