CASIO-LUCAS-FIBONACCI

Lời bình 4: Máy Casio fx-570MS vμ một số máy khác tiện lợi hơn Casio fx 500A vì chỉ cần lập trìnhkhai báo công thức một lần, sau đó sau mỗi lần bấm phím CALC chỉ cần thay X bằng một tr

Chương 2 Dãy truy hồi

Đ1 Dãy Fibonacci

1 Bμi toán thỏ đẻ con

Giả sử thỏ đẻ con theo quy luật: Một đôi thỏ cứ mỗi tháng đẻ được một đôi thỏ con, mỗi đôi thỏ con sau 2 tháng tuổi lại bắt đầu sinh một đôi thỏ nữa, rồi sau mỗi tháng lại tiếp tục sinh ra một đôi thỏ nữa, v.v vμ giả sử tất cả các con thỏ đều sống Hỏi nếu có một đôi thỏ nuôi từ tháng giêng vμ đẻ con vμo tháng hai thì đến cuối năm có bao nhiêu đôi thỏ tất cả

Bμi toán nμy được Fibonacci (1170-1250), một thương gia người ý, cũng lμ một nhμ toán học nổi tiếng

nhất thời Trung cổ, viết trong cuốn sách Liber abaci (Sách về tính toán) năm 1202

Số thỏ tính theo tháng có thể được mô tả theo sơ đồ dưới đây

Tháng 1: 1 1 đôi

Tháng 2: 1 2 2 đôi

Tháng 3: 3 đôi

Tháng 4: 5 đôi

Tháng 5: 8 dôi

Tháng 6: 13 đôi

Số thỏ của từng tháng sẽ lμ:

Trong tháng giêng có một đôi thỏ số 1

Vμo đầu tháng 2, đôi thỏ nμy đẻ một đôi thỏ số 2 Vậy trong tháng 2 có 2 đôi thỏ

Vμo đầu tháng 3, đôi thỏ số 1 đẻ ra đôi thỏ số 3, còn đôi thỏ số 2 mới sau 1 tháng nên chưa đẻ được Vậy trong tháng 3 có 3 đôi thỏ

Vμo đầu tháng 4, đôi thỏ số 1 đẻ ra đôi thỏ số 4, đôi thỏ số 2 đẻ ra đôi thỏ số 4.1, còn đôi thỏ số 3 mới

được 1 tháng nên chưa đẻ được Vậy trong tháng 4 có 5 đôi thỏ

Vμo đầu tháng 5, đôi thỏ số 1 đẻ ra đôi thỏ số 5.1, đôi thỏ số 2 đẻ ra đôi thỏ số 5.2, đôi thỏ số 3 đẻ ra

đôi thỏ số 5.3, đôi thỏ số 4 vμ số 4.1 mới được 1 tháng chưa đẻ được Vậy trong tháng 5 có 8 đôi thỏ

Ta thấy rằng:

Từ tháng giêng đến cuối tháng năm số đôi thỏ lμ: 1, 2, 3, 5, 8

Tiếp tục lý luận như trên ta có dãy số:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144

Dãy số nμy có quy luật: mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ ba, bằng tổng của hai số hạng đứng ngay trước nó:

1  1  2; 2  1  3; 3  2  5; 5  3  8;

8  5  13; 13  8  21; 21  13  34;

34  21  55; 55  34  89; 89  55  144,

Nếu gọi số thỏ của tháng thứ n lμ u n thì ta có công thức sau:

u  , u21, u n1u nu n1 với mọi n2

Dãy số trên sau nμy được Lucas gọi lμ dãy Fibonacci Những số hạng u n của dãy trên được gọi lμ số Fibonacci

2 Công thức tổng quát của số Fibonacci

Số hạng thứ n của dãy Fibonacci được tính theo công thức

5

n

  (1)

Trước tiên ta hãy thử tính một vμi giá trị của u : n

1

5

2

5

Với n : 3

2

1 1 5 1 5 1 1 3 5 3.5 5 5 1 3 5 3.5 5 5

4

n :

4

u

2 2

1 5 1 5 1 2 5 5 1 2 5 5

Một điều thú vị lμ: Một biểu thức chứa căn thức khá cồng kềnh, nhưng nó luôn lμ một số nguyên với mọi giá trị của n !

