4 đề ôn thi

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C kẻ từ điểm M-2; 1.. Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ đượ

ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC MễN TOÁN

NGÀY 04 – 12 – 2011

ðỀ 01

Bài 1: (2 điểm) Cho hàm số y = - x3 + 3x – 1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) kẻ từ điểm M(-2; 1)

Bài 2: (3 điểm)

1 Giải phương trình

2

4

1.

π

ư

2 Giải hệ phương trình









ư

=

ư

+

⋅

= + +

y x y

x

y

x 4 log

3 2

3 Tìm m để bất phương trỡnh ( x + 4 )( 6 ư x ) + x2 ư 2 x ≥ m nghiệm

đúng với mọi x ∈ ư[ 4;6 ]

Bài 3: (1.5 điểm)

1 Tính tích phân: I =

2

9

2 0

dx

.

π

∫

2 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau, trong đó phải có chữ số 2 và 4 ?

Bài 4: (2.5 điểm)

1 Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' có cạnh bằng a Trên các cạnh

BC và DD' lần lượt lấy các điểm M và N sao cho BM = DN = x (0 ≤ x ≤ a) Chứng minh MN ⊥ AC' và tìm x để MN đạt nhỏ nhất

2 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9 và

đường thẳng 3x - 4y + m = 0 Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA và PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho PA ⊥ PB

3 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua điểm M và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất

Bài 5: (1 điểm) Cho tam giác ABC không tù Chứng minh rằng:

Dấu ủẳng thức xảy ra khi nào ?

ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC MÔN TOÁN

NGÀY 04 – 12 – 2011 ðÁP ÁN ðỀ 01

Tập xác ñịnh R

Sự biến thiên: y' = - 3x2 + 3 = 3(1 - x2); y' = 0 ⇔ = −x 1;x= 1

0,25

y' < 0 1

1

x x

>



⇔

< −

 hàm số nghịch biến trong khoảng ( ; 1)∞ − và (1; +∞) y' > 0 ⇔ -1 < x < 1 hàm số ñồng biến trong khoảng (-1; 1)

ðiểm cực ñại (1; 1) ðiểm cực tiểu (-1; -3)

0,25

Giới hạn lim ; lim

→+∞ = −∞ →−∞ = +∞ ðồ thị hàm số không có tiệm cận 0,25 Bảng biến thiên

x -∞ -1 1 +∞

y' - + -

y

-3 −∞

0,25

1

(1.5)

ðồ thị ñi qua ñiểm (-2; 1) và (2; -3)

y ðiểm uốn I(0; -1) là tâm ñối xứng

1

-2 -1 I 1 2 x

-3

0,5

Phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm M(-2; 1) có hệ số góc k:

y = k(x + 2) + 1 ðường thẳng tiếp xúc với (C)

3 2

 − + − = + +



⇔ 

có nghiệm

0,25

Bài 1:

2 ñiểm

2

(0.5)

(1)

3 2 2

1 0

2

3 3

9

x k

x

k

  =



 =

= −

= −





⇒k = 0 ;k = − 9

Vậy có hai tiếp tuyến với ñồ thị (C) thoả mãn bài toán là:

y = 1 và y = - 9x -17

0,25

ðiều kiện sinx cosx 0 x k2 , k

π

− ≠ ⇔ ≠ + π ∈ℤ

0,25 Phương trình ñã cho tương ñương với phương trình:

2

2

cosx = 0 2cos x - 1-sinx - cosx + 2

2







1

(1.0)

* cosx = 0 kết hợp với ñiều kiện 2

2

x≠ +π k π suy ra

π π

− + với t ∈ Z

* cosx =

2

2

2 3



= +



⇔ 

 = − +



với m; n ∈ Z

Phương trình ñã cho có ba họ nghiệm là:

π + π

− + với t, m, n ∈ Z

0,25

0,25

0,25

ðiều kiện:











>

−

≠ +

>

+

0 1 0

y x

y x

y x

Hệ phương trình ñã cho ( )

( )









−

=

−

= + +

− +

⇔

y x y

x

y

x 4 log

0 2 3

2

( )





