b Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi P1 và P2.
Trang 1VIII.TÍCH PHÂN
106) Cho f(x)= 2 3
) 1 x (
3 x x
, tìm A, B và C sao cho:
f(x)=
1 x
C ) 1 x (
B )
1 x (
A
2 3
) 1 x (
3 x x
3
2
) 2 x (
2 x x
3
3
108) Tính x(22x3x3)dx2
109) Tính xx3 1dx
2
110) Tìm A, B , C để sinxcosx+1= A(sinx+2cosx+3)+B(cosx2sinx) +C
Kq: A=
5
1
; B=
5
3
và C=
5 8
111) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a) y=
x
1
x
b)
y=2
2
x sin 2
) 1 3
x ( x
xsinx+C
c)
y=
x cos x sin
1
2 2
d)
y=
x sin x cos
x cos
tgxcotgx+C
sinx+cosx+C
Trang 2
112) Tìm nguyên hàm F(x) của f(x)= x3x2+2x1 biết rằng F(0) = 4
Kết qua: F(x) =
3
x 4
x 4 3
+x2x+4
113) Tính đạo hàm của F(x) = x l nx-x , rồi suy ra nguyên hàm của f(x)= l nx
Kết qua: F(x) = x l nx-x+C
114) Tìm A và B sao cho với mọi x 1 và x2 , ta
có:
1 x
B 2 x
A 2 x 3 x
1 x
2
Từ đó, hãy tìm họ nguyên hàm của hàm số:
2 x x
1 x )
x
(
Kết qua: A=3; B= 2 F(x) = 3 l nx22 l nx1+ C= l n
2
3
)
1
x
(
2
x
+C
115) Tính các tích phân:
a)cot gx dx
b) cot g 2 x dx
c)
sin 2 x cos xdx
l nsinx+C
cotgxx+C
d) dx
x ln x 1
e) 2 cos x 3
e sinxdx
f) sindxx
l n l n x+C
3 cos 2
e 2
Trang 31
2
x
tg +C
116) Tính các tích phân:
a)
2
1
2
2
dx
x
2
2
x
b)
3
1
2
dx x
x
4
x
c)
2
2
2
dx
|
1
x
|
d)
4
0
2
xdx
tg
1
12
4
4
4
e)
3
4 2
2
dx x cos
x g cot 2 3
f)
4
6 2
3
dx x sin
x sin 1
g)
2
0
2
xdx cos x sin
3 15 3
11
2
2 2
3
3 1
117) Tính các tích phân:
Tích phân Kết
quả
Tích phân Kết quả
a)
1
dx
b)
2
1
2
)
1
x
2
(
dx
ln2
x cos 3 1
x sin
2
0
3 2
ln2
Trang 4c) dx
1 x x
2 x 4
0
2
d)
4
0
tgxdx
e)
2
ln
0
x x
3 e
dx e
f)
2
0
3
dx x cos
3 1
2ln3
ln 2
ln
4 5
3 2
h)
2
6 2
3
dx x sin
x cos
i)
2
3
dx x cos x sin
x cos x sin
1
0
2
dx 1 x x ) 1 x 2 (
k)
e
1
2
dx x
x ln
2 1
ln( 3+1)
0
3 1
118) Chứng minh rằng:
a)
2 x sin 2 3
dx 4
4 3
4
2
b) 54 2 ( x 7 11 x ) dx 108
11
7
119) Tính các tích phân:
a)
4
0
dx x 2 sin
x x
e
1
ln
1
Trang 5c) 3 3
2
0
sin
cos
xdx
x
d)
4
0
4
xdx
tg
e)2
4
4
sin
dx
x
f)13
0
1 xdx
g) x x 1 dx
1
0
2
h)
1
0
2
1
x
x
dx
k)
1
0 1
x
x
e dx
e
l)
2
0
3 cos x dx
x
sin
) 1 2 2 ( 3
2
2 1
12
8
3
3 4
4 3
) 1 2 2 ( 3
1
3 3
) 2 1 e (
2
Trang 64 3
120) Tính các tích phân:
m)
2
2
2
1 x
x
dx
3
9 x dx
o)
1
dx
1
0
2 2
dx x 1
x
q)
3
0
2
1
r)1 2
2
1
2
1 x
dx
x
s)
1
0
x
e
1
dx
t)
2
dx
u)
3
0
2
x
cos
xdx
sin
v)
2
0
x cos
