HKG 2012 MOI NHAT

VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết pt mp biết điểm thuộc mp và vectơ pháp tuyến... Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d..  Viết ph

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đơi một vuơng gĩc được gọi là hệ trục toạ độ vuơng gĩc Oxyz

trong khơng gian z

 k

 i O  j y

x

 O ( 0;0;0) gọi là gĩc toạ độ

 Các trục tọa độ:

 Ox : trục hồnh

 Oy : trục tung

 Oz : trục cao

 Các mặt phẳng toạ độ:

 (Oxy), (Oyz), (Oxz) đơi một

vuơng gĩc với nhau

    , ,

i j k là các véctơ đơn vị lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz

 i

= (1;0;0), j

= (0;1;0), k

= (0;0;1)

 i  j  k 1

và i2 j2 k2 1

 i j

, jk

, k i

  i j  0

,  j k  0

, k i   0

 i j ,   k

,  j k,   i

, k i ,   j

CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ

 M Ox M(x;0;0)

 M Oy M(0;y;0)

 M Oz M(0;0;z)

 M (Oxy) M(x;y;0)

 M (Oyz) M(0;y;z)

 M (Oxz) M(x;0;z)

 Tọa độ của điểm:         ( ; ; )

 Tọa độ của vectở:   1   2   3     ( ; ; )1 2 3

CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ

Cho   1; 1; 1, 2; 2; 2

a x y z b x y z và số k tuỳ ý, ta cĩ:

1 Tổng hai vectơ là một vectơ

      1 2; 1 2; 1 2

a b x x y y z z

2 Hiệu hai vectơ là một vectơ

      1 2; 1 2; 1 2

a b x x y y z z

3 Tích của vectơ với một số thực là một vectơ

    1; 1; 1  1; 1; 1

k a k x y z kx ky kz

4 Độ dài vectơ Bằng hoành2 tung2 cao2

  12 12 12



5 Vectơ khơng cĩ tọa độ là:

 0    0; 0; 0 

6 Hai vectơ bằng nhau: Tọa độ tương ứng bằng nhau

Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B

3) Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:

4) Tọa độ trọng tâm của tam giác:

Cho ABC với A(xA; yA; zA),B( xB, yB, zB), C( xC, yC, zC)

3

; ; 3

A B C

A B C G

Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng:

C B

ba điểm nằm trên 1 đường thẳng

Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta

thực hiện các bước sau:

phương, nên ba điểm A, B, C thẳng hàng

Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C KHÔNG thẳng hàng:

C B

A

Ba điểm A, B, C không thẳng hàng

 hai vectơ  ,

AB AC không cùng phương   ,  0

AB AC

Để chứng minh ba điểm A,B,C KHÔNG thẳng

hàng ta thực hiện các bước sau:

Chú ý: Ba điểm không thẳng hàng chính là ba đỉnh của một tam giác

Vấn đề 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, bốn điểm không đồng phẳng

Dạng 1: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D KHÔNG đồng phẳng

Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D không đồng

phẳng ta thực hiện các bước sau:

Chú ý:

 A, B, C, D không đồng phẳng khi đó A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện ABCD

 Vậy để chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện ta đi chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng

Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D đồng phẳng

ta thực hiện các bước sau:

Vấn đề 3: Hình chiếu vuông góc

Hình chiếu vuông góc lên trục tọa độ Hình chiếu vuông góc lên mp tọa độ

1 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của

điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) trên các trục tọa độ

Phương pháp

2 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) trên các phẳng tọa độ

Phương pháp

Chú ý: Thể tích không âm

Vấn đề 5: Diện tích tam giác

Diện tích tam giác ABC

-2

he äsoá yb

-2

he äsoá zc

 Gọi I trung điểm ABI ; ;  

 Mặt cầu có tâm I(a;b;c)

Phương pháp:

 Pt mặt cầu (S): x a 2 y b 2 z c 2 R (*) 2

 Mặt cầu có tâm I(a;b;c)

 Do mặt cầu tiếp xúc mp(P) nên:      

Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu dạng: x y z 2ax-2by-2cz+d=0