Cảnh báo: Nếu bạn lười biến đổi toán học, mμ lạm dụng máy tính thì kết quả có thể chỉ được những

số gần đúng

Bây giờ ta có thể chứng minh tính chất nμy bằng quy nạp như sau

Giả sử công thức (1) đúng với mọi giá trị của n Khi ấy với k n  ta có: k 1

1 1 5 1 5 1 1 5 1 5 (( ) ( ) ) (( ) ( ) )

[( ) (1 ) ( ) (1 )]

1 1 5 3 5 1 5 3 5

[( ) ( ) ( ) ( )]

1 1 5 (1 5) 1 5 (1 5) 1 1 5 1 5

5 2(1 5) 2(1 5) 5

Công thức (1) được chứng minh

2 Tính số Fibonacci trên máy tính điện tử bỏ túi

Ta có cách tìm số Fibonacci cực kỳ đơn giản trên máy tính bỏ túi như sau:

Quy trình tính số Fibonacci trên các máy Casio

Quy trình 1 tính số Fibonacci trên máy đơn giản Casio LC-403 LB (gồm 8 chữ số trên mμn hình):

Bấm phím: 1 M+

Vμ lặp lại dãy phím:  MRC M-  MRC M+

Quy trình 2 tính số Fibonacci trên máy đơn giản Casio LC-403 LB:

Bấm phím: 1 M+

Vμ lặp lại dãy phím:  MRC M+

Quy trình 2b tính số Fibonacci trên máy đơn giản Casio LC-403 LB:

Bấm phím: 1 M+

Vμ lặp lại dãy phím: M+  MRC

Thực hiện một trong hai quy trình nμy cho đến khi trμn mμn hình, ta

được 39 số Fibonacci đầu tiên:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,

4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025,121393, 196418, 317811,

514229, 830240, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465,

14930352, 24157817, 39088169, 63245986

Quy trình 3 tính số Fibonacci trên Casio fx 200 hoặc Casio fx - 500A:

Bấm phím: 1 Min

Vμ lặp lại dãy phím:  SHIFT XM

Quy trình 3b tính số Fibonacci trên Casio fx 200 hoặc Casio fx - 500A:

Bấm phím: 1 Min

Vμ lặp lại dãy phím: SHIFT XM 

Giải thích:

Bước 1: Bấm phím 1, trên mμn hình hiện số 1, (tức lμ ta đã khai báo u01), vμ bấm phím Min (coi

u  vμ đưa u11 vμo ô nhớ)

Bước 2: Bấm phím  SHIFT XM để cộng với số trên mμn hình với số đổi chỗ u01 với số trong ô nhớ (u11) Trên mμn hình vẫn hiện số 1, nhưng số 1 nμy lμ u11, trong ô nhớ bây giờ lμ u01

Bước 3: Bấm phím  ta sẽ được số Fibonacci u22

Lặp lại quá trình nμy ta sẽ lần lượt tính được các số hạng của số Fibônacci theo công thức tổng quát:

1

  n  n

u với mọi n  2

Quy trình 4 tính số Fibonacci trên Casio fx 200 hoặc Casio fx - 500A:

Bấm phím: 1 Min

Vμ lặp lại dãy phím:  MR M+

Quy trình 5 tính số Fibonacci trên Casio 570 MS, Casio 570 MS, Casio 570 W hoặc Casio

fx-4800P:

Bấm phím: 1 SHIFT STO A  1SHIFT STO M

Vμ lặp lại dãy phím:

 ALPHA A SHIFT STO A  ALPHA M SHIFT STO M

Thực hiện quy trình 3, quy trình 4 hoặc quy trình 5 trên các máy tương ứng (có 10 chữ số), ta được 49

số Fibonacci đầu tiên (39 số ở trên vμ 10 số tiếp theo, số thứ 50 bằng 125862690210, vượt quá khả năng hiển thị của mμn hình):

102334155, 165580141, 267914296, 433494437, 701408733, 1134903170, 1836311903, 2971215073,

4807526976, 7778742049

Quy trình 6 tính số Fibonacci trên Casio fx - 112s hoặc Casio fx - 992s (máy có 12 chữ số):

Bấm phím: 1 Min

Vμ lặp lại dãy phím: SHIFT XM 

Quy trình 7 tính số Fibonacci trên Casio fx - 112s hoặc Casio fx - 992s:

Bấm phím: 1 Min

Vμ lặp lại dãy phím: M+  MR

Quy trình 8 tính số Fibonacci trên Casio fx-7400G, Casio CFX-9850 PLUS hoặc Casio ALGEBRA FX 2.0 PLUS:

Bấm phím: 1  ALPHA A EXE 1  ALPHA B EXE

Vμ lặp lại dãy phím:

ALPHA A  ALPHA B EXE  ALPHA B EXE

Thực hiện quy trình 6, quy trình 7 hoặc quy trình 8 trên các máy tương ứng (hiển thị được 12 chữ số) cho đến khi trμn mμn hình Ta được 59 số Fibonacci đầu tiên (49 số ở trên vμ 10 số tiếp theo, số thứ 60 vượt quá 12 chữ số):

