Bài giảng 1: Phương pháp hàm số
Bài 1:Tìm m để bpt sau nghiệm đúng với mọi x∈ : R
4x−(2m+3)2x−5m+ ≥3 0 (1)
Lời giải: Đặt 2x , khi đó
t = > 0 (1)⇔t2−(2m+3)t−5m+ ≥3 0
2 3 3 ( )
2 5
t
− +
)
(1’)
Xét hàm số f(t) trên (0;+∞ ta có:
67 5
2
t
f t
t
t
=
⎢
⎢
⎢
=
⎢
⎣
Từ đó ta có bảng biến thiên (tự vẽ)
(1) nghiệm đúng với mọi x khi (1’) nghiệm đúng mọi t > 0, điều này xảy ra khi:
0
67 5 67 8 min f ( ) ( )
t
>
Bài 2: Tìm m để bpt sau có nghiệm:
4 (m x+ x2+x) (+ m−3)( x+ x+ ≤ − (2) 1) 2 m
Lời giải: Đk bpt có nghĩa: x≥0
Đặt t= x+ x+ > ⇒1 0 t2 =2(x+ x2+x) 1 1+ ≥ , do 0 1, 2 2 1
2
t
t> ⇒ ≥t x+ x + =x −
(2)⇔2 (m t2− +1) (m−3)t≤ −2 m
2 32 ( )
t
+
+ − t (2’)
Xét hàm f(t) với t≥1, ta có:
2
2 2
6 8 5
+ +
′ = − < ∀ ≥
+ −
Suy ra hàm f(t) nghịch biến trên [1;+∞)
Vậy (2) có nghiệm khi (2’) có nghiệm t≥1, xảy ra khi và chỉ khi:
1
5 max f(t)=f(1)=
2
t
m
≤
≤
Bài 3: Tìm m để bpt sau có nghiệm:
+
Trang 2Lời giải: Làm tương tự như bài 1, đặt 2x
t = > 0 Khi đó (1)⇔ +(1 6 )2m t≤(5t2+13)m+1
2 2 1 ( )
5 12 13
t
−
Xét hàm f(t) với t > 0, ta có:
( )
2
2 2
0
10
t
f t
⎢
⎢
⎣
Từ đó vẽ được bảng biến thiên của hàm f(t) (tự vẽ), suy ra bpt có nghiệm khi:
(0) 1
13
m> f =−
Bài 4: Tìm m để bpt sau có nghiệm:
mx2+ +2 (m+1) 15 2− x−x2 ≥2 (11m −x) (4)
Lời giải: Đk: 15 2 − x−x2 ≥ ⇔ − ≤ ≤ 0 5 x 3
Đặt t= 15 2 − x−x2 ⇒ ≤ ≤ 0 t 4 và x2+ 2x− 22 = − −t2 7 Khi đó:
2
(4)⇔m(− − + +t 7) 2 (m+1)t≥0
7
t
+
− + t
]
Xét hàm f(t) trên đoạn [0;4 , ta có:
2
2 2
1
4 5
5 7
t
f t
t
=
⎡ + −
′ = − = ⇔ ⎢ = −
⎣
− +
Từ đó vẽ được bảng biến thiên của hàm f(t) (tự vẽ), suy ra bpt có nghiệm khi:
[ ]0;4
1
ax ( ) (1)
3
t
∈
Bài 5: Tìm m để bpt sau có nghiệm:
3( 4+ +x 5−x) 1 2+ + m 20+ −x x2 ≤0 (5)
Lời giải: Đk: − ≤ ≤4 x 5
Đặt t= 4 + +x 5 − > ⇒x 0 t2 = + 9 2 20+ − x x 2
2
Khi đó: (5)⇔ + +3 1t m t( 2 − ≤9) 0
• t = 3 không là nghiệm của bpt
• Với 3< ≤t 3 2 thì bpt tương đương với:
Trang 33 12 ( )
9
t
t
t
+
≤ − =
−
Ta có
( )
2
2 2
3 2 27
9
f t
t
+ +
−
Suy ra hàm luôn đồng biến trên (3;3 2 ⎤⎦ suy ra bpt có nghiệm khi:
(3 2) 9 2 1
9
Vậy đs là (3 2) 9 2 1
9
Bài 6: Tìm m để bpt sau có nghiệm:
(1−m 4−x) x+ ≤1 m 3x−x2− x−2 (6)
Lời giải: Đk: 2≤ ≤x 3
Khi đó:
Dễ thấy hàm f(x) đồng biến, do tử số đồng biến, còn mẫu nghịch biến và dương
Do đó, bpt có nghiệm khi và chỉ khi:
2 3
3
n f(x)=f(2)=
2 6
x
≤ ≤
≥
+
Nguồn: Hocmai.vn