Tỡm số chớnh phương cú 4 chữ số; biết rằng khi tăng thờm mỗi chữ số một đơn vị thỡ số mới được tạo thành cũng là một số chớnh phương.. Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường t
Trang 1Phòng giáo dục và Đào tạo đề thi chọn đội tuyển HSG lớp 9 dự thi
Hà trung cấp tỉnh Năm học 2011-2012
Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút
Cõu 1: (3,0 điểm) Cho biểu thức: Q=( )2
:
y x
+
a Rỳt gọn biểu thức Q
b Chứng minh Q>1
Cõu 2: (2,5 điểm) a Giải hệ phương trỡnh:
8 9 5
xy yz
yz zx
zx xy
+ =
+ =
+ =
b Chứng minh rằng khi k thay đổi thỡ đường thẳng (k+1)x + (k-1)y =k+1 (k≠ 1) luụn
đi qua một điểm cố định
Cõu 3: (2,5 điểm) a Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A= 25
3 + x − 6x+ 11
b Tỡm số chớnh phương cú 4 chữ số; biết rằng khi tăng thờm mỗi chữ số một đơn vị thỡ
số mới được tạo thành cũng là một số chớnh phương
Cõu 4: (3,0 điểm) a Cho a>c; b>c; c>0 Chứng minh rằng c a c( − ) + c b c( − ) ≤ ab
b Cho a≥ 1;b≥ 1 chứng minh rằng 1 2 1 2 2
1 a + 1 b ≥ 1 ab
Cõu 5: (3,5 điểm) Cho tam giỏc ABC với đường phõn giỏc trong AD và trung tuyến AM Vẽ
đường trũn tõm (O) qua 3 điểmA, D, M cắt AB, AC ở E và F Biết BED BMAã ã= và
ã ã
CFM = ADM
a Chứng minh BD.BM = BE.BA và CD.CM=CF.CA
b So sỏnh BE và CF
c Cho biết gúc BAC bằng 900 Chứng minh: 2 1 1
Cõu 6: (3,5 điểm) Cho đoạn thẳng AB =2a cú trung điểm O Trờn cựng một nửa mặt phẳng
bờ AB dựng nửa đường trũn (O) đường kớnh AB và nửa đường trũn (O') đường kớnh AO Trờn (O') lấy một điểm M (khỏc A và O), tia OM cắt (O) tại C, gọi D là giao điểm thứ hai của
CA với (O')
a Chứng minh ∆ ADM cõn
b Tiếp tuyến tại C của (O) cắt tia OD tại E, xỏc định vị trớ tương đối của đường thẳng
EA đối với (O) và (O')
c Tại vị trớ của M sao cho ME//AB; kẻ MK⊥ AO; biết AK=b (b<a) Tớnh độ dài OM theo a và b
Cõu 7: (2,0 điểm) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh 2y2x+x+y+1=x2+2y2 +xy
Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN CHỌN ĐỘI TUYỂN
HÀ TRUNG HSG LỚP 9 DỰ THI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011-2012
C©u 1
(3,0
®iÓm)
a (2,0 ®iÓm) §KX§: x≥ 0;y≥ 0; x≠ y
:
y x
+
=x y xy : xy
+ −
xy
+ −
b (1,0 ®iÓm)
Do x≠ y nên ( x− y) 2 > ⇔ 0 x y+ − 2 xy > 0
⇔ + − >
̃ x y xy
xy
+ − >1
0,25 ®
0,5 ® 0,5 ®
0,5 ® 0,25 ®
0,5 ® 0,25 ® 0,25 đ
Câu 2:
(2,5 đ) a (1,5 đ) Giải hệ phương trình:
8 (1)
9 (2)
5 (3)
xy yz
yz zx
zx xy
+ =
+ =
+ =
Lấy vế cộng vế ta được: 2(xy+yz+xz) =22 ̃ xy+yz+xz =11 (4)
Trừ (4) cho các pt của hệ ta được:
2 3 6
xy zx yz
=
=
=
̃ (xyz)2=36
Thay vào hệ phương ta được x=± 1; y=± 2; z=± 3
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (1; 2; 3) và (-1; -2; -3)
0.5 0.5
0.25 0.25
b (1,0 điểm)
Chứng minh rằng khi k thay đổi thì đường thẳng (k+1)x + (k-1)y =k+1 (k
≠ 1) luôn đi qua một điểm cố định
Gỉa sử đường thẳng đi qua điểm M(x0; y0)
Ta có (k+1)x0 + (k-1)y0 =k+1
kx0+x0+ky0-y0 = k +1
(x0 - 1)k + ky0 -y0 + x0 - 1 = 0
0.25 0.25
Trang 30 0
0 0
1 0 0
1 0
x y
− =
=
− − =
⇔ 0 0
1 0
x y
=
=
Vậy đường thẳng luôn đi qua điểm cố định (1; 0)
0.25
0.25 Câu: 3
(2,5 đ) a (1.25 điểm) A= 25
3 + x − 6x+ 11