12586269025, 20365011074, 32951280099, 53316291173, 86267571272, 139583862445,

225851433717, 365435296162, 59128672879, 956722026041

Lời bình 1: Công cụ như nhau (trên cùng một máy), nhưng quy trình 2, quy trình 4 hoặc quy trình 7

đòi hỏi ít thao tác hơn (mỗi phép lặp chỉ cần bấm 3 phím so với 6 phím của quy trình 1, quy trình 3 hoặc quy trình 6), do đó ít nhầm lẫn hơn vμ thời gian thực hiện bằng nửa thời gian tính theo chương trình 1, quy trình 3 hoặc quy trình 6

Chú ý: Tất nhiên, một quy trình trên có thể thực hiện trên các máy khác (không liệt kê) ở trên

chúng ta chỉ liệt kê máy đặc biệt cho quy trình ấy thôi

Quy trình 9 (trên máy Calculator trong Windows):

Bấm phím: 1 M+

Vμ lặp lại dãy phím:  MR  M+

Ta sẽ được 159 số Fibonacci đầu tiên trên máy Calculator (hiển thị được 33 chữ số trên mμn hình)

lμ 59 số ở trên vμ 100 số tiếp theo, dưới đây lμ các số Fibonacci thứ 60 đến 100 Do số Fibonacci thứ 100 mới chỉ có 21 chữ số nên ta có thể tiếp tục tính số thỏ cho tới số Fibonacci thứ 159

1548008755920, 2504730781961, 4052739537881, 6557470319842, 10610209857723,

17167680177565, 27777890035288, 44945570212853, 72723460248141, 11766930460994,

190392490709135, 308061521170129, 498454011879264, 806515533049393, 1304969544928657,

2111485077978050, 3416454622906707, 5527939700884757, 8944394323791464, 14472334024676221,

23416728348467685, 37889062373143906, 61305790721611591, 99194853094755497,

160500643816367088, 259695496911122585, 420196140727489673, 679891637638612258,

1100087778366101931, 1779979416004714189, 2880067194370816120, 4660046610375530309,

7540113804746346429, 12200160415121876738, 19740274219868223167, 31940434634990099905,

51680708854858323072, 83621143489848422977, 135301852344706746049, 218922995834555169026,

354224848179261915075

Quy trình 10 tính số Fibonacci u11 trên Casio fx - 500A theo công thức

nghiệm tổng quát

5

n

Thực hiện: 1  5   2  SHIFT y

x 10   [( [( 1  5 )]  2 )]

SHIFT x y 10   5  (54.99999999)

Quy trình 11 Tính số Fibonacci u trên Casio fx-570 MS theo công n

thức nghiệm tổng quát:

( ( ( 1  5 )  2 ) ^ ALPHA X  ( ( 1 5 )  2 ) ^ ALPHA X )  5

Bấm CALC máy hiện X?

Thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta được các số trên

Lời bình 4: Máy Casio fx-570MS vμ một số máy khác tiện lợi hơn Casio fx 500A vì chỉ cần lập

trình(khai báo công thức) một lần, sau đó sau mỗi lần bấm phím CALC chỉ cần thay X bằng một trong

các số tự nhiên từ 1 đến 49, ta sẽ được các u tương ứng, trong khi đó, với Casio fx 500A, mỗi lần cần tính n

số hạng thứ u nμo đó ta lại phải lặp lại công thức từ đầu (máy không lưu được biểu thức cần tính) n

Lời bình 5: Tính theo công thức nghiệm tổng quát:

5

n

Ta chỉ được số gần đúng, nếu không chú ý có thể dẫn đến đáp số sai (số thỏ không phải lμ số nguyên, các số Fibonacci u , , 45 u bị sai một đơn vị- sai một con thỏ) Dưới đây lμ bảng đáp số tính gần đúng theo 49

công thức (1) vμ các giá trị chính xác (tính theo các quy trình bấm phím)

n

5

15

16

19

20

25

38

u 39088168,99 39088169 u 47 2971215072 2971215073

39

u 63245985,99 63245986 u 48 4807526975 4807526976

40

u 102334154,9 102334155 u 49 7778742048 7778742049

Nhận xét: Không nhất thiết phải bắt đầu từ hai số hạng đầu lμ u11 vμ u2 1 Có thể bắt đầu từ

hai số hạng liên tiếp bất kỳ của dãy Fibonacci, thí dụ, sau khi tính trên máy Casio LC-403 LB được 38 số, chuyển sang máy Casio fx- 500A tính tiếp theo chướng trình 4 như sau Trước tiên khai báo số hạng thứ

37 vμ 38 của dãy Fibonacci:

