Mô hình tự hồi quy vectơ và ứng dụng

Một số khái niệm của biến ngẫu nhiên liên quan đến kinh tế như: Chuỗi thời gian, tự tương quan, biến độc lập nội sinh, biến giả, biến ngoại sinh, chuỗi dừng, chuỗi không dừng, nhiễu trắn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2  

MÔ HÌNH TỰ HỒI QUY VECTO VÀ ỨNG DỤNG  

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2  

Mã số: 60460112  

LỜI CẢM ƠN   Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới 

LỜI CAM ĐOAN   Tôi  xin  cam  đoan  dưới  sự  hướng  dẫn  của  Phó  Giáo  sư  Tiến  sĩ  Trần 

Trọng  Nguyên,  luận  văn  Thạc  sĩ    chuyên  ngành  Toán  ứng  dụng  với  đề  tài: 

      Phan Tiến Nam 

MỤC LỤC MỤC LỤC

DANH MỤC ĐỒ THỊ BẢNG BIỂU

DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT

PHẦN MỞ ĐẦU   1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị   3

1.1 Một số kiến thức xác suất   3

1.1.1 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên   3

1.1.2 Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên   5

1.1.3 Một số quy luật phân phối thông dụng   7

1.2 Mô hình hồi quy tuyến tính   7

1.2.1 Mô hình hồi quy   7

1.2.2 Hàm hồi quy tổng thể   9

1.2.3 Hàm hồi quy mẫu   9

1.2.4 Tính tuyến tính trong mô hình hồi quy   10

1.3 Một số khái niệm cơ bản   10

Chương 2 Mô hình VAR   12

2.1 Mô hình VAR   12

2.1.1 Định nghĩa   12

2.1.2 Lời giải của mô hình VAR(p)    13

2.1.3 Mô hình VAR(1) và VAR(p)   15

2.1.4 Giải quá trình VAR(1) ổn định   17

2.1.5 Lời giải của quá trình ổn định và không ổn định với giá trị ban đầu    19

2.1.6 Mô hình VAR trễ phân phối dừng tự hồi quy   21

2.1.7 Mô hình VAR trung bình trượt tự hồi quy theo véc tơ   22

2.1.8 Xu thế ngẫu nhiên và tất định   23

2.1.9 Dự báo   24

2.2 Ước lượng mô hình VAR   24

2.2.1 Ước lượng mô hình VAR ổn định   24

2.2.1.1 Phương pháp bình phương nhỏ nhất   25

2.2.1.2 Phương pháp ước lượng hợp lý cực đại   27

2.2.2 Ước lượng độ dài của trễ  28

2.2.3 Dự báo   29

2.2.4 Hàm phản ứng   29

Chương 3. Ứng dụng mô hình VAR trong phân tích kinh tế vĩ mô Việt Nam  trong khoảng thời gian từ 1986 đến 2015.   34

3.1 Giới thiệu mô hình và mô tả dữ liệu nghiên cứu   34

3.2 Kết quả nghiên cứu   36

KẾT LUẬN    50

TÀI LIỆU THAM KHẢO   51

DANH MỤC ĐỒ THỊ BẢNG BIỂU

Hình 2.1 Đồ thị của hàm phản ứng   30

Bảng 3.1 Tóm tắt thống kê của các biến được sử dụng trong mô hình   35

Bảng 3.2 Các kết quả của kiểm định nghiệm đơn vị ADF   36

Bảng 3.3 Xác định độ trễ tối ưu   37

Bảng 3.4 Kết quả ước lượng mô hình VAR bằng phương pháp Bayes   39

Biểu đồ 3.1 Kiểm định tính ổn định của mô hình   42

Bảng 3.5 Tương quan giữa các phần dư   43

Bảng 3.6 Giá trị hàm phản ứng của mô hình   43

Bảng 3.7 Bảng phân rã các nhân tố tác động đến GDP trong mô hình.   47

DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT

TT  Từ viết tắt  Nghĩa tiếng ANH  Nghĩa tiếng VIỆT 

1  CPI  Consumer Price Index  Chỉ số giá tiêu dùng 

2  FDI  Foreign Direct Investment  Đầu tư trực tiếp nước ngoài 

3  GDI  Gross Domestic Investment  Đầu tư trong nước 

10  ARDL  Stationary Autoregressive 

Distributed Lag Models 

Mô hình trễ phân phối dừng tự hồi quy 

11  VARMA  Vector Autoregressive 

moving average 

Mô hình trung bình trượt tự hồi quy theo véctơ 

"Mô hình tự hồi quy véctơ và ứng dụng"

5 Phương pháp nghiên cứu

Cách tiếp cận cụ thể là: 

 Nghiên cứu tài liệu, mô hình VAR, phân tích thực trạng đầu tư trực tiếp nước ngoài, giáo dục, , tăng trưởng kinh tế ở Việt Nam hiện nay. 