ta có x2 - 6x + 11 = (x-3)2 +2≥ ∀2 x Dấu "=" xảy ra khi x=3
̃ 2
x 6x 11 − + ≥ 2
̃ 3+ x 6x 11 2 − + ≥ 2+3>0
2
3 2
3 x 6x 11 ≤
+ + − + Dấu "=" xảy ra khi x=3
2
3 2
A
+
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 5
3 + 2 khi x =3
b (1.25 điểm)
Đặt x2=abcd=1000a+100b+10c+d (1) (với x∈ N*)
Khi tăng thêm mỗi chữ số một đơn vị thì số mới cũng là số chính phương
nên ta có:
y2 =(a+ 1)(b+ 1)(c+ 1)(d+1)=1000(a+1)+100(b+1)+10(c+1)+d+1 (2)
Với y∈ N*và a; b; c; d∈ N* thoả mãn 1 ≤ ≤a 8,0 ≤ b c d; ; ≤ 8
Từ (1) và (2) ta có: y2-x2=1111
⇔ (y-x)(y+x) =101.11
Ta có y+x>y-x và 101 và 11 là hai số nguyên tố nên ta có hệ phương trình
101
11
y x
y x
+ =
− =
45 56
x y
=
⇔ =
Vậy số chính phương cần tìm là x2=452 =2025
0.25
0.25 0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25
0.25
0.25 Câu 4:
(3,0
điểm)
a (1.25 điểm)
Cho a>c; b>c; c>0 Chứng minh rằng c a c( − ) + c b c( − ) ≤ ab
Ta có c a c( ) c b c( ) c a c( ) c b c( )
ab
(1 ) (1 )
Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số không âm ta có:
(1 ) (1 )
Vậy c a c( ) c b c( ) 1
ab
− + − ≥ ̃ c a c( − ) + c b c( − ) ≤ ab
0.5
0.5 0.25
Trang 4b (1.25 điể) Cho a≥ 1;b≥ 1 chứng minh rằng 1 2 1 2 2
1 a + 1 b ≥ 1 ab
1 a 1 b 1 ab 1 a 1 ab 1 b 1 ab
=
(1 )(1 ) (1 )(1 )
=
( )(1 ) ( )(1 ) (1 )(1 )(1 )
(1 )(1 )(1 )
=
(1 )(1 )(1 )
− − − + +
( )[ ( ) ( )]
(1 )(1 )(1 )
=
2
( ) ( 1) (1 )(1 )(1 )
+ + + ≥ 0 vì a≥ 1;b≥ 1
0.25 0.25
0.25 0.25 0.25
Câu 5:
(3,5 đ)
a (1.25 đ)
Hai tam giác BDE và BAM có:
µB chung
· ·BED= BMA (gt)
nên∆ BDE ∆ BAM (g.g)
̃ BD BE
BA = BM (1)
̃ BD.BM = BE.BA
Chứng minh tương tự ta được ∆ CMF ∆ CAD (g.g)
̃ CD CF
CA = CM (2)
̃ CD.CM = CF.CA
0.5
0.25 0.25
0.25 0.25
b (1,0 điểm)
Theo tính chất đường phân giác ta có DB AB
AB = AC (3)
Từ (1), (2) và (3) BE CF
BM = CM mà MB=CM nên BE=CF
0.5 0.5
c (1.25 điểm)
Theo đầu bài ta có ·BAC= 90 0và AD là phân giác của góc A
Từ D kẻDI ⊥ AB DJ; ⊥ AC
̃ Tứ giác AIDJ là hình chữ nhật
Do AD là phân giác nên ∆ ADI vuông cân
0.25
F
J I
E
M D
A
Trang 5̃ Tứ giác AIDJ là hình vuông
̃ AD =DI 2
Ta có SABD +SADC = SABC
⇔ 1
2AB.DI+1
2AC.DJ=1
2AB.AC
⇔ DI(AB+AC)=AB.AC
.
AB AC
+ =
ID
AB+ AC =
AD
AB+ AC =
0.25 0.25
0.25
0.25 Câu 6:
(3.5 đ)
a (1,25 đ)Ta có ∆ OAC cân tại O
có OD⊥ AC nên
AD = DC
Xét ∆ AMC vuông tại M
có DA= DC (c/m trên)
̃ ∆ ADM cân tại D
0.25 0.25 0.25 0.5
b (1.0 đ) Chứng minh ∆ AOE =∆ COE (c.g.c)
̃ EAO · · = ECO= 90 0hay EA⊥ AB
Vậy EA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O')
0.5 0.5
c (1.25 đ) Kẻ MK⊥ AO; vì EM//AB nên ∆ MEO cân tại M và tứ giác
AEMK là hình chữ nhật Đặt MO = x
Ta có MO2 = AO2 - AM2 =AO2 - AO.AK
⇔ x2= a2 -a.b 2
0.5
0.5 0.25 Câu 7:
(2.0
điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2y2x+x+y+1=x2+2y2 +xy
⇔ 2y2x+x+y+1- x2 - 2y2 - xy =0
⇔ 2y2(x-1) - x(x-1) - y(x-1) +1 =0 (1)
Ta có x = 1 không phải là nghiệm của PT
(1) ⇔ 2y2 - x - y + 1
1
x− =0 (2)
Để Pt (2) có nghiệm nguyên thì 1
1
x− nguyên, nên x-1=± 1 ̃ x∈ { }0; 2
Thay x =0 và và x=2 vào PT (2) ta được số nguyên y =1
Vậy PT đã cho có hai nghiệm nguyên (x; y) là (2; 1) và (0; 1)
0,25
0.25 0.5
0.5 0.25 0.25
K
H
E D
C
O' O
M