=

−

= +

⇔













−

=

−









= +

= +

+

y x y

x

y x

y x y x y x

y x

y x

4 4

4 4

log

2 1

0,25

0,25

Bài 2:

3 ñiểm

2

(1.0)

Xét phương trình: 4(x - y) = x−y

4 ðặt t = x - y > 0 t

t 4

⇒

Nhận thấy: t = 1 và t =

2

1

là nghiệm của phương trình

Xét hàm số f(t) = t

t 4

4 − (t > 0); f'(t) = 4 - t

4 ln4

f'(t) = 0 có duy nhất một nghiệm:

4 ln

4 log4

=

Do ñó f(t) = 0 chỉ có hai nghiệm

Từ cách ñặt suy ra hệ ñã cho tương ñương với





































=

=













=

=

⇔

























=

−

= +







=

−

= +

4 3 4 9 2 3 2 5

2 1 4 1 4

y x y x

y x

y x

y x

y x

0,25

0,25

ðặt t = (x+ 4)(6 −x)= −x2 + 2x+ 24 = 25 −(x− 1)2 ⇒ 0 ≤t≤ 5

t2 = -x2 + 2x + 24 ⇒ x2 - 2x = 24 - t2

Bất phương trình trở thành: t + 24 - t2 ≥ m ; t ∈[ ]0 ; 5

0,25 0,25

3

(1.0)

Xét hàm số f(t) = -t2 + t + 24 trên ñoạn [ ]0 ; 5

Ta có bảng biến thiên sau:

t 0

2

1

5

97

Từ ñó suy ra bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x ∈[− 4 ; 6]

[ ] 0 ; 5 t

4 ) t ( min

m

∈ =

≤

0,5

ðặt t = x suy ra x = t2; dx = 2t dt

2

3 9

t

=

=



I =

3 2 0

2 os

tdt

π

1

(1.0)

ðặt

os

u t

du dt dt

dv

=

=



I = 2t tant

d c

π

I = 2 3 2ln2

3 π−

0,25

0,5

Gọi số tự nhiên cần lập là X = a a a a1 2 3 4 (a1 khác 0)

ai ∈{0;1; 2;3; 4;5} (i = 1; 2; 3; 4)

* Trường hợp 1: Trong X có chữ số 0

Có ba cách xếp chữ số 0; ba cách xếp chữ số 2; hai cách xếp chữ số 4 và

1 3

A cách xếp ba chữ số 1; 3; 5

Suy ra có 3.3.2 1

3

A = 54 số

0,25

Bài 3

1.5

ñiểm

2

(0.5)

* Trường hợp 2: Trong X không có chữ số 0

Có bốn cách xếp chữ số 2; ba cách xếp chữ số 4 và 2

3

A cách xếp ba chữ

số 1; 3; 5 Suy ra có 4.3 2

3

A = 72 số Vậy có tất cả 54 + 72 = 126 số

0,25

Bài 4:

2,5

ñiểm

1

(0.5)

ðặt AA' =a;AB=b;AD=c thì a = b = c =a; AC' =a+b+cvà

a a

x D c a

x

BM = ⋅ ; D' = ⋅

0,25

c a

x b

a a

x a a

x c b c a

x DN AD BA MB











− +

−

⋅

=

⋅ + +

−

⋅

−

= + + +

=

⇒ ⋅ = ⋅ − + −   + + = ⋅ − + −  ⋅ =

Vậy MN vuông góc với AC'

M

N

A'

D'

D C

B

A

4

6 4

6 2

1 2 1

2 2 2 2

2 2

2 2

2

a

x a

a

x a

a a

x











−

=

⋅













− + +

⋅

MN ngắn nhất bằng

2 2

1 6

2

a x a

x

a⋅ ⇔ = ⇔ = (M, N tương ứng là trung ñiểm của BC và DD')

