Trừ từng vế của 2 pt cho nhau để đưa về pt tích.[r]
Trang 1HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Dạng 1: Hệ gồm một pt bậc nhất và các pt bậc cao
1/ Phương pháp: Rút một ẩn từ pt bậc nhất thế vào các pt bậc cao
2/ Ví dụ
Ví dụ 1: giải các pt sau:
a/
2
y
ìï - + =
ïïí
ïïî b/ 3 2
2 5x 7
x y
x x y
ìï + = ïïí
ïïî
Ví dụ 2: Cho hệ pt
1 0
x y
ìï - + = ïïí
ïïî
a/ Giải hệ khi m = 3
b/ Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
Giải: a/ (x ;y) = (0 ; 1) và (2/3 ; 5/3)
b/ m = 0 hoặc m = 4
Ví dụ 3: Cho hệ pt
2 2 1
ïïí
ïïî
a/ Giải hệ khi m = 2 b/ Tìm m để hệ vô nghiệm
Giải: a/ (x ;y) =
2 2 ( ; )
2 - 2 b/ m > 2
Ứng dụng : Cho hệ pt
2
0 2x 2 3 0
x y m
ìï - - = ïïí
ïïî
a/ Giải hệ khi m = 1
b/ Tìm m để hệ có 2 cặp nghiệm thõa mãn x12+y12 =x22 +y22
ĐS: a/ (x;y) = (2;1) và (-2; -3)
b/ m = 2
Dạng 2: Hệ pt đối xứng loại 1
1/ Định nghĩa: Là hệ có dạng
( ; ) 0 ( ; ) 0
f x y
g x y
ïïí
ïïî trong đó khi hoán đổi x và y thì mỗi pt
không thay đổi
Ví dụ: Các hệ pt
3
xy x y
ïïí
11
x y yx
xy x y
ïïí
ïïî
2/ Cách giải:
2.1 Nhớ lại định lý Viet trong phương trình bậc hai
Cho pt ax2 + b x + = c 0có hai nghiệm x1; x2 thì
1 2
1 2
b
x x
a c
x x a
ìï
-ï + = ïïï
íï
ï = ïïïî Ngược lại nếu có hai số
u ; v thỏa mãn
u v S
uv P
ìï + = ïïí
ï = ïïî thì u ; v là nghiệm của pt x2 - Sx + P = 0
Trang 2Ví dụ Tìm hai số u ;v thỏa mãn
6 8
u v uv
ìï + = ïïí
ï = ïïî
2.2 Cách giải hệ đối xứng loại 1:
Đặt x+y = S và xy = P ( ĐK S2 > 4P); thay vào tìm S và P Từ đó suy ra x và y
3 / Bài tập:
Bài 1: Giải các hệ pt:
a
hoac
b
4 2 2 4
7 21
x xy y
x x y y
ìï + + =
ïïí
ïïî Đặt x + y = S và xy = P ta có P = 2 và S = ± 3
Với P = 2; S = 3 ta có nghiệm (-1;-2) và (-2; -1)
Với P = 2 ; S = -3 ta có nghiệm (1; 2) và (2; 1)
c
11 11
xy
xy x y
ìïï + + =
ïï
íï
ïïî Nghiệm của hpt (-2; -3) và ( -3; -2)
Bài 2: Cho hệ pt
2 2
6
x y m
x y
ìï + = ïïí
ï + = ïïî
a Giải hệ khi m = 26
b Tìm m để hệ vô nghiệm
c Tìm m để hệ có 2 nghiệm phân biệt
Giải: Ta có
6 36 2
x y
m xy
ìï + = ïïï
-ï = ïïïî , khi đó x; y là nghiệm của pt X2 – 6X +
36 2
m
= 0 (1)
a Nghiệm của pt (1;5) và (5; 1)
b m < 18
c m > 18
Bài 3: Cho hệ pt
5( ) 4 4x
1
x y xy m
ìï + = + ïïí
ï + - = -ïïî
a/ Giải hệ khi m = 2
b/ Tìm m để hệ có nghiệm
Giải: a ( 4- - 7; 4- + 7) ( 4va- + 7; 4- - 7)
b
1 4 1
m
m
é
ê £
ê
ê ³
ê
ë
Bài 4 Tìm a để hệ pt
2 2 2
2(1 )
x y
ïïí
Giải: Đặt x+y = S và xy = P, ĐK S2 > 4P Ta có
2 1
S
ìï = ± ïïí
ï = -ïïî
Với S = 2, P = 1 – a thì x, y là nghiệm của X2 – 2 X + 1 – a = 0 có D =1' a
Trang 3Với S = -2 , P = 1 – a thì x, y là nghiệm của X2 + 2 X + 1 – a = 0 có D ='2 a
Để hệ có đúng 2 nghiệm thì mỗi pt có nghiệm kép, suy ra a = 0
4 Cách tìm nghiệm duy nhất của hệ đối xứng loại 1
ĐK cần
Vì (x0; y0) là nghiệm thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ Để hệ có nghiệm duy nhất thì x0 =