 Thu  thập  các  số  liệu  về  đầu  tư  trực  tiếp  nước  ngoài,  giáo  dục   gần đây, sử dụng mô hình VAR đánh giá tác động của đầu tư trực tiếp nước ngoài, giáo dục,   tới tăng trưởng kinh tế. 

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung của đề tài được chia làm 3 chương: 

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. 

Chương 2. Mô hình VAR. 

Chương 3. Ứng dụng mô hình VAR trong phân tích kinh tế vĩ mô Việt Nam trong khoảng thời gian từ 1986 đến 2015.  

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày các kiến thức cần thiết cho chương 2 và 3. Bao gồm ba nội dung cơ bản:   

  Các kiến thức về xác suất như:  

Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất của nó. Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên: kì vọng, covarian và phương sai, kì vọng có điều kiện. Một số quy luật phân phối thông dụng: quy luật phân phối chuẩn, quy luật khi bình phương

  Mô  hình  hồi  quy  tuyến  tính  bao  gồm:  Mô  hình  hồi  quy,  hàm  hồi  quy tổng thể, hàm hồi quy mẫu và tính tuyến tính trong mô hình hồi quy.   

  Một số khái niệm của biến ngẫu nhiên liên quan đến kinh tế như: Chuỗi thời  gian,  tự  tương  quan,  biến  độc  lập  nội  sinh,  biến  giả,  biến  ngoại  sinh, chuỗi dừng, chuỗi không dừng, nhiễu trắng, bước ngẫu nhiên, quá trình tự hồi quy và quá trình trung bình trượt. 

1.1 Một số kiến thức xác suất

1.1.1 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Giả sử  là một tập không rỗng, phần tử của nó kí hiệu là . Tập hợp gồm mọi tập con của  được kí hiệu là  ( )P   

Giả sử C P( )  Một  đại số F P( ) bé nhất chứa C được gọi là 

 đại số sinh bởi C viết  F (C). Nó cũng là giao của tất cả các  đại số con của  ( )P  chứa C. 

Nếu  là không gian tôpô và C là lớp gồm mọi tập mở của   thì  ( ) C được gọi là  đại số các tập Borel của , kí hiệu là  ( )B   

Giả sử F là  đại số là các tập con của . Cặp  ( , ) F  được gọi là không gian đo. Hàm tập hợp P: FR thỏa mãn ba điều kiện: 

 P A ( ) 0,        A F   

 P  ( ) 1  

 Nếu A nF n, 1, 2,  đôi một không giao, thì: 

1 1

( n) ( n)

n n

1.1.2 Một số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

k A k

cov( , )X Y E[(X EX)( Y EY)]E XY( )EX.EY.  

Đặc biệt: cov( , X)X E X( 2)-(EX)2 D X( )là phương sai của X. 

Giả  sử  ( , , ) F P là  không  gian  xác  suất,  X là  biến  ngẫu  nhiên  xác  định  trên  đó,G là  đại số con của F. 

Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm hay khả tích thì kỳ vọng của X với điều  kiện G, kí hiệu là E(X/G) là biến ngẫu nhiên thỏa mãn hai điều kiện: 

( / ) ( / ( )).

