Dạng 2 : Sử dụng tính đơn điệu của hàm số CM bất đẳng thức.. Dựa vào bảng biến thiên và kết luận... Do đó hàm số nghịch biến trên .
Trang 1Dạng 2 : Sử dụng tính đơn điệu của hàm số CM bất đẳng thức
Đưa bất đẳng thức về dạng f x M x, a b;
Xét hàm số y f x x , a b;
Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng a b;
Dựa vào bảng biến thiên và kết luận
Ví dụ 1 :
Chứng minh rằng : sin t n 2 , 0;
2
x a x x x
Giải : Xét hàm số f x sinx t na x 2x liên tục trên nửa khoảng 0;
2
Ta có :
2
f x
là hàm số đồng biến trên 0;
2
và f x f 0 ,
0;
2
x
hay sin t n 2 , 0;
2
x a x x x
(đpcm)
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng
2
x x x
3
x
x x x
3
sin
2
x
x
Giải :
Trang 21 sin , 0;
2
x x x
Xét hàm số ( )f x sinx x liên tục trên đoạn 0;
2
x
Ta có: '( ) cos 1 0 , 0;
2
f x x x
( )
f x là hàm nghịch
biến trên đoạn 0;
2
2
f x f x x x
(đpcm)
3
x
x x x
Xét hàm số
3 ( ) sin
6
x
f x x x liên tục trên nửa khoảng
0;
2
x
Ta có:
2
x
(theo câu 1)
3
x
(đpcm)
Xét hàm số
g x x liên tục trên nửa khoảng
0;
2
x
Trang 3
Ta có:
3
x
(theo câu
2
(Đpcm)
3
sin
2
x
x
Theo kết quả câu 2, ta có:
3
x
x x x
3 3
sin
x
Vì
3
x
x
Mặt khác, theo câu 3:
Suy ra
3 sin
2
x
x
(đpcm)
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng
2
Giải :
Xét hàm số
( )
sin
f x
x x
liên tục trên nửa khoảng 0;
2
x
Ta có:
'( )
f x
Trang 4Theo kết quả câu 4 - ví dụ 2 , ta có:
3 sin
2
x
x
2
4
Do vậy:
2
(đpcm)
Ví dụ 4 :
Với 0
2
Chứng minh rằng
3 1
2 x 2 a x 2 x Giải :
Ta có:
1 sin t n
2 x 2 a x 2 2 x.2 a x 2.2 x a x
Ta chứng minh:
sin t n
x
x a x
0;
2
x
Xét hàm số sin 1t n 3
x
f x x a x liên tục trên nửa khoảng
0;
2
Ta có: , cos 12 3 2 cos3 3 cos2 2 1
2
2 2
(cos 1) (2 cos 1)
0 , [0; )
2
2 cos
x x
( )
f x
đồng biến trên
[0; )
2
2
(đpcm)
Trang 5Ví dụ 5 : Chứng minh rằng
1 e x 1x , x
2
2
e x x
Giải :
1 e x 1x , x
Xét hàm số ( )f x e x x liên tục trên 1
Ta có: '( )f x e x 1 f x'( )0 x 0
Lập bảng biến thiên, ta thấy ( )f x f(0)0 x
2
2
e x x
Xét hàm số
2
2
f x e x liên tục trên nửa khoảng 0;
Ta có: '( )f x e x 1 x 0 (theo kết quả câu 1) x
( ) (0) 0 0
Ví dụ 6 :
1.Chứng minh rằng 1 2
2
2.Tìm số thực a nhỏ nhất để bất đẳng thức sau đúng với x 0
2 ln(1x)x ax
Giải :
1.Chứng minh rằng 1 2
2
(1)
( ) ln(1 )
2
f x x x x liên tục trên nửa khoảng
0;
Ta có
2 1
x
( ) (0) 0 0 (1)
Trang 62.Tìm số thực a nhỏ nhất để BĐT sau đúng với
0
x
ln(1x) x ax 2 (2)
Giả sử (5) đúng với x 0 (2) đúng với x 0
2
ln(1 )
x
Cho x 0, ta có:
2
x
0 2
Mà theo chứng minh ở câu 1 thì: 1 2
2
suy ra ln(1x)x ax 2 x 0
Vậy 1
2
a là giá trị cần tìm
Ví dụ 7 :
Tìm tất cả các giá trị của a để : a x 1x x 0
Giải : Xét hàm số : ( )f x a x x 1 0 với x 0 (*)
Ta có: ( )f x là hàm liên tục trên [0; và có '( )) f x a x lna 1
Nếu 0 a 1 lna 0 f x'( ) 0 x 0 f x nghịch biến. f x( ) f(0) 0 x 0 mâu thuẫn với (*)
1
a
không thỏa yêu cầu bài toán
Nếu a e a x lna 1e x 1 0 x 0 f x( ) là hàm đồng biến trên [0;) f x( ) f(0)0 x 0a e thỏa yêu cầu bài toán