y0, thay vào hệ để tìm m
ĐK đủ: Thay m vừa tìm được vào hệ xem giá trị nào thỏa mãn
Ví dụ 1: Tìm m để hệ pt
2 2
6
x y m
x y
ìï + = ïïí
ï + = ïïî có nghiệm duy nhất
Giải
ĐK CẦN Vì (x0; y0) là nghiệm thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ Để hệ có nghiệm duy
nhất thì x0 = y0 Ta có hệ
2 0
0 0
18 2x
3
m m
x
ïî
ĐK ĐỦ Thay m = 18 vào ta có nghiệm ( x; y ) = (3; 3)
Ví dụ 2: Tìm m để hệ
2 2
ïïí
Đáp số: m = 0 hoặc m = 8
BÀI TẬP CŨNG CỐ
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
a
5
x y x y
xy x y
ìï + + + =
ïïí
ï + + =
4 4
ïï
íï + - =
11
x y yx
xy x y
ïïí
ïïî
d
2 2
11 3( ) 28
x y xy
x y x y
ìï + + =
ïïí
30 ( ) ( ) 35
x y y x
ïï
ïïî
Bài 2: Tìm m để hệ
2 1
x y xy m
x y yx m
ìï + + = + ïïí
Bài 3: Tìm m để hệ
2
xy x y m m
ïïí
Dạng 3: Hệ phương trình đối xứng loại 2
1/ Định nghĩa: Là hệ có dạng
( ; ) 0 ( ; ) 0
f x y
f y x
ïïí
ïïî trong đó hoán đổi x và y cho nhau thi phương trình này trở thành phương trình kia
Ví dụ: Hệ phương trình
2 2
3x 4
3 4x
ìï = -ïïí
-ïïî
Trang 42/ Cách giải
Trừ từng vế của 2 pt cho nhau để đưa về pt tích
3/ Ví dụ
Ví dụ 1: Giải các hệ pt:
a
2
2
3x 4
3 4x
ìï =
-ïïí
-ïïî Hệ có nghiệm (x; y) = (0;0) và (-1;-1)
b
2
2
0 3
y xy x x
y
x xy y
ïî
c
y x
y
x y
d
3 2
3 2
VN y
ïî
Ví dụ 2: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:
2x
ïïí
ïïî
Giải: ĐK CẦN x = y suy ra m = -1
ĐK ĐỦ Thay m = -1 ta thấy thỏa mãn
4/ Bài tập củng cố:
Bài 1: Giải các phương trình sau
a
3 2
3 2
0 40
é
b
3
3
0
é
c
3
3
1 2
1 2x
y
ïïí
ïïî
Bài 2: Tìm m để các hệ sau có nghiệm duy nhất:
a
2
2
ïïí
2 2
-ïïí
-ïïî
Trang 5c.( Khối B-2003)
2
2
2
2
3x
y
x
y
ï =
ïï
3x 0(3)
x y
y x y x y x y
x y y
é = ê
+ Với x = y ta có 3x3 - x2 - 2 = Û 0 x = Þ 1 y = 1
+ Phương trình (3) vô nghiệm vì x > 0 và y > 0
Dạng 4: Hệ phương trình đẳng cấp
1/ Định nghĩa: Là hệ có dạng
( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )
f x y g x y
f x y g x y
ïïí
ïïî trong đó f1 và f2 đẳng cấp và cùng bậc
g1; g2 đẳng cấp và cùng bậc
2/ Cách giải Bước 1: Xét x = 0 hoặc y = 0.
Bước 2: x khác 0 Đặt y = tx sau đó chia từng vế của 2 phương trình cho nhau
3/ Ví dụ Giải hệ phương trình
40 (1) 10x (2)
y x y
ïïí
ïïî
Giải + Nếu x = 0 suy ra y = 0 Vậy (0;0) là một nghiệm
+ Với x ¹ 0 Đặt y = tx thay vào hệ và chia từng vế của (1) cho (2) ta được
3 2
3 3
2
t
+
+
+ Với t = ½ suy ra x = 2y thay vào (2) ta được 5y(y2 – 4) = 0 Û y2 = Û4 y= ±2
Suy ra (4; 2) và (-4; -2) là nghiệm
+ Với t = -1/2 suy ra x = -2y thay vào (2) ta được y2 = -4 VN
Kết luận: Hệ có 3 nghiệm
4/ Bài tập
Bài 1 Giải các hệ phương trình
a (KA-2005)
3 3
y xy y
ïïí
ïïî b
2
x xy y y
ïïï
-ïïïî
c
2 2
2 2
ïïí
ïïî d
y y
ïïí
ïïî
ĐS a (1; 3) ; (3/2; 2) b (2; 1) ; (-2; -1) c (1;2) ; (2;1) d.