Loại 1: Lập phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D

Phướng pháp

 Pt mặt cầu (S) cĩ dạng: x2 y2 z2 2ax-2by-2cz+d=0(*)

 Vì A, B, C, D thuộc (S):

thế tọa độ điểm A vào pt (*)

thế tọa độ điểm B vào pt (*)

thế tọa độ điểm C vào pt (*)

thế tọa độ điểm D vào pt (*)

Chú ý: Đề bài cĩ thể hỏi thêm xác định tâm, tính bán kính, tính diện tích xung quanh và thể

tích khối cầu ngoại tiếp hình chĩp

Loại 2: Lập Pt mặt cầu qua ba điểm A, B, C và cĩ tâm thuộc mp (P): Ax+By+Cz+D=0 Phướng pháp

 Pt mặt cầu (S) cĩ dạng: x2 y2 z2 2ax-2by-2cz+d=0(*)

 Vì A, B, C thuộc (S):

thế tọa độ điểm A vào pt (*)

thế tọa độ điểm B vào pt (*)

thế tọa độ điểm C vào pt (*)

 Vì tâm I(a;b;c) thuộc (P) nên thế tọa độ a;b;c vào pt của (P) ta được phương trình thứ

tư Ta giải hệ bốn pt, ta tìm được a,b,c,d

VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết pt mp biết điểm thuộc mp và vectơ pháp tuyến

Loại 1: Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z và cĩ  0 0 0

vectơ pháp tuyến n A; B;C

Phương pháp:

Loại 2: Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z và song  0 0 0

song hoặc chứa giá của hai vectơ a , b 

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và

vuông góc với đường thẳng d

 Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’

 Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’

Dạng 2: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và

song song với mp(Q)

Q)



A

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d

Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mp trung trực

của đoạn thẳng AB

Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S):

Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm A

Điều kiện tiếp xúc:

Đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S)

Vấn đề 5: Khoảng cách:Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

Chú ý: Hai đường thẳng song song cùng vectơ chỉ phương

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P)

VẤN ĐỀ 7: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Tìm giao điểm của đường thẳng d:

0 0 0

 Gọi H là giao điểm của d và (P)

 Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt:

0 0 0

VẤN ĐỀ 8: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN MP(P)

Phương pháp:

 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M

và vuông góc với mp(P)

 Tìm giao điểm H của d và (P)

 Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên (P)

Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên (P) chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua M

 Tìm giao điểm H của d và (P)

 Do M và M’ đối xứng qua (P) nên H là trung điểm của

đoạn thẳng MM”

/

/ /

/

/ /

2 2

2 2

H M M

M M H

 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M

và vuông góc với đường thẳng d

 Tìm giao điểm H của d và (P)

 Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên d

Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d chính là giao điểm của đường thẳng

d đi qua M và vuông góc với (P)

VẤN ĐỀ 11: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA đường thẳng d

Phương pháp:

 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và

vuông góc với đường thẳng d

 Tìm giao điểm H của d và (P)

 Do M và M’ đối xứng qua d nên H là trung điểm



M



H )

(d)

của đoạn thẳng MM’

/

/ /

/

/ /

2 2

2 2

H M M

M M H

Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua d khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’

VẤN ĐỀ 12: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

cùng phương khi đó d song song với d hoặc d trùng với d’

o Nếu M thuộc d mà không thuộc d’ thì d song song d’

o Nếu M thuộc d và cũng thuộc d’ thì d trùng với d’

VẤN ĐỀ 13: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MP

Phương pháp: Để xét vị trí tường đối của đt d:

0 0 0

o Pt(*) có một nghiệm t d cắt mp(P) tại một điểm

o Pt (*) vô nghiệm  d song song với (P)

o Pt(*) có vô số nghiệm t  d nằm trong (P)

(d)

Chú ý:

 0t 1 voâ nghieäm.

0t =-2 voâ nghieäm.



