đơn điệu 4

http://mathsvn.violet.vn hoặc http://violet.vn/mathsvn

Ví dụ 1:

Tìm tham số thực m để phương trình x  3x2 1 m có nghiệm thực

Giải :

Xét hàm số f x  x  3x2 1 và y m

Hàm số f x  x  3x2 1 liên tục trên 

Ta có : '  1 32 3 2 21 3

f x

 

0

x

 



 

 0

,

6 6

x

x

 





Bảng biến thiên : suy ra f x  36 mà f x  mdo đó 6

3

m  thì phương trình cho có nghiệm thực

Ví dụ 3 : Tìm tham số thực m để phương trình :

 

4 x2 1 x m 1 có nghiệm thực

Giải : Xét hàm số f x   4x2 1 x liên tục trên nửa khoảng  0; 

Ta có :  

 2 3

4

2

1

x

f x

x x

Vì

0

x

nên

f x   x  f x nghịch biến trên nửa khoảng  0;  và lim ( ) 0

x f x

    , nên 0  f x( ) 1,  x 0;

http://mathsvn.violet.vn hoặc http://violet.vn/mathsvn

Vậy, phương trình  1 có nghiệm thực trên nửa khoảng



Ví dụ 3: Tìm tham số thực m để phương trình :

4m 3 x 3 3m4 1x m1 0, 2  có nghiệm thực

Giải : Điều kiện:  3 x 1

(2)

m

Nhận thấy rằng:

x   x         

Nên tồn tại góc 0; , t n ; 0;1

    

sao cho:

2

2

3 2 sin 2

1

t x

t



 và

2 2

1

1

t x

t



   

2 2

, 3

Xét hàm số:

2 2

( )

f t



   liên tục trên đoạn t   Ta 0;1

có

2

2 2

 

nghịch biến trên

đoạn 0;1 và 9 7

(0) ; (1)

Suy ra phương trình  2 có nghiệm khi phương trình  3 có nghiệm trên đoạn t   khi và chỉ khi: 0;1 79 m  97

Ví dụ 4:

http://mathsvn.violet.vn hoặc http://violet.vn/mathsvn

Tìm tham số thực m để bất phương trình

x  x  x  x m có nghiệm thực trong đoạn 4;6

 

Giải :

Đặt t  x2 2x 24,   x  4;6  t 0;5

Bài toán trở thành tìm tham số thực m để bất phương trình

2

24

t  t m có nghiệm thực t 0;5

Xét hàm số   2

24

f t t  t liên tục trên đoạn 0; 5 

 

Ta có :f t'( ) 2 t 10, t 0;5 f t  liên tục và đồng biến trên đoạn 0; 5 

 

Vậy bất phương trình choc ó nghiệm thực trên đoạn 0; 5 

  khi 0;5

t

 

 