1
x
sin
Nhân tử số và mẫu số cho
x.Kq:
12
2 9
6
x=sint Kq:
16
) 3 2 ln(
2
1
3
3
3
TS+exex.Kq:l n
1 e e
Trang 7w)
1
dx x
x
ln
1
1
4
5 1
121) Tính các tích phân:
a)
1
0
2
dx
xe x
b)2
0
(x 1) cosxdx
4
1
e 2
2
2
c)
e
1
xdx ln
d)
4 2
0 cos
xdx x
1
2 ln
4
quả
e) 2
0
sin cos
f)
e
1
2
dx
)
x
(ln
g)
1
2
dx ) x
1
ln(
8
e2
h)
1
2 0
i) cos 0
(e x x) sinxdx
2 1
Trang 82
j) 2
0
sin
x
e
1 e
2
1
e 2
122) Chứng minh rằng:
2
0 2
0
dx ) x (cos f dx ) x (sin
2
t
b
0 b
0
dx ) x b ( f dx ) x (
2
0 a
0
2 3
dx ) x ( xf 2
1 dx ) x ( f
2
0 2
0
dx ) gx (cot f dx ) tgx (
2
t
2
0 0
dx ) x (sin f dx ) x (sin
0
2 dx x cos 1
x sin x
Hướng dẫn: Lần 1, đặt x= t Lần 2, để tính
2
dx ) x (sin
2
+s
và kết quả bài 118a) Tính
0
x cos 1
x sin x
=
0
x cos 1 x sin , đặt t=cosx,
kq:
4
2
Trang 9123) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số chẵn,liên tục trên đoạn
[a;a] (a>0) thì:
a
0 a
a
dx ) x ( f 2 dx ) x (
124) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ, liên tục trên đoạn [a;a] (a>0) thì: f ( x ) dx 0
a
a
Hd: t=x
125) Chứng minh rằng: x sin xdx 0
8
8
7 6
Áp dụng bài 124)
126) Chứng minh rằng:
1
0
x cos 1
1
x cos
dx e 2 dx
127) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ thì:
x
a x
a
dt ) t ( f dt ) t (
Hd: t=x
128) Chứng minh rằng sin x f (cos x ) dx 0
a
a
Áp dụng bài 124)
a
0
2 a
a
2
dx ) x ( f x cos 2 dx ) x ( f x
130) Chứng minh rằng
1
0
m n 1
0
n m
dx ) x 1 ( x dx ) x 1 (
131) Tính các tích phân sau:
a)
2
2
2
dx ) 1 x x
ln(
Hs lẻ: 0
Trang 10
2
6
dx
x
cos
1
x
sin
x
c)
2
1
x
x
ln
d)
2
ln
0
x
dx
e
.
x
e)
e
e
1
dx
|
x
ln
|
f)
1
0
2
3
dx
1
x
x
g)
2
0
6
dx sinx
cosx
-1
) 3 1 (
6
64
2 ln 256
15
2
e ln
e
) 1 e (
2
2
e ln
7 6
h)
3
ln
x
)
1
e
(
dx
e
k)
0
1
3
x
dx ) 1 x
e
(
x
l)
4
0
dx
x
2
cos
1
x
m)
4
0
2
dx x
2
sin
1
x
sin
2
1
1
2
7
4 e
3
2
) 2 ln 2
( 4
1
Trang 11n)
5
2
4 x
x
dx
o)
1
0
2 3
dx x -1
x
p)
5
ln
2
x
dx 1 e
e
q)
2
0
2
dx | x
-x
r)
1
0
2
3
dx
e
x
s)
e
l
2
dx lnx
x
1
x
2 ln
3
5 ln 4 1
15 2
3 20
1
u=x2, dv=?
2 1
) 3 e ( 4
1 2
132) Cho In =
1
0
x n
dx e
a) Tìm hệ thức liên hệ giữa In và In1 (n≥1)
b) Áp dụng tính I3 =
1
0
x 3
dx e
x Kết quả: 62e
133) Cho In =
4 n
dx x
tg (n N )
Trang 12a) Chứng minh rằng In > In+1 Hd: In>In+1,x(0;
4
) b) Tìm hệ thức liên hệ giữa In+2 và In
Hướng dẫn: In+2 =
4
0
2 n
dx ).
