Trong chương 5 của tài liệu [10], Ray đãchứng minh một số quan hệ đặc biệt giữa các số cân bằng và các số vô tỷ λ1 và λ2.Mục tiêu đầu tiên của luận văn này là trình bày lại các kết quả n
Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ nhấn mạnh khái niệm về phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất và tầm quan trọng của việc hiểu công thức nghiệm trong trường hợp đa thức đặc trưng có hai nghiệm phân biệt, nhằm chuẩn bị cho các nội dung tiếp theo Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất có dạng uₙ₊₁ = Auₙ + Buₙ₋₁ trong đó A và B là các hằng số Để xác định nghiệm của phương trình này, ta xem xét phương trình bậc hai λ² − Aλ − B = 0, các phương pháp giải dựa trên đặc điểm của nghiệm của đa thức đặc trưng này để tìm ra các nghiệm phù hợp.
Phương trình bậc hai phản ánh phương trình đặc trưng của phương trình sai phân (1.1) Theo Định lý 1.1.2 ([6, Theorem 10.1]), nếu phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt là α và β, thì phương trình sai phân (1.1) có nghiệm dạng u_n = C_1 α^n + C_2 β^n, với n = 0, 1, 2, , trong đó C_1 và C_2 là các hằng số bất kỳ Điều này giúp xác định nghiệm của phương trình sai phân dựa trên các nghiệm phân biệt của phương trình đặc trưng.
Chúng ta cũng cần chú ý rằng, nếu biết điều kiện ban đầuu 0 vàu 1 thì các hằng số
C 1 vàC 2 hoàn toàn được xác định.
Ví dụ 1.1.3 Tìm nghiệm của phương trình sai phân u n+1 = 5u n −6u n−1 (1.4) với điều kiện ban đầuu 0 = 4, u 1 = 7.
Giải Phương trình đặc trưng của phương trình (1.4) là λ 2 −5λ+ 6 = 0.
Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt là 2 và3 Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình (1.4) là u n =C 1 2 n +C 2 3 n , n= 0,1,
Từ điều kiện ban đầuu 0 = 4, u 1 = 7ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình này ta đượcC 1 = 5, C 2 = −1 Vậy nghiệm của phương trình (1.4) với điều kiện ban đầuu 0 = 4, u 1 = 7là u n = 5.2 n −3 n , n = 0,1,
502 Bad GatewayUnable to reach the origin service The service may be down or it may not be responding to traffic from cloudflared
Số cân bằng
502 Bad GatewayUnable to reach the origin service The service may be down or it may not be responding to traffic from cloudflared
1 + 2 +ã ã ã+ (m−1) = (m+ 1) + (m+ 2) +ã ã ã+ (m+r) vớirlà số tự nhiên nào đó; sốrđược gọi là hệ số cân bằng củam.
502 Bad GatewayUnable to reach the origin service The service may be down or it may not be responding to traffic from cloudflared
Kí hiệu B n là số cân bằng thứ n và đặt B 0 = 1 Behera và Panda [4] đã chứng minh được dãy{B n } ∞ n=0 được xác định bởi phương trình sai phân
B n+1 = 6B n −B n−1 , n= 1,2, , (1.6) với điều kiện ban đầuB 0 = 1, B 1 = 6.Như vậy, ta có
Phương trình đặc trưng của phương trình (1.6) là λ 2 −6λ+ 1 = 0.
Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt λ 1 = 3 + 2√
2. Áp dụng công thức (1.5) ta được
B n = λ n+1 1 −λ n+1 2 λ 1 −λ 2 , n= 0,1,2, (1.7)Công thức (1.7) được gọi là công thức Binet cho số cân bằng.
Số Lucas-cân bằng
Như đã trình bày ở phần trước một số nguyên dương n được gọi là một số cân bằng với hệ số cân bằngrnếu nó là nghiệm của phương trình Diophant
Kí hiệuB n là số cân bằng thứnvà với quy ước1cũng là số cân bằng ta đã thấy rằng dãy{B n }thỏa mãn điều kiện
502 Bad GatewayUnable to reach the origin service The service may be down or it may not be responding to traffic from cloudflared
B n+1 = 6B n −B n−1 , n >2, (1.8) với điều kiện ban đầu làB 1 = 1vàB 2 = 6.
