phuong trinh mat phang CB

PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG 1.

PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG

1 Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng : VTPT

Véc tơ n

 0

và n

 mp  gọi là VTPT của mặt phẳng  Ký hiệu : n

hoặc n

Chú ý: + Nếu a

và b là hai véc tơ không cùng phương và các đ thẳng chứa chúng song song (hoặc nằm trên ) mp thì n

=[ a

,b ] là VTPT của

mp  Hai véc tơ a

,b

gọi là cặp VTCP của mp

+ Mặt phẳng (ABC) có n

= [ AB

, AC

] là VTPT

2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng :

Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 0

Có n

=(A;B;C) là một VTPT

 Mặt phẳng  qua M(x0;y0;z0) có VTPT n

=(A;B;C) thì pt là : A(x  x0) + B(y  y0) + C(z  z0) = 0



a

x

+

b

y

+

c

z

= 1 gọi là pt mặt phẳng chắn qua A(a;0;0), B(0;b;0),

C(0;0;c)

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng (α) qua M(1;2;3) nhận

n

=(2;1;5) làm VTPT

Giải : Phương trình mặt phẳng (α) là :

2(x1) 1(y+2)+5(z3) = 0

<=> 2x y +5z 19 =0

Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng  qua P(1;2;5) và song song với mặt phẳng : 2y –3x + z – 5 = 0

Giải : Vì mặt phẳng  song song mặt phẳng  nên có VTPT

n



= n

=(3;2;1) Vậy phương trình mặt phẳng () : 3(x1) +2(y+2) +1(z5) = 0

Ví dụ 3: Lập phương trình mặt phẳng  qua A( 2;1;4) và có cặp VTCP

a

= (3;1;2) ; b

=(0;5;3)

Giải: + VTPT của mặt phẳng  là n

=[ a , b ]=(13;9;15) + Mặt phẳng  qua a nhận n

làm VTPT có phương trình : 13(x+2) – 9(y – 1) + 15(z  4) = 0  13x –9y +15z – 25 =0





n



Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB biết A(2;1;4); B(4;3;6)

Giải : + Gọi I là trung điểm của AB  I(3;2;5)

+ véc tơ AB

= ( 2;2;2) Mặt phẳng trung trực đoạn AB qua I và nhận AB

làm VTPT có phương trình : 2(x – 3) –2(y + 2) + 2(z – 5) = 0  x – y + z – 10 = 0

Ví dụ 5: Lập phương trình mặt phẳng  qua B( 3;2;5) và vuông góc với PQ biết P(2;1;3) , Q(3;4;5)

Giải : PQ

=(1;5;2) làm VTPT

Phương trình mp(α) là : 1( x3) +5(y+2)2(z5) =0

<=> x+5y 2z +17=0

Ví dụ 6: Lập phương trình mặt phẳng qua ba điểm A,B,C biết

A( 1;1;3) ; B(2;0;4) C(2;5;1)

Giải: Cách 1 : + ta có AB

= (1;1;1) ; AC

= (1;4;2)

n = [ AB

, AC

]=(2;3;5) Phương trình mặt phẳng (ABC) qua A nhận n

làm VTPT là : 2(x – 1) + 3(y + 1) 5(z – 3) = 0 <=> 2x + 3y – 5z + 16 = 0

Cách 2: Phương trình tổng quát của mặt phẳng  :

Ax + By + Cz + D = 0 A( 1;1;3) () : A – B + 3C + D = 0

B(2;0;4) () : 2A + 4 C + D = 0

giải được A = 2 ; B = 3 ; C = 5

C(2;-5;1) () : 2A 5B + C + D = 0 => D = 16

Phương trình mp () : 2x  3y + 5z  16 = 0

Ví dụ 7:Lập phương trình mặt phẳng  qua các hình chiếu của M(1;4;3) trên các trục toạ độ

Giải : M chiếu lên trục Ox được M1(1;0;0)

M chiếu lên trục Oy được M2(0;4;0)

M chiếu lên trục Oz được M3(0;0;3)

Phương trình mặt phẳng (M1M2M3) có phương trình là :

x 1

 + y

4+z

3 = 1

Ví dụ 8: Viết phương trình mặt phẳng đi qua E(0;2;3) ; F(4;5;3) và có VTCP a

=(3;2;5)

Giải : EF

= ( 4;3;6) là VTCP của mp ;