0t  0 voâ soá nghieäm

VẤN ĐỀ 14: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH

1/ Chứng tam giác ABC là tam giác vuông tại

 Nếu tam giác ABC vuông tại B   BC  BA   BC BA.BC 0     

 Nếu tam giác ABC vuông tại C C   CB  CA   CB CA.CB 0     

2/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’

VUÔNG GÓC với nhau

 Kết luận d và d’ vuông góc với nhau

3/ Tìm tham số để đường thẳng d VUÔNG GÓC đường thẳng d’

Phương pháp:

Do d  d '  a d  a d '  a a  d d '  0  

ta giải pt tìm được tham số

4/ Chứng minh đường thẳng d SONG SONG với đường

thẳng d’

Cần nhớ:

 Hai đường thẳng song song không có điểm

chung tức là mọi điểm thuộc đường thẳng này nhưng

không thuộc đường thẳng kia

 Hai đường thẳng song song khi hai vectơ chỉ

phương cùng phương với nhau

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng d và d’ SONG SONG với nhau:

Cách 1:

Bước 1: Chứng minh hai vectơ chỉ phương a,a'  

cùng phương:

Bước 2: Chọn điểm M thuộc d rồi chứng minh M không thuộc d’ Rồi kết luận

5/ Tìm tham số m để đường thẳng d SONG SONG đường thẳng d’

d:

0 0 0

' ' '' ' '' ' '

 Gọi I là giao điểm của d và d’

 Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ pt:

' ' ' (1) ' ' ' (2) ' ' ' (3)

 Thế t và t’ vào pt của d hoặc của d’ để tìm tọa độ giao điểm I

7/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CẮT nhau

 Chứng minh:

a,a' 0 a,a' MM' 0

Cách 2: Tìm giao điểm của d và d’

8/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CHÉO nhau

 Chỉ ra một điểm M thuộc d và một vectơ chỉ phương a 

VẤN ĐỀ 17: ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG

Cho đường thẳng d có phương trình tham số:

0 0 0

 Đường thẳng là tập hợp vô số điểm

 Nếu chọn điểm M thuộc d thì điểm M có tọa độ là: M x  0  at; y0  bt;z0  ct  VẤN ĐỀ 18: GÓC

1/ Góc giữa hai đường thẳng là góc giữa hai vectơ chỉ phương

cos = cos a,a'  a.a'

VẤN ĐỀ 19: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG (P) VÀ MẶT CẦU (S)

 Xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu (S)

 Tính khoảng cách d từ tâm I đến mp(P): d  d I, P    

o TH1: d   r (P)  (S)=  (hay (P) và (S) khơng cĩ điểm chung)

o TH2: d   r (P) tiếp xúc cới mặt cầu (S).

o TH3: d   r (P) cắt (S) theo thiết diện là một đường tròn (C).

CÁC DẠNG TỐN ƠN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2012 Vấn đề 1: Phương trình mặt phẳng

2 Các dạng tốn

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua một điểm M(x ; y ;z )0 0 0 và

- Gọi H là tâm của (C)

Khi đĩ H chính là giao điểm của đường thẳng d đi

qua tâm I và vuơng gĩc mp(P)

- Gọi r’ là bán kính của (C)

Khi đĩ: r2  R2  d2   r R2  d2

Cần nhớ: H là hình chiếu vuơng gĩc của I lên (P)

nên tam giác IMH vuơng tại H

Với: R=IM, d=IH=d I, P     và r=MH

H M

d r’

r

1 Kiến thức cần nhớ:

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ n0

 đgl vectơ pháp tuyến của mp(P) nếu giá của n

vuơng gĩc với (P), viết tắt là n(P)



- Nếu hai vectơ a, b 

khơng cùng phương cĩ giá song song hoặc nằm trên mp(P) thì mp(P) cĩ một vectơ pháp tuyến là: nP a,b

một điểm M(x ;y ;z ) thuộc mpmột VTPT n A; B;C

Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đt d:

Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2)

1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AC

Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng AC nhận vectơ AC

làm vectơ pháp tuyến

2 Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với BC tại B

- Gọi (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB

- Gọi I là trung điểm của ABI 2;2;2 

- Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2)

Bài 5: Cho điểm M(1;2;3)