Với chỉ số mới này, công thức Binet (1.7) cho các số cân bằng trở thành
Behera và Panda [4] cũng đã chỉ ra rằng sốn là số cân bằng nếu và chỉ nếun 2 là số tam giác, tức làn 2 có dạng
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày rằng với một số nguyên dương n, điều kiện 1 + 2 + ã ã ã + m, tương đương với việc 8n^2 + 1 là số chính phương (xem chi tiết trong [1, Mệnh đề 1.1.1]) Ngoài ra, định nghĩa 1.3.1 cho biết rằng nếu B_n là số cân bằng thứ n, thì số C_n = p.
8B n 2 + 1được gọi là số Lucas-cân bằngthứn.
Dựa vào định nghĩa của số Lucas-cân bằng, ta dễ dàng xác nhận công thức Binet cho các số này Cụ thể, định lý 1.3.2 ([1, Mệnh đề 1.6.1]) cho phép chứng minh các công thức liên quan đến số Lucas-cân bằng một cách dễ dàng bằng cách sử dụng các ký hiệu đã định nghĩa trước đó.
Sử dụng công thức Binet (1.10) ta có thể chứng minh được các số Lucas-cân bằng được xác định bởi phương trình sai phân tuyến tính cấp hai
C n+1 = 6C n −C n−1 , n >2, (1.11) với điều kiện ban đầu làC 1 = 3vàC 2 = 17.Trước khi chứng minh điều này, ta chứng minh bổ đề sau đây:
Bổ đề 1.3.3 Sử dụng các kí hiệu như trên ta có
Chứng minh Rõ ràng ta có λ 1 +λ 2 = 6, λ 1 −λ 2 = 2√
8, λ 1 λ 2 = 1 (1.13) Với các đẳng thức này, biến đổi từng vế của (1.12) ta có
Từ đây suy ra đẳng thức (1.12). Định lý 1.3.4 Dãy các số Lucas-cân bằng{C n }thỏa mãn phương trình sai phân
Sử dụng Bổ đề 1.3.3 ta thu được
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Một số tính chất của các số λ 1 và λ 2
Như ở các phần trên ta đã thấy λ 1 = 3 +√
8là hai nghiệm của phương trình đặc trưng λ 2 −6λ+ 1 = 0.
Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá các tính chất thú vị của hai số vô tỷ, cũng như mối liên hệ giữa chúng với các số cân bằng và số Lucas-cân bằng Các số vô tỷ này đều thỏa mãn một phương trình hồi quy tương tự như phương trình sai phân xác định các số cân bằng, giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc và đặc điểm của chúng Điều này mở ra những tiềm năng nghiên cứu mới trong lý thuyết số và các ứng dụng liên quan.
Mệnh đề 1.4.1 Với mọi số nguyên dươngnta có λ n+1 1 = 6λ n 1 −λ n−1 1 vàλ n+1 2 = 6λ n 2 −λ n−1 2
Chứng minh Doλ 1 vàλ 2 là hai nghiệm của phương trình λ 2 −6λ+ 1 = 0 nên ta có λ 2 1 = 6λ 1 −1 và λ 2 2 = 6λ 2 −1.
Bằng cách nhân cả hai vế của các hệ thức này lần lượt vớiλ n−1 1 vàλ n−1 2 ta thu được điều cần phải chứng minh.
Các định lý sau đây giúp làm rõ mối quan hệ giữa các số cân bằng và các số vô tỷ λ₁, λ₂, trong đó công thức Binet là mối liên hệ quan trọng đầu tiên Cụ thể, định lý 1.4.2 trình bày các đặc tính của các số cân bằng, đồng thời cung cấp một chứng minh trực tiếp bằng phương pháp quy nạp để xác nhận công thức này.
Chứng minh Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp Vớin= 1ta có
8(λ i 1 −λ i 2 ), với mọii = 1,2, , k Khi đó ta có
Vậy theo nguyên lý quy nạp định lý hoàn toàn được chứng minh.
Ta thấy rằng 0 < λ 2 < 0,1716 Do đó, khin càng lớn thì λ n 2 càng tiến dần về 0. Điều này chứng tỏ rằng giá trị củaB n xấp xỉ với giá trị 1
8λ n 1 Cụ thể ta có định lý sau: Định lý 1.4.3 Với mọi số nguyên dươngn, số cân bằngB n là số nguyên gần nhất với
8λ n 1 Chứng minh Theo công thức Binet ta có
2 với mọi số nguyên dươngnnên ta suy ra B n là số nguyên gần nhất với 1
8λ n 1 Đặc biệt khin đủ lớn thìB n rất gần với 1
Nhận xét 1.4.4 Theo định lý trênB n là số nguyên gần nhất với 1
8λ n 1 c,trong đúbãclà kớ hiệu hàm sàn.