1.1.3 Một số quy luật phân phối thông dụng

Quy luật phân phối chuẩn N a( ,2)

 

  Quy luật Khi bình phương 2( )n

Ta nói  X có phân phối 2( ), nn N* nếu  ( , ).1

2 2

n

1.2 Mô hình hồi quy tuyến tính

1.2.1 Mô hình hồi quy

Một bài toán quan trọng trong phân tích kinh tế là bài toán đánh giá tác động của một biến số lên biến số khác. Chẳng hạn chúng ta muốn đánh giá tác động  của  lượng  phân  bón  lên  năng  suất  lúa  trên  tổng  thể  các  ruộng  lúa.  Từ suy luận bình thường, có thể cho rằng khi tăng lượng phân bón thì năng suất lúa sẽ gia tăng, do đó có thể biểu diễn mối quan hệ phụ thuộc hàm số giữa các biến này như sau: 

  trong đó NS và PB lần lượt là năng suất lúa và lượng phân bón trên một hécta. Trong thực tế, chúng ta không biết hàm f này có dạng như thế nào và 

để bắt đầu một cách đơn giản, giả sử rằng nó có dạng tuyến tính: 

    NS 12PB      (1.2.1)   trong đó  1, 2là các hằng số nào đó. 

Hàm (1.2.1) biểu diễn mối quan hệ tất định giữa hai biến NS và PB, tức là nếu biết giá trị của biến PB thì ta sẽ biết giá trị của biến NS một cách chắc chắn, 

    Y 12X     u       (1.2.3) Như vậy mô hình hồi quy tuyến tính hai biến bao gồm các thành phần sau:   -Các biến số: mô hình hồi quy bao gồm hai loại biến số:  

  +Biến  phụ  thuộc:  là  biến  số  mà  ta  đang  quan  tâm  đến  giá  trị  của  nó, 

thường được ký hiệu là Y và nằm ở vế trái của phương trình. Biến phụ thuộc 

còn được gọi là biến được giải thích (explained variable) hay biến phản ứng.   +Biến độc lập:là biến số được cho là có tác động đến biến phụ thuộc, 

có  quan  sát  về  nó  vì  thế  đôi  khi  u  còn  được  gọi  là  sai  số  ngẫu  nhiên  không 

quan  sát  được.  Do  đó  để  hàm  hồi  quy  có  ý  nghĩa,  cần  đưa  ra  giả  thiết  cho 

    E Y( | )X 12X       (1.2.4)   trong đó  ( | )E Y X là kỳ vọng của biến Y khi biết giá trị của biến X, hay  còn gọi là kỳ vọng của Y với điều kiện X. 

Phương trình  (1.2.4) biễu diễn kỳ  vọng  của  Y với điều kiện  X như một  hàm  của biến X và do  X và Y thể hiện cho tổng thể nên phương trình (1.2.4) còn 

1.2.3 Hàm hồi quy mẫu

Giả sử có mẫu ngẫu nhiên kích thước n bao gồm các quan sát của biến Y và  biến X:(X Y , i, )i i1, 2, ,n . Từ mẫu ngẫu nhiên này chúng ta sẽ xây dựng các ước lượng cho các hệ số hồi quy tổng thể 1 và 2, ký hiệu là  1 và  2 tương ứng. Khi đó gọi biểu diễn: 

        

Y   X            (1.2.5)  Hàm (1.2.5) được gọi là hàm hồi quy mẫu (SRF:sample regression function) cho hàm hồi quy tổng thể (1.2.4). 



1

 , 2  được gọi là các hệ số hồi quy mẫu hay hệ số ước lượng, là ước lượng của các hệ số tổng thể 1 và 2 tương ứng. 

1.3 Một số khái niệm cơ bản  

  Chuỗi thời gian:  Chuỗi  các quan  sát  được  thu  thập  trên  cùng một  đối 

  Biến giả: là biến chỉ lấy giá trị 0 hoặc 1 (vì thế còn được gọi là biến nhị 

nguyên)  để  chỉ  ra  sự  tồn  tại  hay không tồn  tại  của  một  hiệu  ứng  có thể làm thay đổi đột ngột kết quả đầu ra. 

  Biến ngoại sinh: là biến  mà  giá trị  của  nó  không được xác định  trong 

mô  hình kinh  tế, nhưng  lại  đóng  một  vai trò  quan trọng  trong việc  xác định giá trị của biến nội sinh. 

CHƯƠNG 2 MÔ HÌNH VAR   Chương  này  trình  bày  về  mô  hình  tự  hồi  quy  theo  véctơ  (VAR).  Mô hình  VAR  là  mô  hình  kinh  tế  lượng  dùng  để  xem  xét  động  thái  và  sự  phụ thuộc  lẫn  nhau  giữa  một  số  biến  theo  thời  gian.  Trong  mô  hình  VAR,  mỗi biến số được giải thích bằng một phương trình chứa các giá trị trễ của chính biến số đó và các giá trị trễ của các biến số khác. 