0,25

Gọi tâm ñường tròn (C) là I (1; -2) và bán kính R = 3

Giả sử có ñiểm P thoả mãn bài toán ⇒ tứ giác APBI là hình vuông cạnh

ðể có duy nhất một ñiểm P ⇔khoảng cách từ tâm I tới d bằng IP= 3 2

2 3 4

3

) 2 ( 4 1 3

2

+

+

−

−

2

(1.0)









−

−

=

−

=

⇔

= +

⇔

11 2 15

11 2 15 2

15 11

m

m

3

(1.0)

Gọi giao ñiểm của (α ) với ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A(a; 0; 0);

B(0; b; 0); C(0; 0; c) với a, b, c > 0 Phương trình (α ): + + = 1

c

z b

y a

x

Do

(α ) ñi qua ñiểm M ⇔ 1+ 2+3 = 1

c b

OABC

Áp dụng bắt ñẳng thức Côsi,ta có:

3

OABC

OABC

min(V ) 27

3

1 3 2

c b

a ⇔ a = 3; b = 6; c = 9

PTMP (α) là:x y z 1

3 + + = 6 9 ⇔ 6x + 3y + 2z 18 − = 0 (0,5 ñiểm)

1,0

Bài 5:

1 ñiểm

Không mất tính tổng quát, giả sử A≥B≥C

2

A tan 2

tan 2

tan 4

2 2

ðặt x = tan

2

A

; y = tan

2

B

; z = tan

2

C

thì 0 < z ≤ y ≤ x ≤ 1

Áp dụng BðT Côsi cho ba số không âm: 1 - x; 1 - y; 1 - z ta ñược:

( )( )( ) 3

3

1 1 1

xyz xz yz xy z y x z

y x z

y

−

Vì xy + yz + xz = tan

2

A

tan

2

B

+ tan

2

B

tan

2

C

+ tan

2

A

tan

2

C

= 1

Suy ra:

3 3

Vì x + y + z ≥ 3 nên

9

3 10 1

3

3 2

3

=

















− +

≥ + + +

Từ ñó suy ra ñiều cần chứng minh Dấu "=" xảy ra khi ∆ABC ñều

0,25

0,25

0,25

0,25

ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC MÔN TOÁN

NGÀY 04 – 12 – 2011

ðỀ 02

Câu I Cho hàm số y 2x 1(C)

x 1

−

=

−

1 Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C)

2 Tìm m ñể ñường thẳng y =mx+5 là một tiếp tuyến của (C)

Câu II

1 Giải phương trình cos( 3x) cos(2 4x) cosx 1

2 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=(3sinx+4cosx) (3sinx4 +4cosx+1) 5

Câu III

1 Tìm m ñể phương trình 9+2 4−x2 =m( 2− +x 2+x ) có nghiệm

thực

2 Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (2x 1)+ nbiết tổng các hệ số của nó

bằng 59049

Câu IV

1. Tính thể tích của khối chóp tam giác ñều S.ABC có cạnh bên bằng a , góc

tạo bởi mặt bên và ñáy bằng45 0

2 Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz cho hình vuông ABCD có ñỉnh A(1;2;1) và ñường chéoBD :x 3 y z

4− = =1 1

− Tìm tọa ñộ các ñỉnh còn lại của hình vuông

3 Trong mặt phẳng hệ trục tọa ñộ Oxy cho ñường tròn

(T) : x +y −2x+2y−23=0 Viết phương trình ñường thẳng qua A(7;3) cắt ñường tròn (T) tại B, C sao cho AB 3AC− =0

Câu V Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ñiều kiện ab+bc+ca =3abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC MÔN TOÁN

NGÀY 04 – 12 – 2011

ðỀ 03 Câu I Cho hàm số 3 2

y=2x +x −4x 1 (C)+

1 Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C)

2 Tìm số thực k sao cho tồn tại hai tiếp tuyến phân biệt có cùng hệ số góc k của ñồ thị (C) và ñường thẳng ñi qua hai tiếp ñiểm cắt trục hoành tại ñiểm A, cắt trục tung tại ñiểm B sao cho OB = 2012.OA

