Về vấn đề giới hạn hàm số, các dạng vô định và cách khử dạng vô định – quy tắc L’hospitale GV.. Tuy nhiên, định lý L’hospitale chỉ là ĐIỀU KIỆN CẦN để xác định giới hạn f/g, trường hợp
Trang 1Về vấn đề giới hạn hàm số, các dạng vô định và cách khử
dạng vô định – quy tắc L’hospitale
GV Ngô An Hòa Kỳ
I/- NÓI VỀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH
Có tất cả 7 dạng vô định, được mô tả như sau:
1 (∞ - ∞) lim f g
0
x x
có dạng vô định (∞ - ∞) khi:
g
;
g
; x
x 0
2 (0 ∞) lim f g
0
x x
có dạng vô định (0 ∞) khi:
0 g
f g
0 f x
x 0
3 (
0
0
)
g
f lim
0
x x
có dạng vô định (
0
0
) khi:
0 g
0 f x
x 0
4 ( )
g
f lim
0
x x
g
f x
x 0
5 (0 0 ) g
x x
f lim
0
khi:
0 g
0 f x
x 0
6 (∞ 0
x x
f lim
0
khi:
0 g
f x
x 0
7 (1 ∞ ) g
x x
f lim
0
g
1 f x
x 0
II/- QUY TẮC L’HOSPITALE
Khi gặp một trong hai dạng vô định trên, ta sẽ biến đổi tương đương như sau:
' g
' f lim
~ g
f lim
0
x x
và tiếp tục biến đổi tương đương như vậy đến khi nào khử triệt để các dạng vô định và xác định được giới hạn Tuy nhiên, định lý L’hospitale
chỉ là ĐIỀU KIỆN CẦN để xác định giới hạn (f/g), trường hợp trong quá trình biến
đổi nảy sinh một hàm tương đương, mà hàm này không tồn tại giới hạn (!!!) Ta chưa thể kết luận được gì về sự tồn tại giới hạn (f/g)!
L’hospitale để khử Như vậy, ta cần biến đổi để chuyển các dạng vô định khác về một trong 2 dạng đã nêu, cụ thể như sau:
2.1 (∞ - ∞) Ta dùng biến đổi đại số bình thường, nhân lượng liên hiệp
2.2 (0 ∞) =
/ 1
0
(dạng 0/0) =
0 / 1
(dạng ∞/∞)
SinhVienZone.Com
Trang 2III/- BỔ TÚC MỘT CHÚT XÍU VỀ ĐẠO HÀM
A/- Một số đạo hàm của các hàm sơ cấp – tối căn bản và đáng nhớ
1 (Cxn)’ = nCx(n-1) Từ đây chúng ta có thể suy diễn:
= 0
1.2 (n
1 (
x n
1
=
n ( n 1 )
x n 1
x Cos
1
2
x Sin
1
2
)
3.2 (logax)’ =
xLna
1 (→ (Lnx)’ =
x
1
) B/- Một số quy tắc và tính chất của đạo hàm
1.3
v
u
v
u ' v v ' u
IV/- ỨNG DỤNG QUY TẮC L’HOSPITALE TÍNH GIỚI HẠN
1 x
) 1 x )(
1 x ( lim 1 x
1 x
lim
1 x 1
x 2
1
x
1
x 2 lim )' x (
)' x ( lim 1 x
1 x lim
1 x 2
1 x 2
1 x
(dùng L’hospitale khử DVĐ 0/0)
2
x
Sinx
lim
0
x
Dễ dàng chứng minh được: Sinx < x < tgx → 1 <
Sinx
x
<
Cosx 1
2
; 0 (
x
Sinx
x
Sinx lim Cosx lim
0 x 0
x
→
x
Sinx lim
0 x
= 1
1
Cosx lim )'
x (
)' Sinx ( lim x
Sinx lim
0 x 0
x 0
x
(dùng L’hospitale khử DVĐ 0/0)
SinhVienZone.Com
Trang 33 =
Cosx
1 lim x
Sinx lim
= xCosx
Sinx lim
= x
tgx
lim
0 x 0 x 0
x 0
x Cos 1
1 lim )' x (
)' tgx ( lim x
tgx
0 x 0
x 0
x
(dùng L’hospitale khử DVĐ 0/0)
2 / x 2
x Sin lim 2
x Sin lim 2
1
= x 2
x Sin lim
= x 2
Cosx 1
lim
0
→ x 0
→ x 2
0
→ x 0
→
x
0x1 = 0
2
Sinx lim )'
x 2 (
)' Cosx 1 ( lim x
2
Cosx 1 lim
0 x 0
x 0
x
(dùng L’hospitale khử DVĐ 0/0)
V/- MỘT SỐ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1
2 x 4
3 x 2
lim
2 x
x x
5
lim
3
5 x 2
1 x x
lim
2 2
x
4
4 x
1 x 2 x
3
lim
3 2 x
5
1 x
8 x
2
lim
2 3 x
6
20 x 12 x
6 x 5 x
lim
2
2 2
x
7
1 x
1 x
lim
n
1
x
8
x
1 x 1
lim
0
x
9
1 x
1 x
lim
3
1