2.1 Mô hình VAR

2.1.1 Định nghĩa

  Mô hình  VAR là  mô  hình  véc tơ các biến số tự  hồi quy.  Mỗi biến số phụ thuộc tuyến tính vào các giá trị trễ của biến số này và giá trị trễ của các biến số khác. 

  Mô hình VAR dạng tổng quát (Svetlozar, Mittnik, Fabozzi, Focadi, Teo Jašić (2007), [7]): 

  Y t  AY1 t1 A Y2 t2   A Y p t p s t u t      (2.1.1) 

  Trong đó: 

1 2

;

t t t

mt

Y Y Y Y

;

t t t

mt

u u u u

 Y t (A L1  A L2 2  A L Y p p) t s t u t       (2.1.2) 

Mô  hình  (2.1.1)  hay  (2.1.2)  được  gọi  là  mô  hình  VAR  cấp ,p   ký  hiệu VAR(p). 

 Mặt  khác  ta  đã  biết  quá  trình  ngẫu  nhiên Y   có  kì  vọng  và  hiệp  phương  t

saiCov Y Y( ,it it k )không phụ thuộc vào thời gian và hữu hạn được gọi quá trình dừng yếu (còn gọi là quá trình dừng theo hiệp phương sai hoặc dừng bậc 2). Quá trình ngẫu nhiên là dừng chặt nếu tất cả các phân bố với số chiều hữu hạn của ( ,Y Y t t1, ,Y t p ) là không đổi theo thời gian. 

  Trong  thực  tế,  quá  trình  thường  bắt  đầu  từ  một  mốc  thời  gian  hay  từ một thời điểm nhất định. Quá trình dừng tiệm cận là quá trình bắt đầu tại một điểm gốc nào đó và mômen cấp một và cấp hai (kỳ vọng, phương sai) hội tụ đến giá trị tới hạn. 

2.1.2 Lời giải của mô hình VAR(p)  

  Định lý 2.1 (Wold): Bất kỳ một quá trình Y t (Y Y1t, 2t, ,Y mt)dừng theo hiệp phương sai, có trung  bình bằng không đều được biểu diễn một cách duy nhất  là  tổng  của  một  quá  trình  ngẫu  nhiên  và  một  quá  trình  tuyến  tính  xác định có khả năng dự  báo được: 

   Y t t ( ) uL t       (2.1.3) trong đó phần ngẫu nhiên được biểu diễn như quá trình MA vô hạn, 

0 0

Xét mô hình VAR(p): 

  Y t (A L1  A L2 2   A L Y p p) t  v u t 

trong đó:  v  là hằng số,  u là các biến IID có trung bình bằng không, phương  t

sai hữu hạn, t biến thiên   đến    

Đa thứcA z( ) I A z1 A z2 2  A z p p, zlà một số phức, phương trình 

( ( )) 0

Det A z        (2.1.4) được gọi là phương trình đặc trưng đảo của mô hình VAR(p). 

Một dạng khác của  ( )A z :  

    B z( )I.zp A z1 p1A z2 p2  A p       (2.1.5) khi đó phương trình        Det B z( ( ))0      (2.1.6) được gọi là phương trình đặc trưng của mô hình VAR(p). Nếu như nghiệm của phương trình này là duy nhất thì lời giải này là nghịch đảo của nghiệm (2.1.4). 

  Giả sử rằng phương trình đặc trưng của AR(p) có p nghiệm i phân biệt, khi đó phương trình đặc trưng có thể viết dưới dạng: 

t có một giá trị ban đầu nào đó. Tuy nhiên điều ngược lại sẽ không đúng: Có quá trình dừng nhưng không phải là quá trình ổn định. 

  Nếu quá trình VAR thỏa mãn điều kiện ổn định và là dừng thì quá trình này gọi là khả nghịch. Khi đó: 

2.1.3 Mô hình VAR(1) và VAR(p)

  Để tìm ra lời giải dưới dạng hiển của mô hình VAR, dễ nhận thấy mô hình  VAR(p)  bất  kỳ  đều  tương  đương  với  mô  hình  VAR(1)  (Svetlozar, Mittnik, Fabozzi, Focadi, Teo Jašić 2007, [7]) sau khi đưa thêm các biến thích hợp. Kết luận này rất quan trọng vì mô hình VAR(1) có thể mô tả bằng công thức đơn giản có thể quan sát được một cách trực giác. 

