(Luận văn thạc sĩ) số cân bằng fibonacci và số cân bằng lucas

Trong chương 5 của tài liệu [10], Ray đãchứng minh một số quan hệ đặc biệt giữa các số cân bằng và các số vô tỷ λ1 và λ2.Mục tiêu đầu tiên của luận văn này là trình bày lại các kết quả n

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGÔ VĂN ĐỊNH

Thái Nguyên - 2016

Mục lục

Chương1 Số cân bằng và một số dãy số liên quan 4

1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất 4

1.2 Số cân bằng 6

1.3 Số Lucas-cân bằng 7

1.4 Một số tính chất của các số λ1và λ2 9

1.5 Một số mối quan hệ giữa số cân bằng và số Lucas-cân bằng 14

Chương2 Số cân bằng Fibonacci và số cân bằng Lucas 19 2.1 Số Fibonacci và số Lucas 19

2.2 Số cân bằng Fibonacci 20

2.3 Các số cân bằng Lucas 31

Mở đầu

Một số nguyên dương n được gọi là một số cân bằng với hệ số cân bằng r nếu nó

là nghiệm của phương trình Diophant

1 + 2 + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r)

Khái niệm về số cân bằng được đưa ra và nghiên cứu đầu tiên bởi Behera và Panda[4] Sau đó rất nhiều tính chất đẹp của các số cân bằng được tìm ra bởi Panda [9], Ray[10, 11], Một số tính chất này đã được trình bày lại bằng tiếng Việt trong [1]

Kí hiệu Bn, n = 0, 1, , là số cân bằng thứ n, với quy ước B0 = 1 Khi đó các

số Bn thỏa mãn phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

8 và λ2 = 3 −√8 Trong chương 5 của tài liệu [10], Ray đãchứng minh một số quan hệ đặc biệt giữa các số cân bằng và các số vô tỷ λ1 và λ2.Mục tiêu đầu tiên của luận văn này là trình bày lại các kết quả này của Ray

Một đặc trưng quan trọng của số cân bằng Bn là 8B2

n + 1 là số chính phương Số

Cn =p8B2

n+ 1 được gọi là số Lucas-cân bằng thứ n Các số Lucas-cân bằng có liênquan chặt chẽ với các số cân bằng Cụ thể là đã có nhiều đẳng thức được tìm ra liênquan đến các số này Đặc biệt, gần đây, Ray [11] đã chứng minh được một số đẳngthức thú vị thể hiện mối quan hệ giữa các số Lucas-cân bằng và các số cân bằng Mụcđích tiếp theo của luận văn này là trình bày lại các kết quả này của Ray

Trong số các tính chất của các số cân bằng, có khá nhiều tính chất có tính tươngđồng với tính chất của các số Fibinacci và các số Lucas Một vấn đề tự nhiên đượcđặt ra: liệu có số nguyên nào vừa là số cân bằng vừa là số Fibonacci hay không? hoặc

có tồn tại số cân bằng nào mà đồng thời là số Lucas hay không? Các số như vậy lầnlượt được gọi là các số cân bằng Fibonacci và các số cân bằng Lucas Các vấn đề này

đã được Liptai trả lời hoàn chỉnh trong [7] và [8] Cụ thể, trong [7], Liptai đã chỉ rarằng chỉ có duy nhất một số cân bằng Fibonacci, đó là số 1 Bằng phương pháp chứngminh tương tự, Liptai [8] cũng chứng minh được rằng không tồn tại bất cứ số cân bằngLucas nào Mục đích cuối cùng của luận văn này là trình bày lại các câu trả lời nàycủa Liptai

Cấu trúc của luận văn

Luận văn được trình bày thành 2 chương:

• Chương 1: Số cân bằng và một số dãy số liên quan Phần đầu tiên của chươngnày chúng tôi nhắc lại về phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất, nhắclại khái niệm về số cân bằng Tiếp theo đó, chúng tôi trình bày về khái niệm và một

số tính chất của các số Lucas-cân bằng Sau đó, chúng tôi trình bày về mối quan hệgiữa các số cân bằng với các số vô tỷ λ1, λ2 Cuối cùng, chúng tôi trình bày mối quan