VTPT n

= [ EF

, a ]=(27;2;17 ) Mặt phẳng () qua E nhận n

làm VTPT là : 27(x – 0) 2(y – 2 ) –17(z + 3) = 0

 27x –2y –17z – 47 = 0

Ví dụ 9:a) Lập Phương trình mặt phẳng  qua điểm M(2;3;4) và vuông góc với trục z/Oz

b) Lập phương trình mp β qua P(2;1;5) và vuông góc với trục y/Oy

Giải :a) vì ()  trục z/Oz => k

=(0;0;1) làm VTPT của mp(α)

=> phương trình mặt phẳng (α) : 0( x+2) +0(y3) +1(z+4) =0 <=> z+4=0 b) Vì (β) vuông góc với trục y’Oy => J

=(0;1;0) làm VTPT

=> Phương trình mp(β) là : 0(x+2) +1(y1) +0(z5)=0 <=> y1=0

Ví dụ 10: Viết phương trình mặt phẳng  qua P(3;1;1) ;Q( 2;1;4) và vuông góc mặt phẳng  : 2x – y + 3z – 1 = 0

Giải:     n

= (2 ;1 ;3) là một VTCP của mp () Và PQ

= ( 1;2;5 ) cũng là VTCP của mp () VTPT n

=[ n ,PQ

]=(1;13;5) Phương trình mặt phẳng () qua P nhận n

làm VTPT là : 1(x – 3) –13(y –1 ) –5(z + 1) = 0  x –13y –5z +5 =0

Ví dụ 11: Viết phương trình mặt phẳng  qua M(2;1;2) , song song trục

y/Oy và vuông góc mp  : 2x + y – 3z – 5 = 0

Giải : + ()  trục y/Oy nhận j

=(0; 1 ; 0 ) làm VTCP + () () => n

= (2;1;3) làm VTCP + n

= [j

, n

]= (3;0;2)  phương trình mp () : 3x + 2z –10 = 0

Ví dụ 12: Viết phương trình mặt phẳng  qua N(5;3;6) , vuông góc với

2 mp  : 3x +2y – 5z –4= 0 và  : x+2y z+11=0

Giải : + () () => n

= (3;2;5) làm VTCP + () () => n

= (1;2;1) làm VTCP

+ n

= [ n

, n

]= (8;8;8)

 phương trình mp () : 8(x5) +8(y3)+ 8(z+6) = 0

<=> x+y+z 2=0

Ví dụ 13: Lập phương trình mặt phẳng  qua hai điểm M(2;3;4) ; N(3;1;6) và song song trục z/Oz

Giải : vì () // trục z/Oz => k

=(0;0;1) làm VTCP + MN

= (5;2;2) cũng là VTCP + n

= [ k , MN

] =(2;5;0)

=> phương trình mp () : 2x + 5y –11 = 0

Ví dụ 14: Lập phương trình mp qua M(1;3;2) và chứa trục z/Oz

Giải: Cách 1: Mặt phẳng() chứa trục z/Oz phương trình có dạng

A x + By = 0 () M(1;3;2) () => A – 3B = 0 ; chọn B = 1 ; A = 3 Phương trình mp () là : 3x + y = 0

Cách 2: Mp(α) chứa trục z’Oz

=> chứa điểm O và nhận k

=(0;0;1) làm một VTCP

n



= [ k , OM

] =(3;1;0) => phương trình mặt phẳng (α) : 3(x1)+1(y+3) =0 <=> 3x+y = 0

Ví dụ 15: Lập phương trình mặt phẳng () các mặt phẳng mp(P) một khoảng bằng 3 , biết (P) : 2x y+2z 11=0

Giải : Vì d(();(P)) =3 => () //(P)

=> phương trình () : 2x y+2z +D=0 ( D≠ 11)

+ Chọn một điểm M  (P) => M( 0;11;0)

Ta có d(();(P)) =3 <=> d(M;()) =3 <=>

11 D



=3

<=>11 D =9 <=> D 2

 





 

 Vậy có hai mặt phẳng () : 2x y+2z 2=0 ;  2x y+2z 20=0

Ví dụ 16: Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;1) , B(0;1;3) và mặt phẳng (): 3x5y2z +3=0 Lập phương trình mặt phẳng () song song với () và cách đều hai điểm A và B

Giải : Vì () //() => phương trình () có dạng : 3x5y2z +D=0 (D≠3)

Mặt phẳng () cách đều hai điểm A, B => d(A; ()) = d(B; ())

<=>

11 D

3 ( 5) ( 2)



=

1 D

3 ( 5) ( 2)



<=> D 11 = D 1 <=>D=6

Vậy phương trình mặt phẳng () : 3x5y2z 6=0