1

t t t

t p

Y Y Y Y

m

I I A

0

t t

s S

0

t t

2.1.4 Giải quá trình VAR(1) ổn định

Xét mô hình VAR(1) với m biến số: 

1 , 0,  1, 2,

Y  AY  s u          (2.1.13)

trong  đó  yếu  tố  xác  định  s  là  một  hằng  số.  Giả  thiết  rằng  các  nghiệm  của 

phương trình đặc trưng det Iz A0 nằm trong đường tròn đơn vị. Lời giải của phương trình trên là các giá trị riêng củaA. Trong trường hợp quá trình là 

0

,

i i t i

    0

( )

i i t

Dễ thấy rằng     h  Ah1      (2.1.16) Phương trình trên  chính là phương trình YW  (Yule  -  Walker). Phương trình 

YW có thể được sử dụng để tính hiệp phương sai, hệ số tự tương quan bằng phương pháp đệ qui nếu biết 0. Nếu 0là ma trận hiệp phương sai của quá trình (Chú ý rằng nó không phải là ma trận Ω của u ).  t

1 0

i m

2.1.5 Lời giải của quá trình ổn định và không ổn định với giá trị ban đầu

vì   là ma trận đường chéo, quá trình với xu thế xác định có thể có dạng hàm khác nhau đối với các giá trị riêng. Xu thế có thể là một hằng số, xu thế tuyến tính hoặc đa thức bậc cao. Nếu quá trình là nghiệm đơn vị, khi đó hệ số chặn tạo ra một xu  thế tuyến tính, một hàm tuyến tính có thể tạo ra một hằng số, một hàm tuyến tính hoặc một đa thức bậc cao hơn. 

các giá trị trễ của chính Y và các biến X khác. Biến X lại tuân theo mô hình VAR. 

1 2 1 0 1 1

1

1

0 0 0 0 0 0 0 0 0

t p

Y Y

Y I

Mô hình ARDL rất quan trọng trong kinh tế lượng tài chính. Nhiều mô hình lợi suất cơ bản là mô hình ARDL. 

2.1.7 Mô hình VAR trung bình trượt tự hồi quy theo véc tơ (VARMA)

Mô hình VARMA kết hợp phần tự hồi quy và phần trung bình trượt. Mô hình VARMA có phần tất định có dạng như sau: 

ngoài đường tròn đơn vị thì quá trình là ổn định và được biểu diễn như là tổng trung bình trượt vô hạn.  

Nếu tất cả các nghiệm của phương trình det B z     đều nằm ngoài đường 0tròn đơn vị thì quá trình là khả nghịch và được biểu diễn bằng quá trình tự hồi quy vô hạn. Cả hai quá trình đòi hỏi    t  

Nếu quá trình bắt đầu từ t 0, áp dụng mô hình VAR. Quá trình được rút gọn thành VAR(1) và được giải bằng cùng một phương pháp. 

2.1.8 Xu thế ngẫu nhiên và tất định

Đối với các quá trình không dừng, các cú sốc quá khứ không bao giờ tắt dần. Một quá trình không dừng có thể được phân rã thành 3 phần: xu thế xác định, 

Nếu ta đưa thêm hệ số chặn  v  vào, khi đó: 

Quá trình Y  được gọi là dừng sai phân nếu nó trở thành dừng sau khi lấy sai  t

phân. Quá trình dừng sai phân là tổng của xu thế ngẫu nhiên với một quá trình dừng. 

2.1.9 Dự báo

  Một trong các mục tiêu chính của mô hình hóa tài chính là dự báo. Để đánh  giá  dự  báo  cần  có  các  tiêu  chuẩn.  Một  trong  các  tiêu  chuẩn  được  sử dụng  rộng  rãi  là  cực  tiểu  sai  số  bình  phương  trung  bình  MSE  (mean  square error). Giả sử rằng Y  tuân thủ một số mô hình VAR(p), khi đó:  t

2.2.1 Ước lượng mô hình VAR ổn định

Để ước lượng một mô hình hồi quy tuyến tính, có hai phương pháp: phương  pháp  bình  phương  nhỏ  nhất  và  phương  pháp  ước  lượng  hợp  lý  cực đại. Các phương pháp này  cũng    áp dụng  cho  mô  hình  VAR ổn định không