Bấm phím: 24157817 M+ 39088169

Vμ lặp lại dãy phím:  MR M+

Ta lại được các số hạng tiếp theo của dãy Fibonacci

Lời bình 6: Có thể thiết kế cuộc thi "chạy tiếp sức" trên cơ sở bμi toán tìm số Fibonacci Mỗi đội gồm

5 máy: Trước tiên cho máy Casio LC-403 LB chạy được 39 số, tiếp theo chuyển sang Casio fx- 500A,

được thêm 10 số, sau đó chuyển sang Casio fx - 992s được thêm 10 số nữa Cuối cùng chuyển sang

Caculator (trong Window) thì có thể tìm được 159 số Fibonacci Một máy dùng để tính số Fibonacci theo

công thức tổng quát

Các tính chất của dãy Fibonacci

Dãy Fibonacci có rất nhiều tính chất hay, dưới đây lμ một số tính chất quen thuộc Nhiều tính chất có thể mở rộng cho dãy Lucas

Tính chất 1 u m u u k m 1k u k1.u m k hay u n m u n1u mu u n m1

Tính chất nμy có thể chứng minh bằng quy nạp theo k hoặc bằng tính toán theo công thức (1)

Với n1 ta có:

Để áp dụng tính chất nμy, ta cần biết các số hạng bên phải Nói chung ta nên chọn các số n vμ m

gần nhau để tính toán được thuận tiện Thí dụ, cần tính số thỏ sau 2 năm (24 tháng) ta có thể chọn

12

nm vμ thay vμo công thức trên để tính:

24 12 12 11.12 12 13 12( 11 13) 144(89 233) 46368

u u  u u u u u u u   

Muốn tính số thỏ sau 25 tháng ta lμm như sau:

u u  u u u u u u   

u  u  u

Chứng minh: Suy ra từ tính chất 1 như sau:

2n1 (n1) n n n n 1 n1 n 1 n

u  u   u u u  u  u  u

áp dụng: Muốn tính số thỏ sau 25 tháng ta lμm như sau:

u u  u u   

Nhận xét: Các tính chất 1-2 cho phép tính các số hạng của dãy Fibonacci mμ không nhất thiết phải

biết tất cả các số hạng trong dãy Fibonacci trước nó Các ví dụ trên chỉ ra rằng, để tính được u25 ta chỉ cần biết u12 vμ u13, để tính được u24, ta chỉ cần biết u11, u12 vμ u13 Nếu chưa biết các số u11, u12 vμ u13 thì ta lại một lần nữa sử dụng hai tính chất trên để hạ chỉ số của số hạng (biểu diễn các số hạng có chỉ số cao qua các số hạng có chỉ số thấp)

Hơn nữa, các tính chất trên còn có thể sử dụng để tính các số hạng với chỉ số cao mμ giá trị của số hạng ấy lớn đến mức trμn mμn hình Với số Fibonacci lớn hơn 49, ta không tính được trên máy tính bỏ túi vì trμn mμn hình Nhưng ta có thể tính các số Fibonacci nhỏ hơn rồi áp dụng công thức trên để tính số

Fibonacci lớn (bằng cách cộng trên giấy hoặc dùng Calculator cộng hai kết quả cuối cùng)

Thí dụ: Tính số thỏ sau 50 tháng:

(144 233 )(46368 121393) (20376 54289)167761

20376 167761 54289 167761 3416788287 9107576929

12524365216

u u  u u u u u u u  u u u u 



1 ( 1)n

n n n

u u  u   

Tính chất 4 u1u3u5  u2n1u2n

Tính chất 5 Với mọi n ta có: v n: u n4u n2u n2u n 3

Nghĩa lμ: biểu thức u n4.u n2u n2u n luôn bằng hằng số (bằng 3) với mọi n

Chứng minh: Thật vậy,

Suy ra: v nv3 u u7 1u u5 3  21.1 8.3 3

Tính chất 6 (Toán học & Tuổi trẻ, số 12-1994, bμi T6/206)

Với mọi n số 4u n2 2u u n2u n49 lμ một số chính phương

Chứng minh: Theo tính chất 3 ta có: 4u n2u u n n2u n4 9 4u u n n2(u u n n2  3) 9 (2u u n n23)2

Tính chất 7 (Toán học & Tuổi trẻ, số 12-1994, bμi T6/206) Với mọi n số 2 2

4u u n n k u n k l u n k l u u k k

lμ một số chính phương

Chứng minh: Tương tự tính chất 4 nhờ sử dụng tính chất (1)

Tính chất 8 1

1

lim n

n n

u

u 

1

lim n

n n

u

    , trong đó  vμ 1  lμ nghiệm của phương trình bậc hai:2

x   x , tức lμ: 1 1 5 1, 61803

2

    vμ 2 1 5 0, 61803

2

Trước khi chứng minh ta có thể nhờ máy tính để kiểm tra tính chất nμy Thí dụ,

46

45

2971215073

1.618033989 1836311903

u

46

4807526976

1.618033989 2971215073

u

48

47

7778742049

1.618033989 4807526976

u

Đến đây, ta có thể tin tưởng chắc chắn tính chất trên lμ đúng

Về mặt toán học, ta dễ dμng chứng minh 1

1

lim n n n

u

u 

2

lim n n n

u

u 

  nhờ công thức nghiệm (1)

Bμi tập 2 (Vô địch Toán Moscow lần thứ 9, 1946) Trong số 1081 số hạng đầu tiên của dãy Fibonacci, có số nμo tận cùng bằng bốn số 0 không?

Balatsơ đã giải bμi toán khó hơn: Đánh số tất cả các số hạng tận cùng bằng bốn chữ số 0 vμ đã được giải nhất

Đ2 Dãy Fibonacci suy rộng

1 Dãy Lucas Dãy Lucas lμ dãy số tổng quát của dãy Fibonacci: các số hạng của nó tuân theo quy luật:

1

u a, u2b, u n1u nu n1

với mọi n2, trong đó a vμ b lμ hai số nμo đó

Với a  thì dãy Lucas trở thμnh dãy Fibonacci b 1

Ta cũng có thể tính số hạng của dãy Lucas rất đơn giản nhờ máy tính điện tử bỏ túi fx 500A như sau

Quy trình 1 tính số Lucas trên Casio fx 500A:

Bấm phím: a M+ b

Vμ lặp lại dãy phím: M+  MR

Quy trình 2 tính số Lucas trên Casio fx 500A:

Bấm phím: a Min b

Vμ lặp lại dãy phím:  SHIFT XM

Quy trình 3 tính số Lucas trên Casio fx 500A:

Bấm phím: b Min a

Vμ lặp lại dãy phím: SHIFT XM 

Cho u1a, u2 b các giá trị số nμo đó, sau khi thực hiện các bước lặp theo một trong các quy trình trên ta được dãy Lucas

Quy trình tính số Lucas trên Casio 570 MS:

Bấm phím: b SHIFT STO A  a SHIFT STO M

Vμ lặp lại dãy phím:

 ALPHA A SHIFT STO A  ALPHA M SHIFT STO M

Thí dụ 1 Với u11 vμ u23:

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349,15127, 24476,

39603, 64079, 103682, 167761, 271443, 439204, 710647, 1149851, 1860498, 3010349, 4870847, 781196,

12752043, 20633239,

Thí dụ 2 Với u1 3, u24:

1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, 73, 118, 191, 309, 500, 809, 1309, 2118, 3427, 5545, 8972, 14517, 23489,…

Thí dụ 3 Với u1 1, u2  5:

-1, -5, -6,-11,17,-28,

Thí dụ 4 Với u11, u2 5:

1, -5, -4, -9, -13, -22, -35, -57, -92, -149,

2 Dãy Fibonacci suy rộng

2.1 Dãy Fibonacci (Dãy Lucas) suy rộng tuyến tính dạng

1

u a, u2b, u n1Au nBu n1 với mọi n2

Quy trình tính số Fibonacci suy rộng dạng u n1Au nBu n1 trên Casio fx- 500A:

Bấm phím: A  b Min  B  a 

Vμ lặp lại dãy phím: SHIFT XM  B  MR  A 

Giải thích: Sau khi thực hiện A  b Min  B  a  , máy đưa bu2 vμo trong ô nhớ vμ tính tổng AbBaAu2Bu1

Sau khi bấm phím  , trên mμn hình sẽ lμ số hạng thứ ba của dãy: u3:Au2Bu1

Sau khi thực hiện đổi chỗ các số trên mμn hình vμ ô nhớ: SHIFT XM , trên mμn hình sẽ lμ

2

bu , còn trong ô nhớ sẽ lμ u3

Sau khi thực hiện  B  , trên mμn hình sẽ lμBu2 Sau khi thực hiện MR  A, trên mμn hình sẽ

lμ Au3 Sau khi bấm phím  , máy tính tổng Au3Bu2, trên mμn hình sẽ lμ u4:Au3Bu2

Như vậy, sau một vòng lặp, ta có số hạng u4 trên mμn hình vμ u3 trong ô nhớ

Lại thực hiện vòng lặp SHIFT XM  B  MR  A  trước tiên ta đổi u3 trong ô nhớ ra mμn hình vμ u4 trên mμn hình vμo ô nhớ Sau đó lấy u3 (lúc nμy trên mμn hình) nhân với B vμ cộng với

MR (lμ u4) nhân với A ta được u5:Au4Bu3 trên mμn hình vμ u4 trong ô nhớ Tiếp tục vòng lặp ta được dãy số u n1Au nBu n1

Thí dụ Với A4, B5, u1 2 a vμ u23, u n14u n5u n1 , thực hiện quy trình

5  2  4 3 Min 

lặp lại dãy phím: SHIFT XM  5  MR  4 

ta được dãy:

2, 3, 22,103, 522, 2603, 13022, 65103, 325522, 1627603, 8138022, 40690103, 203450522, 1017252603,

5086263022, 2.5431315110(trμn mμn hình)

Quy trình tính số hạng của dãy Fibonacci suy rộng dạng u1a, u2 b, u n1Au nBu n1 trên Casio fx-570 MS:

Bấm phím: b SHIFT STO A  A  B  a SHIFT STO B

Vμ lặp lại dãy phím:

 A  ALPHA A  B SHIFT STO A

 A  ALPHA B  B SHIFT STO B

Giải thích: Sau khi thực hiện

b SHIFT STO A  A  B  a SHIFT STO B

trong ô nhớ sẽ A lμ bu2, máy tính tổng u3:AbBaAu2Bu1 vμ đẩy vμo trong ô nhớ B , trên mμn hình cũng lμ u3:AbBa Au2Bu1

Sau khi thực hiện  A  ALPHA A  B SHIFT STO A máy tính tổng u4:Au3Bu2 vμ đưa vμo ô nhớ A Như vậy, ta có số hạng u4 trên mμn hình vμ trong ô nhớ A , còn trong ô nhớ B lμ u3 Sau khi thực hiện  A  ALPHA B  B SHIFT STO B ta có số hạng u5 trên mμn hình vμ trong ô nhớ B , còn trong ô nhớ A lμ u4

Tiếp tục vòng lặp ta được dãy số u n1Au nBu n1

Thí dụ Với A4, B5, u1 2 a vμ u2  3 b, u n14u n5u n1 ,

thực hiện quy trình: 3SHIFT STO A  4  5  2 SHIFT STO B

vμ lặp lại dãy phím:  4  ALPHA A  5 SHIFT STO A

 4  ALPHA B  5 SHIFT STO B

ta được dãy: 2, 3, 22,103, 522, 2603, 13022, 65103, 325522, 1627603, 8138022, 40690103, 203450522,

1017252603, 5086263022, 2.5431315110(trμn mμn hình)

Nhận xét: Hai quy trình trên hai máy cùng đi đến một kết quả như nhau, nhưng lμm trên Casio

fx-570 MS tiện hơn vì máy hiện hai dòng chữ cho ta thấy kết quả của phép toán trước, không gây nhầm lẫn Bμi tập 1 (Thi học sinh giỏi Toán Quốc gia THPH 1998-19992)

Cho dãy số  x n n0 vμ  y n n0 được xác định như sau:

x  , x14vμ x n23x n1x n với n0,1, 2, 3,

y  , y12vμ y n2 3y n1y n với n0,1, 2, 3,

Chứng minh rằng x2n5y n2 4 0 với mọi n0,1, 2, 3,

Giả sử a b, lμ các số nguyên dương mμ a25b2  Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên 4 0 k sao cho x k  vμ a y k  b

Bμi tập 2 (Olympic Toán Singapore 2001)

Cho a12000, a22001vμ a n22a n1a n với 3 n1, 2, 3, Tìm giá trị của a100

Bμi tập 3 (T1/265, THTT 11-1999)

Cho a1 , 1 a2  vμ 3 a n22a n1a n với 1 n1, 2, 3, Chứng minh rằng A4a a n n2 lμ số chính 1

phương

Bμi tập 4 (T8/267, THTT, 1-2000)

Cho dãy số u0  , 3 u1 vμ 11 u n22u n17u n với n0,1, 2, 3, Tìm các số nguyên dương lẻ a sao cho với các số nguyên dương m vμ n tuỳ ý luôn tìm được số nguyên dương k thỏa mãn u n k chia hết cho a 2m

Bμi tập 5 (T6/268, THTT-2-2000)

Cho a0  , a a1 vμ b a n2da n1a n với n0,1, 2, 3, , trong đó a b, lμ hai số nguyên khác 0 còn d lμ

số thực Tìm mọi giá trị của d để a n lμ số

nguyên với mọi n0,1, 2, 3,

Bμi tập 6 (Olympic Toán Ba Lan 1995)

Cho số nguyên tố p3 Xét dãy  a n xác định bởi a n  với n n0,1, 2, 3, ,p1; a na n1a n p Tìm

số dư khi chia a p3 cho p

Bμi tập 7 (T7/270, THTT 4-2000)

Cho dãy số  u n được xác định bởi:

u  , u1  vμ 1 u n1ku nu n1 với mọi n0,1, 2, 3, Tìm tất cả các giá trị của k để dãy  u n lμ tuần hoμn

Bμi tập 8 (T6/278, THTT 12-2000)

Cho dãy số  u n được xác định bởi:

u  , u1 vμ 1 u n2 1999u n1u n với mọi n0,1, 2, 3, Tìm tất cả các số tự nhiên n để dãy u n lμ số nguyên tố

Bμi tập 9 (T6/301, THTT 7-2001)

Cho dãy số  u n được xác định bởi:

u  , u211vμ u n12u n3u n1 với mọi n2, 3,

Chứng minh rằng:

1) Dãy số trên có vô số số dương vμ số âm

2) u2002 chia hết cho 11

Bμi tập 11 (T1/219, THTT 1-1996)

Chứng minh rằng: 1) Nếu n lμ số tự nhiên mμ

2 1 3

n 

lμ tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì n lμ tổng bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp

2) Dãy số  u n được xác định bởi:

u  , u113 vμ u n2 14u n1u n với mọi n0,1, 2, 3,

có tính chất: các số hạng u n của dãy lμ tổng bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp, hơn nữa

2

1

3

n

u 

lμ tích của hai số liên tiếp

Bμi tập 12 (Thi học sinh giỏi THPT 1995)

Dãy số  u n được xác định bởi:

u  , u1 vμ 3 1

2

1

9 , 2

9 5 , 2 1

n

u









 với mọi n0,1, 2, 3,

Chứng minh rằng:

1)

2000

2 1995

k k

u

 chia hết cho 20

2) u2n1 không phải lμ số chính phương với mọi n

2.2 Dãy Fibonacci (dãy Lucas) suy rộng bậc hai dạng u1 , a u2  , b

1

n

u  u u  với mọi

2

n

Quy trình tính số hạng của dãy u1 , a u2  , b 2 21

n

u  u u  trên Casio fx- 500A:

Bấm phím: a SHIFT x2  b Min SHIFT x2 

Vμ lặp lại dãy phím:

SHIFT XM SHIFT x2  MR SHIFT x2 

Thí dụ Với u1u2 , 1

1

n

u  u u  , thực hiện quy trình trên ta được dãy:

1,1, 2, 5, 29, 866, 750797, 5.63696885111

Quy trình tính số hạng của dãy u1 , a u2 , b

1

n

u u u trên Casio fx-570 MS:

Bấm phím: b SHIFT STO A x2  a 2

x SHIFT STO B

Vμ lặp lại dãy phím:

2

x  ALPHA A x2 SHIFT STO A

2

x  ALPHA B x2 SHIFT STO B

Bμi tập 13 (Thi vô địch Toán Lêningrat, 1967)

Cho dãy u1u2 , 1 2 2

u  u u  Tìm số dư của u n chia cho 7

2.3 Dãy Fibonacci phi tuyến

u1 , a u2 , b u n1F u1( n)F u2( n1) với mọi n , trong đó 2 F x1( ) vμ F x2( ) lμ hai biểu thức toán

học của biến số x

Quy trình tính số hạng của dãy u1 , a u2  , b u n1F u1( n)F u2( n1) trên Casio fx- 500A: Khai

báo b Min

Tính F b1( )  F a2( ) 

ta được u2 trong ô nhớ vμ b u3F u1( 2)F u2( )1 F b1( )F a2( ) trên mμn hình

Vμ lặp lại dãy phím: SHIFT XM F2  F1 MR 

Quy trình tính số hạng của dãy u1 , a u2  , b u n1F u1( n)F u2( n1) trên Casio fx-570 MS:

Bấm phím: b SHIFT STO A F1  F a1( ) SHIFT STO B

Vμ lặp lại dãy phím: F2  ALPHA A F1 SHIFT STO A

2

F  ALPHA B F1 SHIFT STO B

2.4 Dãy truy hồi tổng quát 1

1

( )

k

i

u F u



 với mọi n , trong đó k u1, u2, , u k cho trước, F x i( ), 1, ,

i n lμ các biểu thức toán học của biến số x

Khi k ta khó có thể sử dụng Casio fx- 500A được vì chỉ có 1 ô nhớ + mμn hình Tuy nhiên, có thể 3

sử dụng Casio fx-570 MS để tính dãy truy hồi tổng quát trên (với k10) vì Casio fx-570 MS có đến 9 ô

nhớ

Thí dụ Dãy Fibonacci bậc 3: u1u2 ,1 u3 , 2 u n1u nu n1u n2 với n 3

Quy trình tính số hạng của dãy u1u2  ,1 u3 , 2 u n1u nu n1u n2 trên Casio fx-570 MS:

Đưa u2 vμo A : 1SHIFT STO A

Đưa u3 vμo B : 1SHIFT STO B

Tính u4: ALPHA B  ALPHA A  1 SHIFT STO C (u4)

Vμ lặp lại dãy phím

 ALPHA B  ALPHA A SHIFT STO A (u5)

 ALPHA C  ALPHA B SHIFT STO B (u6)

 ALPHA A  ALPHA C SHIFT STO C (u7)

Ta được dãy: 1,1,1,3,5,9,17,31,57,105,193,355,653,

Bμi tập (Thi trắc nghiệm học sinh giỏi toán toμn nước Mỹ, 1970)

Nếu F n( ) được tính theo công thức: F(1)F(2)F(3) vμ 1

( ) ( 1) 1 ( 1)

( 2)

F n F n

F n

F n

 

 

 với n 3 Thế thì: F(6) bằng:

(A) 2; (B) 3; (C) 7; (D) 11; (E) 26

Đ3 Dãy Fibonacci vμ các vấn đề liên quan

Dãy Fibonacci khá nổi tiếng Nó liên quan tới nhiều vấn đề khác của toán học vμ thực tế: Dãy Lucas,

số vμng, sắp xếp các lá cây trên một thân cây,

1 Số vμng

Liên quan giữa số Fibonacci vμ số vμng được thể hiện qua bμi thi sau đây

Thi tú tμi Paris - Cretpell - Versailes (Pháp, 1989 - 1990, Ban A1 - Ban văn chương)

Platon có nói: "Số lμ bậc cao nhất của tri thức con số ấy chính lμ tri thức" Con số ấy lμ "số vμng" mμ người ta thường gặp trong kiến trúc, âm nhạc, Nó có rất nhiều tính chất Số vμng, ký hiệu lμ  , lμ nghiệm dương của phương trình x2  x 1

1) Tính  Hãy cho giá trị gần đúng (sai kém 102) của 

2) Sự tham gia của số vμng vμo kiến trúc Mặt tiền của điện Pathénon có dạng hình chữ nhật

ABCD Nếu ta dựng hình vuông AEFD bên trong hình chữ nhật thì ta có:

AD EB

AB  BC (1)

Hình chữ nhật ABCD thỏa mãn (1) thì được gọi lμ hình chữ nhật vμng

a) Cho ADAE1 vμ AB  Chứng tỏ a a  Tính giá trị gần đúng (sai kém  102) của EB

b) Chứng tỏ ABCD lμ hình chữ nhật vμng thì EBCF cũng lμ hình chữ nhật vμng

3) Khảo sát các lũy thừa của 

Từ

   (2)

a) Chứng minh: 32 1

Chứng minh: 4a4 , trong đó b4 a vμ 4 b lμ các số tự nhiên 4

b) Chứng minh: na nb n ( n lμ số tự nhiên vμ n ), trong đó 2 a vμ n b lμ các số tự nhiên n

Tính n 1 theo a , n b vμ n  rồi suy ra:

1

1







 với mọi n 2

c) Dùng các kết quả trên hãy điền các ô trống trong bảng dưới đây:

n

n

Lời giải: 1) Nghiệm dương của x2   lμ x 1 1 5

2

  Máy tính bỏ túi cho: 1, 61803 1, 62

2) a) Ta có: AD EB

AB  BC hay 1 1

1

a a



 Suy ra a2 a 1 hay a

Giá trị của EB : 1 1 1 5 1 5 1 0, 62

EB    a      

b) ABCD lμ hình chữ nhật vμng nên AD 1 1

AB  a 

Đối với hình chữ nhật EBCF ta có (theo (1)): EB AD 1

BC  AB 

Vậy EBCF cũng lμ hình chữ nhật vμng

3) a) Ta có: 2

1

   Suy ra 3 2

       

           

b) Giả sử ta có: n

n n

a b

   ( n lμ số tự nhiên vμ n2), trong đó a vμ n b lμ các số tự nhiên n

Khi ấy

               

hay 1

1





 



 

 với mọi n2

c) Bảng:

n

n

Một số tính chất khác của số vμng:

1) Ta có:  1 2 1,  1 2  1, 2   1 2, 6183

2) Liên hệ giữa tỷ số vμng với góc lượng giác:

Góc (radian)

(2 sin) (2 cos) 2

20

10

3 20

5

4

0

2 Dãy Fibonacci trong thiên nhiên