Định lý 1.4.5 cho biết rằng, với mọi số nguyên dương n, số Lucas-cân bằng C n luôn là số nguyên gần nhất với 1 Công thức Binet cho các số Lucas-cân bằng giúp xác định chính xác giá trị của C n, đồng thời làm rõ tính chất gần đúng của chúng đối với số 1 Điều này khẳng định tầm quan trọng của công thức Binet trong việc phân tích các số Lucas-cân bằng và cung cấp nền tảng vững chắc trong lĩnh vực lý thuyết số.
Định lý 1.4.6 cung cấp các giới hạn trên và dưới của λₙ, được biểu diễn bằng các số cân bằng và số Lucas-cân bằng tương ứng Điều này giúp xác định chính xác các giá trị của λₙ trong quá trình phân tích Các số cân bằng và số Lucas-cân bằng đóng vai trò quan trọng trong việc ước lượng các tham số liên quan đến bài toán Áp dụng định lý này, ta có thể dễ dàng xác định khoảng giá trị hợp lý cho λₙ dựa trên các số cân bằng và số Lucas-cân bằng Đây là công cụ hữu ích để phân tích các biểu thức phức tạp liên quan đến hàm trần, giúp tối ưu hóa các phép tính và dự đoán chính xác hơn.
Chứng minh Sử dụng công thức Binet cho số cân bằngB n ta có
8λ n 2 là số dương nên ta suy ra
Bây giờ sử dụng công thức Binet cho số Lucas-cân bằngC n ta có
2 dương nên ta suy ra λ n 1 0, nhưng nếux 1 được xác định bởi y 0 +x 0 √
5, ta có y 0 = 9y 1 + 20x 1 và x 0 = 9x 1 + 4y 1 Từ các phương trình trước, ta có x 1 9x 0 −4y 0 vàx 0 ≤ 4y 0
9 Sử dụng phương trình (2.4) ta có y 2 0 −4 = 5x 2 0 ≤ 80
Do đó lần lượt ta cóy 0 = 3,7,18vàx 0 = 1,3,8.Như vậy, nghiệm tổng quát của (2.4) là y +x
5) m , (2.11) trong đóm= 0,1,2, Thực hiện tương tự đối với phương trình (2.5), ta có y 1 = 9y 0 −20x 0 ≤ 0(trong trường hợp nàyx 0 luôn dương), vày 0 2 = 5x 2 0 −4≤ 400
81 x 2 0 Suy rax 0 = 1,2,5tương ứngy 0 = 1,4,11.Do đó, nghiệm tổng quát của (2.5) là y +x√
5) m , (2.14) trong đóm= 0,1,2, Nghiệm tổng quát của (2.6) là z+√ 8x= (3 +√
8) n (2.15) trong đó n = 0,1,2, Ta tìm các nghiệm chung của các phương trình từ (2.9)- (2.14) với phương trình (2.15) Sử dụng các phương trình (2.9) và (2.15) và các phương trình liên hợp của chúng ta có
5) m , trong phương trình (2.16) ta có
P −Q QP và dóP > 1vàQ > 1ta cóQ < P Do đó,P −Q = 4
5) 2m Áp dụng các bất đẳng thức ở trước và theo định nghĩa củaP vàQ,ta có
5) 2m (2.18) Áp dụng Định lí 2.2.4 vớin = 3và α1 = 9 + 4
5) −2 ) −m < e −5.77 Các phương trình được thỏa mãn với α 1 , α 2 , α 3 là α 2 1 −18α 1 + 1 = 0, α 2 2 −6α 2 + 1 = 0, 25α 2 3 −1120α 2 3 + 1024 = 0.
Từ đóA 1 = 18, A 2 = 1120vàd= 4.Áp dụng Định lí 2.2.4 và các bất đẳng thức phía trước ta có m < 15.77(16×3×4) 10 log 8 log 18 log 1120 logm −(16×3×4) 10 log 18 log 6 log 1024 log 4m.