hệ giữa các số Lucas-cân bằng và các số cân bằng

• Chương 2: Số cân bằng Fibonacci và số cân bằng Lucas Mở đầu chương này,chúng tôi trình bày sơ lược khái niệm của các số Fibonacci và các số Lucas Tiếptheo đó chúng tôi trình bày chứng minh của Liptai về sự tồn tại duy nhất số cân bằngFibonacci Cuối cùng, chúng tôi trình bày chứng minh của Liptai về sự không tồn tại

số cân bằng Lucas

Để hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự giúp đỡ rất lớn từ thầy giáo-TSNgô Văn Định Tôi xin gửi tới thầy lời tri ân sâu sắc nhất Trong suốt quá trình làmluận văn, thầy đã dành nhiều thời gian, công sức để chỉ bảo và tận tình hướng dẫn đểtôi có thể hoàn thành đề tài Một lần nữa xin được gửi tới thầy lời cảm ơn chân thànhnhất

Đồng thời, trong quá trình học tập và nghiên cứu, tôi đã nhận được sự giúp đỡcủa các thầy cô giáo trong khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học TháiNguyên Cảm ơn các thầy cô đã tạo điều kiện trong suốt quá trình học tập vừa qua.Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, bạn bè, đồng nghiệp-nhữngngười thân đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luậnvăn.

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2016

Tác giả luận văn

Hà Thu Giang

Chương 1

Số cân bằng và một số dãy số liên quan

Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm về số cân bằng, số Lucas-cânbằng Bên cạnh đó, chúng tôi trình bày một số tính chất thú vị về mối quan hệ giữacác số cân bằng với các giá trị λ1, λ2 ; và về mối quan hệ giữa các số cân bằng và các

số Lucas-cân bằng Tài liệu chính được sử dụng trong chương này là tài liệu [11] vàChương 5 của tài liệu [10]

1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

Trước khi trình bày các nội dung chính của chương, chúng tôi nhắc lại khái niệm

về phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất và đặc biệt chúng tôi trình bày

về công thức nghiệm của phương trình này trong trường hợp đa thức đặc trưng có hainghiệm phân biệt Đây là những kiến thức cần thiết cho các nội dung sau

phân (1.1) Định lý sau đây cho chúng ta công thức nghiệm của phương trình sai phân(1.1) trong trường hợp phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt.

Định lý 1.1.2 ([6, Theorem 10.1]) Giả sử phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm

phân biệt α và β Khi đó phương trình sai phân (1.1) có nghiệm là

un = C1αn + C2βn, n= 0, 1, 2, , (1.3)

trong đó C1 và C2 là những số bất kì.

Chúng ta cũng cần chú ý rằng, nếu biết điều kiện ban đầu u0và u1thì các hằng số

C1 và C2 hoàn toàn được xác định

Ví dụ 1.1.3 Tìm nghiệm của phương trình sai phân

với điều kiện ban đầu u0 = 4, u1 = 7

Giải. Phương trình đặc trưng của phương trình (1.4) là

Giải hệ phương trình này ta được C1 = 5, C2 = −1 Vậy nghiệm của phương trình(1.4) với điều kiện ban đầu u0 = 4, u1 = 7 là

un = 5.2n− 3n, n = 0, 1,

Một cách tổng quát, phương trình sai phân (1.1) cùng với điều kiện ban đầu u0, u1xác định một dãy số {un}∞

n =0, kí hiệu bởi u(A, B, u0, u1), với

Định nghĩa 1.2.1 Số nguyên m được gọi là số cân bằng nếu

1 + 2 + · · · + (m − 1) = (m + 1) + (m + 2) + · · · + (m + r)

với r là số tự nhiên nào đó; số r được gọi là hệ số cân bằng của m

Ví dụ 6 và 35 là hai số cân bằng với hệ số lần lượt là 2 và 14 Khái niệm về số cânbằng được đưa ra năm 1999 bởi Behera và Panda [4] Sau đó, rất nhiều tính chất thú

vị của số cân bằng được Panda chứng minh trong [9] Các kết quả này của Behera vàPanda đã được trình bày lại trong luận văn của Hoàng Thị Hường [1]

Kí hiệu Bn là số cân bằng thứ n và đặt B0 = 1 Behera và Panda [4] đã chứngminh được dãy {Bn}∞

n =0 được xác định bởi phương trình sai phân

Bn +1 = 6Bn − Bn− 1, n= 1, 2, , (1.6)với điều kiện ban đầu B0 = 1, B1 = 6 Như vậy, ta có

{Bn}∞

n =0 = B(6, −1, 1, 6)

Phương trình đặc trưng của phương trình (1.6) là

Để thuận tiện cho việc trình bày, từ đây cho đến hết chương này chúng ta đặt lại chỉ

số sao cho B1 = 1 và B2 = 6 Như vậy dãy {Bn}∞

n =1 được xác định bởi phương trìnhsai phân tuyến tính cấp hai

Bn +1 = 6Bn− Bn− 1, n >2, (1.8)với điều kiện ban đầu là B1 = 1 và B2 = 6

Với chỉ số mới này, công thức Binet (1.7) cho các số cân bằng trở thành

Bn = λ

n

1 − λn 2

λ1− λ2

Định nghĩa 1.3.1 Nếu Bn là số cân bằng thứ n thì số Cn = p8B2

2 , n= 1, 2, (1.10)

Sử dụng công thức Binet (1.10) ta có thể chứng minh được các số Lucas-cân bằngđược xác định bởi phương trình sai phân tuyến tính cấp hai

Cn +1 = 6Cn − Cn− 1, n >2, (1.11)với điều kiện ban đầu là C1 = 3 và C2 = 17 Trước khi chứng minh điều này, ta chứngminh bổ đề sau đây:

Bổ đề 1.3.3 Sử dụng các kí hiệu như trên ta có

CnCn− 1 = 8BnBn− 1+ 3 (1.12)

Chứng minh. Rõ ràng ta có

λ1+ λ2 = 6, λ1− λ2 = 2√

8, λ1λ2 = 1 (1.13)Với các đẳng thức này, biến đổi từng vế của (1.12) ta có

CnCn− 1 = λ

n

1 + λn 2

8BnBn− 1+ 3 = 8λ

n

1 − λn 2

Như ở các phần trên ta đã thấy λ1 = 3 +√

8 và λ2 = 3 − √8 là hai nghiệm củaphương trình đặc trưng

λ2− 6λ + 1 = 0

Từ đó ta dễ dàng có được các hệ thức (1.13) Trong mục này, chúng ta sẽ thấy một sốtính chất thú vị đối với hai số vô tỷ này và một số mối quan hệ giữa chúng và các sốcân bằng cũng như các số Lucas-cân bằng Trước tiên chúng ta sẽ thấy rằng hai số vô

tỷ này cũng thỏa mãn một phương trình dạng hồi quy tương tự như phương trình saiphân xác định các số cân bằng

Mệnh đề 1.4.1 Với mọi số nguyên dương n ta có

λn1+1 = 6λn1 − λn−1 1 và λn2+1 = 6λn2 − λn−2 1

Chứng minh. Do λ1và λ2 là hai nghiệm của phương trình

λ2− 6λ + 1 = 0nên ta có

λ21 = 6λ1− 1và

λ22 = 6λ2− 1

Bằng cách nhân cả hai vế của các hệ thức này lần lượt với λn− 1

1 và λn− 1

2 ta thu đượcđiều cần phải chứng minh

Các định lý sau đây cho chúng ta các mối quan hệ giữa các số cân bằng với các số

vô tỷ λ1 và λ2 Mối quan hệ đầu tiên chính là công thức Binet cho các số cân bằng Ởđây ta trình bày chứng minh trực tiếp bằng phương pháp quy nạp cho công thức này

Định lý 1.4.2 Với mọi số nguyên dương n ta có

h(3 +√

8) − (3 −√8)i

= 1 = B1.Giả sử ta có

Bk +1 = 6Bk− Bk− 1

8λ

n

1 Cụ thể ta có định lýsau:

Định lý 1.4.3 Với mọi số nguyên dương n, số cân bằng Bn là số nguyên gần nhất với

Hoàn toàn tương tự, sử dụng công thức Binet của các số Lucas-cân bằng ta cóđịnh lý sau:

Định lý 1.4.5 Với mọi số nguyên dương n, số Lucas-cân bằng Cn là số nguyên gần nhất với 1

2 ⌉,

trong đó ⌈·⌉ là kí hiệu hàm trần.