Câu II

1 Giải phương trình 1 x 4x 6 7

2

− + + =

2 Giải hệ phương trình 3x y 5x 4y 5





Câu III

1 Giải phương trình 2 2 cot x cos 2x cos x 1

2 Nhận dạng tam giác ABC biết: cos(B C) 2bc2

a

− = Trong ñó A, B, C

là ba góc; a, b, c lần lượt là ñộ dài ba cạnh BC, CA, AB của ABC.∆

Câu IV

1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa ñộ Oxy cho hai ñường tròn

1

(C ) : (x 1)− + −(y 2) =4 và (C ) : (x2 −2)2 + −(y 3)2 =2 cắt nhau

tại ñiểm A(1; 4) Viết phương trình ñường thẳng d ñi qua ñiểm A và

c t lại (C1), (C2) lần lượt tại M và N sao cho MA = 2.MB

2 Cho hình chóp S.ABC có ∆ABCvuông tại A, AB = a,  0

SAB là tam giác ñều Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC

Hình chiếu vuông góc của ñỉnh S trên mp(ABC) là một ñiểm nằm trên ñường thẳng AH

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng mp(SAC) và mp(ABC)

Câu V Cho hai số thực x, y thoả mãn 2 x 2y 3

+ ≤





Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P(x, y)=x y2 +xy2 −2xy

ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC MễN TOÁN

NGÀY 04 – 12 – 2011

ðỀ 04

I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 ủiểm)

Cõu I (2,0 ủiểm)

Cho hàm số y x 2 (C)

2x 1

+

=

ư

1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ ủồ thị (C) của hàm số ủó cho

2 Tỡm những ủiểm trờn ủồ thị (C) cỏch ủều hai ủiểm A(2; 0), B(0; 2)

Cõu II (2,0 ủiểm)

1 Giải phương trỡnh cos2 cos( 1) (2 1 sin )

sin cos

ư

+

x

2 Giải bất phương trỡnh

2

2

0

ư

Cõu III (1,0 ủ i ể m) Tớnh tớch phõn 4 2

0 ( +sin 2 ) cos 2

π

Cõu IV(1,0 ủ i ể m)

Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ủỏy ABC là tam giỏc ủều cạnh a ðỉnh A’ cỏch ủều cỏc ủỉnh A, B, C, cạnh bờn AA’ tạo với ủỏy gúc 600 Tớnh

thể tớch khối lăng trụ

Cõu V (1,0 ủ i ể m)

Cho các số thực dương a, b, c thay đổi thỏa món a + b + c = 1

Chứng minh rằng

2

II PHẦN RIấNG (3ủiểm)

Thớ sinh chỉ ủược làm một trong hai phần ( A hoặc B)

A.Theo chương trỡnh chuẩn

Cõu VI.a (2,0 ủ i ể m)

1.Trong mặt phẳng với hệ tọa ủộ Oxy Cho ủường trũn (C):

0 1 2 4

2

2 + y ư xư yư =

x và ủường thẳng d : x+ + =y 1 0 Tỡm

những ủiểm M thuộc ủường thẳng d sao cho từ ủiểm M kẻ ủược ủến (C) hai tiếp tuyến tạo với nhau gúc 0

90

2 Giải phương trỡnh (7+4 3)x ư3 2( ư 3)x + =2 0

CõuVII.a (1,0 ủ i ể m)

Giải phương trỡnh +2 ư1+ ư2 = 2 2ư3

+

x (

k n

C là số tổ hợp

chập k của n phần tử)

B Theo chương trỡnh nõng cao

CõuVI.b (2,0 ủ i ể m)

1 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ ñộ Oxy cho cho hai ñường thẳng

0 5 2

:

1 x− y+ =

d và d2: 3x+6y− =7 0 Lập phương trình ñường

thẳng ∆ ñi qua ñiểm P( 2; -1) sao cho ∆ cắt hai ñường thẳng d1 và d2

tạo ra một tam giác cân có ñỉnh là giao ñiểm M của hai ñường thẳng

d1, d2

2 Giải hệ phương trình







2

Câu VII.b (1,0 ñiểm)

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau mà mỗi số ñều lớn hơn 2010