1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Ox

- Pt mp(P) : A x x  0B y y  0C z z  0  0

         



x 1 0 y 2 0 z 3 0x-1=0

Bài 2: Cho hai điểm M(1;1;1), N(1;-1;1) Viết phương trình mp(OMN)

Bài giảiHD Ñieåm ñi qua O, VTPT nP OM,ON

Cần nhớ: Hai mp song song cùng VTPT

Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Viết phương trình mp(P) qua điểm

M(1;2;3) và song song với mp(ABC)

Bài 4: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxz)

Bài 5: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oyz)

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua hai điểm A, B và vuông góc

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1)

- Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là:

Bài 2: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp(Oxy)

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1)

- Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là:

Bài 3: Viết pt mp(P) qua gốc tọa độ, điểm A(1;1;1) và vuông góc với mp(Oyz)

- Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0)

- Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là:

- Đường thẳng AB qua điểm A(1;2;3)

- Đường thẳng AB cĩ vectơ chỉ phương là: a AB AB

- Đường thẳng OG qua điểm O(0;0;0)

- Đường thẳng OG cĩ vectơ chỉ phương là: aOG OG

một điểm M(x ;y ;z ) thuộc đường thẳngmột VTCP a a; b;c

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mp(P)

- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3)

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a d nP

Cần nhớ: Đường thẳng vuông góc mp nhận VTPT của mp là VTCP

Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Viết pt đường thẳng d qua gốc tọa độ và vuông góc mp(ABC)

- Đường thẳng d qua điểm O(0;0;0)

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ad nABC AB,AC

- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3)

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ad k

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và song song đường thẳng d’

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và song song với đường

- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3)

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a d ad '

- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3)

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a d ad '

- Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3)

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ad BC

- Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3)

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a d i

- Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3)

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ad  j 0;1; 0

Dạng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Bài 1: Tìm giao điểm của đường thẳng d:

- Gọi H(x;y;z) là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)

- Xét pt: -1+t-1+t-2(-2t)-4=0

t+4-4=0-2+2t=0 2t=2 t=1x=-1+1=0

y=-1+1=0 H(0;0; 2)z=-2.1=-2

Cần nhớ: Nếu đường thẳng cho ở dạng chính tắc thì ta chuyển pt chính tắc về dạng tham số

Bài 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d: x 1 y 1 z

 Viết phương trình tham số của đường thẳng d

- Đường thẳng d qua điểm M(-1;-1;0)

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ad 1;1; 2 

 Tìm giao điểm của đường thẳng d và mp(P)

- Gọi H(x;y;z) là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)

- Xét pt: -1+t-1+t-2(-2t)-4=0

t+4-4=0-2+2t=02t=2t=1x=-1+1=0y=-1+1=0 H(0;0; 2)z=-2.1=-2

Cần nhớ: Nếu trong đề bài chưa có pt tham số thì ta viết pt tham số trước

Bài 3: Cho hai điểm A(0;2;1), B(1;-1;3) và mp(P): 2x+y+3z=0 Tìm giao điểm của đường thẳng AB và mp(P)

Bài giải

 Viết phương trình tham số của đường thẳng AB

- Đường thẳng AB qua điểm A(0;2;1)

- Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là: a ABAB

=(1;-3;2)

- Pt tham số của AB là:

0 0 0

 Tìm giao điểm của đường thẳng AB và mp(P)

- Gọi H(x;y;z) là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P)

- Xét pt: 2t+2-3t+3(1+2t)=0

 

 

t+2-3t+3+6t=05t+5=0

5t=-5 t=-1x=-1

- Bước 1: Viết phương trình đường thẳng BC

- Bước 2: Viết phương trình mp(P) qua A và vuông góc BC

- Bước 3: Tìm giao điểm H của BC và (P), H chính là hình chiếu của A lên BC

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau:

Cần nhớ: Hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau a a d d ' 0

Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d:

- Vậy: Đường thẳng d và đường thẳng d’ vuông góc với nhau

Cần nhớ: Để CM hai đt vuông góc với nhau ta đi chứng minh tích vô hướng của hai VTCP

- Vậy: Đường thẳng OA và đường thẳng d vuông góc với nhau

Bài 3: Chứng minh đường thẳng d: