Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số

Giới hạn của hàm số tại một điểm 2.. Giới hạn của hàm số tại vô cực 3.. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến hoặc tại điểm nếu với mọi dãy số... hàm số tại một đi

1 Tìm lim 2 ?

−

1 Giới hạn của hàm số tại một điểm

2 Giới hạn của hàm số tại vô cực

3 Một số định lí về giới hạn hữu hạn.

Nội dung

 Củng cố

hàm số tại một

điểm

a) Giới hạn hữu

hạn

 ĐỊNH NGHĨA 1 (sgk, tr 146)

Giả sử (a;b) là khoảng chứa điểm và f là một

hàm số xác định trên tập hợp Ta

nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x

dần đến (hoặc tại điểm ) nếu với mọi dãy số trong tập hợp (tức

và với mọi n) mà ta đều có

Khi đó ta viết hoặc

0

x

0

( ; ) \ { } a b x

0

( )x n ( ; ) \ { }a b x0 x n ∈( ; )a b

0

n

lim ( ) f xn = L

0

lim ( )

0

( )

hàm số tại một

điểm

a) Giới hạn hữu

hạn

Giả sử và f là một hàm số xác định trên x0 ∈ ( ; )a b ( ; ) \{ }a b x0

0

( ) ( ; ) \{ } lim lim ( )

lim ( )

x x

n

f x L

f x L

→

mà

lim ( ) lim( 3 5) lim lim 3 lim lim5

2 3.2 2 5 3

 Ví dụ 1: Cho f x( ) = −x3 3x2 + +x 5

- Với mọi dãy số (x n ) trong (-2;5)\{ 2 } mà lim x n = 2 , ta có f x( )n = x n3 − 3x n2 + +x n 5

- Ta nói hàm số f có giới hạn là 3 khi x dần đến 2 3 2

lim(x − 3x + + =x 5) 3

- Khi đó ta viết

- Xét x0 = 2 ta có (-2;5) là khoảng chứa 2

- Ta có (-2;5) là khoảng chứa 2

- f xác định trên tập (-2;5)\{2 }

hàm số tại một

điểm

a) Giới hạn hữu

hạn

 Ví dụ 2: Tìm 2 ?

3

4 3 lim

3

x

x

→

−

Giải

+Ta có

2 4 3 ( 1).( 3)

lim f x( )n = lim (x n − = − = 1) 3 1 2

H1? Tìm

2 1

lim

1

x

x

→−

+

+ ĐK:

Do đó: x2 − + = −4x 3 (x 1)(x −3)

mà , ta có ( )x n \{3} lim x n 3

• B2:

3

2

3

x

x

→ − + =

−

• B3: Kết luận

• B1: Xét hàm số:

( )

3

f x

x

=

−

hàm số tại một

điểm

a) Giới hạn hữu

+Ta có

2 3 2 ( 1)( 2)

lim f x( )n = lim (x n + 2) = − + = 1 2 1

H1? Tìm

2 1

lim

1

x

x

→−

+

+ ĐK:

Do đó: x2 + + = +3x 2 (x 1)(x + 2)

mà , ta có ( )x n \{ 1} lim x n 1

• B2:

2 1

1

x

x

→−

+

• B3: Kết luận

• B1: Xét hàm số:

( )

1

f x

x

=

+

hàm số tại một

điểm

a) Giới hạn hữu

hạn

 Nhận xét

hằng số, thì

f x = ∀ ∈ c x R

0 ,

x

lim ( ) lim

x x f x x x c c

a) Nếu g x ( ) = ∀ ∈ x , x R , thì ∀ ∈ x0 R ,

lim ( ) lim

x x g x x x x x

Ví dụ:

2

) lim 3 3

x

a

→ =

6

) lim 3 3

x

b

→− =

2

) lim 2

x

c x

→ =

6

) lim 6

x

→− = −

hàm số tại một

điểm

b) Giới hạn vô cực

a) Giới hạn hữu

hạn

Ví dụ 3: Tìm 2 ?

2

1 lim

( 2)

x→− x +

Giải

0

lim ( )

x x f x

→

• = +∞ ( ) ( ; ) \{ } 0 lim 0

lim ( )

n

f x

mà

0

lim ( )

x x f x

→

• Tương tự: = −∞

• B1: Xét hàm số 2

1 ( )

( 2)

f x

x

=

+ + ĐK: (x + 2)2 ≠ ⇒ ≠ − 0 x 2

• B2: ∀ ( )x n ⊂ R \{ 2} mà , ta có − limx n = − 2

2

1 lim ( ) lim

( 2)

n

n

f x

x

=

+

+ Vì lim 1 1 0,lim( = > x n + 2)2 = 0 và (x n + 2)2 > ∀0, n nên

lim ( )f x n = +∞

• B2: Kết luận 2

2

1 lim

( 2)

x→− x = +∞

+

hàm số tại một

điểm

a) Giới hạn hữu

hạn

2 Giới hạn của

hàm số tại vô

cực

 ĐỊNH NGHĨA 2 (sgk, tr 148)