( 2; 1);( ; )
Trang 6Bài 2: Tìm m để hệ sau có nghiệm
2
4x
ïïí
ïïî
ĐS Mọi giá trị của m
Bài 3: Cho hệ
2
2
x xy
x xy y m
ìï - = ïïí
ïïî
a Giải hệ khi m = 14 b Tìm m để hệ có nghiệm
ĐS a.(2;1); (-2; -1) b mọi giá trị của m
Dạng 5: Hệ không có cấu trúc đặc biệt
Loại 1: Phương pháp thế và đặt ẩn phụ
Bài 1: Giải hệ
2 2
( 2 )(3 ) 18
x x x y
x x y
ïïí
ïïî
Giải: Đặt
2 ; 3 thay vào ta có
9
u v
ìï = = ïï
Với u = 3 và v = 6
và
Với u = 6 và v = 3
và
ï = - - ï = - +
Bài 2: Giải hệ
2
x x y x
ïïí
ïïî
Giải: Đặt
2
2 7
Ta có
2
u v
v
éìï = ïêïíê
ïêïîë Với u = 2 và v = 7 ta có
và
Với u = 7 và v = 2 ta có
Bài 3: Giải hệ
2 2
( 1) 3 0 (1)
K hôi D- 2009 5
x x y
x y
x
ìï + - - = ïïï
ïïïî
Trang 7Giải: ĐK 2
Đặt
1 1
2
t t
é = -ê ê
-ê = ê
Với t = -1 suy ra x = -1 và y = -1
Với t = -1/2 suy ra x = -2 và y = 3/2
Bài 4: Giải các hệ
a (Khối B- 2009)
1 7 (1)
1 13 (2)
ìï + + = ïïí
5/ 4
x y x y xy xy
-ïïí
-ïïî
c (Khối B- 2008)
4 3 2 2 2
ïïí
ïïî
d
(3x ) 3(9x ) 10(3x ) 0
1
3x
y
y
ïïï
-ïî
HD: a Vì y = 0 không thỏa mãn nên chia (1) cho y và chia (2) cho y2
Đặt
1 và x
Ta có
và
Hệ có các nghiệm (3 ; 1); (1; 1/3)
b Hệ tương đương
2 2
-ïïí
-ïïî
Đặt
và Ta có và
Hệ có nghiệm
2
c
2
(2) 2
xy
ïïï
4
x
x
é = ê
Hệ có nghiệm (-4; 17/4)
d ĐK y ¹ 3x Đặt u = 3x + y và v = 3x – y ta được
2 3 10 2 0 (1) 1
6 (2)
u uv v u
v
ïïï
íï + = ïïïî
Giải (1) ta có u = - 2v và u = 5v
Trang 8+ u = - 2v thay vào (2) ta có
12
+ u = 5v thay vào (2) ta có
Tóm lại hệ phương trình có 4 nghiệm
Loại 2 : Sử dụng phương pháp đồng biến, nghịch biến
Phương pháp: Nếu hàm số f(t) ĐB (NB) trên (a; b) thì phương trình f(x) = f(y) có nghiệm
duy nhất x = y trên (a ;b)
Bài 1: Giải hệ
3
(1) (DH K hoi A- 2003)
2 1 (2)
y x
ìïï - = -ïï
íï
ïïî
( ) ; t 0 có '( ) 1 0
, suy ra hàm đồng biến Phương trình (1) có nghiệm x = y thay vào (2) ta được
3
1
2
x x
x
é = ê ê
ê = ê ë
Vậy hệ có 3 nghiệm (1 ; 1) và
Bài 2: Giải hệ
a
DH a ĐS (1 ; 1) ; ( 3 - ± 15; 3 - ± 15)
b Ta có x4 + y4 = Þ 1 x4 £ Þ - £ 1 1 x £ Þ 1 y = x3 - 3 x nghịch biến
ĐS
4
4
1 2 1 2
x
y
ìïï = ±
ïï
ïí
ïï = ±
ïï
ïî
c ĐS x = y = 3