1 x cos
1 ( x
tg In + In+2=
1 n
1
134) Tính In =
0
n
dx nx cos x
Hướng dẫn: đặt
dx nx cos dv
x cos
, tìm được In=
2
1
In1=…= n1
2
1
I1= n
2
135) Tính In =
2
0
n
dx x cos (n N )
Hướng dẫn: đặt
dx x cos dv
x cos
, tìm được In=
n
1
n In2
Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận :
n=2k ( n chẵn): In=
2
n
4 2
) 1 n (
3
n=2k+1 ( n lẻ): In=
n
5 3
) 1 n (
4
136) Cho In =
2
0
n
dx x sin (n N )
a) Chứng minh rằng In+2 =
2 n
1 n
In
b) Chứng minh rằng f(n) = (n+1).In.In+1 là hàm hằng
c) Tính In
Hướng dẫn:
Trang 13a) Đặt
dx x sin dv
x sin u
b) Chứng minh f(n+1)=f(n) f(n)=…=f(0)=
2
c) Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận :
n=2k ( n chẵn): I2k=
2
k 2
4 2
) 1 k 2 (
3
n=2k+1 ( n lẻ): I2k+1=
) 1 k 2 (
5 3
k 2
4 2
137)a) Tính I0 =
1
0
2 x
dx e ).
1 x 2
b) Chứng minh rằng In =
1
0
2 x 1 2
dx e ) 1 x 2
hồi
138) Tìm liên hệ giữa In =
2
0
n
dx x cos
x và Jn =
2
0
n
dx x sin
x và tính I3
Kết quả: ) 3 6
2 ( 3
139) Giải phương trình:
x
0
t
dt
140) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= x2+3x2, d1:y =
12 1
141) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= x33x và đường
thẳng y=2
Trang 14Kq:
4 27
142) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi x 1
2
5 x y : ) P
1 x 2
3 -x y
:
)
P
(
3 8
143) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y=x(3x)2, Ox và x=2;
x= 4 Kq: 2
144) Cho hai đường cong :
2 : ) 2
: ) (
2 1
x y x
y
P và (P2 a) (P1) và (P2) cắt nhau tại O, M tính tọa độ điểm M
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P1) và (P2) Kq:
3
4
145) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) : y2-2y+x = 0 và (d) : x+y = 0
Hướng dẫn: Ta cĩ (P) : x = -y2+2y và (d) : x = -y.Tung độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm phương trình y2-3y = 0 y=0 V y=3 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm
là:
2
9
dy ) y y ( dy ) x x ( S
3
0 2 3
0
d
146) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
a) (C): y = cosx ; y = 0 ; ; x
2
2 9
Trang 15c) (C): y = 2x3 – x2 – 8x + 1 ; (d): y = 6 Kq:
96
2401
d) (P): y = - x2 + 6x – 8 và tiếp tuyến tại đỉnh của (P) và trục tung
Kq: 9
e) (C): y = x3 – 3x và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x =
2
1
Kq:
64 27
f) (C): y=
2
1
x2-2x+2 và các tiếp tuyến với (C) kẻ từ
1
; 2
5
8 9
2x e
1
2
3 e
1 e 2
1 2
3 16
147) Tính thể tích của vật thể do các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục Ox:
2 2
x 2
1
2 2 2
2 3
e Kq
0 y , 2 x , 1 x , e x y f) 6 Kq
1 4 y 9 x : (E) e) 3 32 : Kq
x y , 4x y d) 6 625 Kq
0 y , x 5x y c) 14 23 Kq
1 x , 0 x , 0 y , 1 x y b) 12 Kq
4
x , 1 x , 0 y ,
x
4
y
a)
Trang 16
x.e , x 1 , y 0 Kq
y
g)
148) Cho (E) : 9x2 + 25y2 = 225 ;(d):y =
2
3 Tính diện tích hình phẳng
5-4
3
15
149) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y=2x2 , (C): y= 2
x 1
và Ox
Kq:
2 3
2
150) Tính V của vật thể do (H) giới hạn bởi: y2 = x3(y≥0) , y = 0, x= 1
4
7 4
151) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y=
1 x
1 x
, tiệm cận ngang của (C) và các đường thẳng x = –1; x = 0
Kq: 2ln2