Giả sử hàm số f xác định trên , ta nói ( ; a +∞ )

( ) ( ; ) lim lim ( )

lim ( )

x

n

f x L

f x L

→+∞

mà

 Các giới hạn

lim ( )

x f x L

→−∞

lim ( )

x f x

→−∞

lim ( )

x f x

→+∞

lim ( )

x f x

→+∞

lim ( )

x f x

→−∞

b) Giới hạn vô cực

được định nghĩa tương tự.

hàm số tại một

điểm

a) Giới hạn hữu

hạn

 Nhận xét: Với mọi số nguyên dương k, ta có

) lim k ;

x

→+∞ = +∞

1 ) lim k 0

x

c

x

→+∞ = ) lim 1k 0

x

d

x

→−∞ =

) lim k x

→−∞

+∞



= −∞



nếu k chẵn nếu k lẻ

2 Giới hạn của

hàm số tại vô

cực

b) Giới hạn vô cực

Ví dụ:

3

) lim

x

→+∞ = +∞ ) lim 4

x

→−∞ = +∞

3

') lim

x

→−∞ = −∞ ) lim 12 0

x

c

x

→+∞ =

3

1 ) lim 0

x

d

x

→−∞ =

hàm số tại một

điểm

a) Giới hạn hữu

hạn

2 Giới hạn của

hàm số tại vô

cực

b) Giới hạn vô cực

3 Một số định lí

về giới hạn hữu

hạn.

 ĐỊNH LÍ 1 (sgk tr 149)

0

lim ( )

x x f x L

0

lim ( )

x x g x M

0

) lim[ ( ) ( )]

x x

0

) lim[ ( ) ( )]

x x

0

) lim[ ( ) ( )]

x x

c f x g x L M

0

( ) lim

( )

x x

f x L

Đặc biệt, nếu c là một hằng số thì

0

lim[ ( )]

x x c f x c L

d) Nếu thì M ≠ 0

 Chú ý: Định lí 1 vừa nêu và định lí 2 tiếp theo vẫn đúng khi thay x → bởi hoặc x0 x → −∞ x → +∞

hàm số tại một

điểm

a) Giới hạn hữu

hạn

2 Giới hạn của

hàm số tại vô

cực

b) Giới hạn vô cực

3 Một số định lí

về giới hạn hữu

hạn.

 Nhận xét: Nếu k là một số nguyên dương

và a là một hằng số thì với mọi ta có∀ ∈x0 R,

x x ax ax

 Ví dụ 4 :

3 2 1

x

2 2 1

) lim

x

b

→−

+

Ví dụ: 3 3

2

Giải

 Ví dụ 5 :

2 2

1 lim

x

x

→+∞

+

− +

Giải

hàm số tại một

điểm

a) Giới hạn hữu

hạn

2 Giới hạn của

hàm số tại vô

cực

b) Giới hạn vô cực

3 Một số định lí

về giới hạn hữu

hạn.

1

) lim( 3 2 3)

x

1

3 2

x

→

3 2 1

Vậy

2 2 1

2 1 ) lim

x

b

→−

+

Với , ta có 2 22 1 ( 1)2 1

1

Do đó

2

1 2

1

x

x

x

→−

→−

+

2 2 1

hàm số tại một

điểm

a) Giới hạn hữu

hạn

2 Giới hạn của

hàm số tại vô

cực

b) Giới hạn vô cực

3 Một số định lí

về giới hạn hữu

hạn.

 Ví dụ 5 : lim 2

+

− +

Giải

Chia tử và mẫu phân thức cho x2 ta được

2

2

1 1 1

, 0

1 1

x

x x

x x

+

lim (1 ) lim 1 lim 1 0 1

x→ +∞ + x = x→ +∞ + x→ +∞ x = + =

Ta có

lim (2 ) lim 2 lim lim 2 0 0 2

x→ +∞ − +x x = x→ +∞ − x→ +∞ x + x→ +∞ x = − + =

Do đó

2

x

x

→ +∞

→ +∞

hàm số tại một

điểm

a) Giới hạn hữu

hạn

b) Giới hạn vô cực

3 Một số định lí

về giới hạn hữu

hạn.

1 Theo định nghĩa, để tính giới hạn của hàm

số tại x 0 ta thực hiện ba bước:

• B1: Xét hàm số f(x) trên tập xác định của nó

và mẫu f(x) thành tích, sau đó rút gọn.

• B2: : Với mọi dãy số mà( ),x x n n ≠ x0 , ∀ ∈n N*

0

lim x n = x

2 Giới hạn tại vô

cực:

PP: Tương tự như giới hạn dãy số

• B3: : Kết luận

0

lim ( )

2 Giới hạn của

hàm số tại vô

cực

1 Giới hạn của hàm số tại một điểm

2 Giới hạn của hàm số tại vô cực

3 Một số định lí về giới hạn hữu hạn.

Nội dung

 Củng cố

- Về nhà làm bài tập trang 151-152.

- Xem tiếp bài 5.