1 a e, khi đó f x'( ) 0 x x0 log (ln )a a 0 và '( )
f x đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0, dẫn đến
0
0
x f x f x
a
Trang 7ln(ln )
1
1 0
a
1 ln(ln ) ln a a 0
ln
lne a 0 elna a elna a 0
a
Xét hàm số ( )g a elna a với 1 a e, ta có:
'( )g a e 1 0 a (1; )e g a( ) g e( ) 0 a (1; )e
a
thuẫn với (**) 1 a e không thỏa yêu cầu bài toán
Vậy a e
Nghiên cứu kỹ hơn về dạng toán này ở chuyên đề “ Mũ – Logarit”
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1 Cho hàm số f x 2 sinx t na x 3x
)
2
)
b Chứng minh rằng 2 sinx t na x 3x với mọi 0;
2
x
2
)
2
x
)
b Chứng minh rằng
3
t n
3
x
a x x với mọi 0;
2
x
3 Cho hàm số f x 4x t na x
4
x
)
a Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn 0;
4
)
b Từ đó suy ra rằng 4x t na x
4
x
4 Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau :
)
a sin x x với mọi x 0 , sin x x với mọi x 0
Trang 8b
2 cos 1
2
x
)
c
3 sin
6
x
x x với mọi x 0 ,
3 sin
6
x
x x với mọi x 0
)
d sinx t na x 2x với mọi 0;
2
x
Hướng dẫn :
1
)
2
Hàm số f x 2 sinx tanx 3x liên tục trên nửa khoảng 0;
2
2
2
1 cos 2 cos 1
2 cos
x
Do đó hàm số f x 2 sinx tanx 3x đồng biến trên nửa
khoảng 0;
2
)
2
x
Hàm số f x 2 sinx tanx 3x đồng biến trên nửa khoảng
0;
2
và 0 0, 0;
2
f x f x
; do đó
2 sinx t na x 3x 0 mọi 0;
2
x
hay 2 sinx t na x 3x
với mọi 0;
2
x
2
Trang 9a Chứng minh rằng hàm số f x t na x xđồng biến trên nửa khoảng 0;
2
Hàm số f x t na x x liên tục trên nửa khoảng 0;
2
và có đạo
2
1
2 cos
x
Do đó hàm số f x t na x xđồng biến trên nửa khoảng 0;
2
và 0 0, 0;
2
f x f x
hay tan x x
)
b Chứng minh rằng
3
t n
3
x
a x x với mọi 0;
2
x
Xét hàm số t n 3
3
x
g x a x x trên nửa khoảng 0;
2
3
x
g x a x x liên tục trên nửa khoảng 0;
2
và
2
1
cos
x
2
g x a x x a x x x
câu )a
Do đó hàm số t n 3
3
x
g x a x x đồng biến trên nửa khoảng
0;
2
và 0 0, 0;
2
g x g x
hay
3
t n
3
x
a x x với
mọi 0;
2
x
3
)
a Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn 0;
4
Trang 10
Hàm số f x 4x t na x
liên trục trên đoạn 0;
4
và có đạo
2
4 cos
x
4
a
nên tồn tại một số duy nhất 0;
4
c
hàm số f x đồng biến trên đoạn
0;
x c
4
f x x c
hàm số f x nghịch biến trên đoạn
;
4
x c
)
b Dễ thấy
4
với mọi 0;
4
x
4
)
a sin x x với mọi x 0
Hàm số f x x sinx liên tục trên nửa khoảng 0;
2
và có đạo
x
Do đó hàm số
đồng biến trên nửa khoảng 0;
2
và ta có
Trang 11 0 0, 0;
2
f x f x
, tức là
x x x hay x x x
)
b
2 cos 1
2
x
Hàm số cos 1 2
2
x
f x x liên tục trên nửa khoảng 0; và
có đạo hàm f x' x sinx 0 với mọi x 0( theo câu a )
Do đó hàm số f x đồng biến trên nửa khoảng 0; và ta có
0 0, 0
f x f x , tức là
2
2
x
Với mọi x 0, ta có
2
2
Vậy
2 cos 1
2
x
)
6
x
f x x x Theo câu b thì f x' 0, x 0
Do đó hàm số nghịch biến trên Và
)
d sinx t na x 2x với mọi 0;
2
x
Hàm số f x sinx tanx 2x liên tục trên nửa khoảng 0;
2
và có đạo hàm
2
Trang 12
Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0;
2
và ta có
0 0, 0;
2
f x f x