Định lý sau đây cho ta chặn trên và chặn dưới của λn

1 biểu diễn bởi các số cânbằng và các số Lucas-cân bằng tương ứng

Định lý 1.4.6 Với mọi số nguyên dương n ta có

4√2Bn < λn1 <2Cn

Chứng minh. Sử dụng công thức Binet cho số cân bằng Bn ta có

Trong tài liệu [10], Ray đã chỉ ra các bất đẳng thức

4√2Bn < λn1 < Bn +1

Ở đây, chúng tôi đã chỉ ra cận trên tốt hơn (xấp xỉ hơn) cho λn

1 theo số Lucas-cânbằng

Từ các bất đẳng thức này ta thu được hệ quả sau:

Hệ quả 1.4.7 Với mọi số nguyên dương n ta có

λn−1 1 < Bn < λ

n 1

4√

2 và λ

n 1

2 < Cn <

λn1+1

8√

2.Dựa vào công thức truy hồi của các số cân bằng và các số Lucas-cân bằng ta cócác chặn khác của Bn và Cn Cụ thể ta có định lý sau đây:

Định lý 1.4.8 Với mọi số nguyên n ≥ 3 ta có

Bn +1 = 6Bn− Bn− 1

= 5Bn+ (Bn − Bn− 1)

>5Bn

Định lý 1.5.1 Với mọi n ≥ 1 đẳng thức sau là đúng:

λ1− λ2

= B4n − 6

Chứng minh. Từ (1.13) ta có

2BnCn = 2λ

n

1 − λn 2

Vì B2n = 2BnCn đẳng thức sau đúng với mọi n ≥ 1 :

Chương 2

Số cân bằng Fibonacci và số cân bằng Lucas

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày tính giao thoa của các số cân bằng vớicác số Fibonacci, cũng như với các số Lucas Trước khi trình bày nội dung chính,chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về các số Fibonacci và các số Lucas

2.1 Số Fibonacci và số Lucas

Dãy số Fibonacci và dãy số Lucas là hai dãy số nổi tiếng được xác định bởi phươngtrình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất Các tính chất của hai dãy này đã đượcnghiên cứu rất nhiều, chúng ta có thể tham khảo trong [6] Chúng tôi nhắc lại ở đâyđịnh nghĩa và số hạng tổng quát của hai dãy này

Định nghĩa 2.1.1 Dãy Fibonacci {Fn}∞

n =0 là dãy xác định bởi phương trình sai phân

Fn +1 = Fn+ Fn− 1, n= 1, 2, , (2.1)với điều kiện ban đầu F0 = 0, F1 = 1 Như vậy, theo kí hiệu ở trên ta có

2 , β =

1 −√5

2 .

Sử dụng công thức nghiệm (1.5) ta suy ra số hạng tổng quát của dãy Fibonacci là

Fn = √1

5

"

1 +√52

!n

− 1 −

√52

!n#

Định nghĩa 2.1.2 Dãy Lucas {Ln}∞

n =0 là dãy L(1, 1, 2, 1), tức là dãy được xác địnhbởi phương trình sai phân

Ln +1 = Ln+ Ln− 1, n= 1, 2, ,với điều kiện ban đầu L0 = 2, L1 = 1

Công thức (1.5) cho chúng ta số hạng tổng quát của dãy Lucas là

Ln = 1 +

√52

Để thuận tiện cho việc trình bày, từ đây ta lại quay lại việc đánh chỉ số các số cânbằng như trong phần 1.2 của chương trước Tức là dãy {Bn}∞

n =0 được xác định bởiphương trình sai phân

Bn +1 = 6Bn − Bn− 1, n= 1, 2, ,với điều kiện ban đầu B0 = 1 và B1 = 6 Nói một cách khác ta có

{Bn}∞

n =0 = B(6, −1, 1, 6)

Định nghĩa 2.2.1 Ta gọi một số cân bằng là một số cân bằng Fibonacci nếu số đó

đồng thời là một số Fibonacci

Phương trình có dạng x2 − Dy2 = N với D, N là hai số nguyên và x, y là các

biến được gọi là phương trình Pell Định lý sau đây cho ta thấy rằng mỗi số cân bằng

là nghiệm của phương trình Pell nào đó

Định lý 2.2.2 Các số hạng của dãy B(6, −1, 1, 6) là nghiệm của phương trình

với z là một số nguyên nào đó.

Chứng minh. Ở mục trên ta đã có công thức Binet cho các số cân bằng

2

= λ

n +1 1

λn2+12

Định lý 2.2.3 Phương trình

chỉ có các nghiệm là x = ±Ln, y = ±Fn(n = 0, 1, 2, ), trong đó Ln và Fn tương ứng là các số hạng thứ n của các dãy Lucas và Fibonacci.

Chứng minh. Chú ý rằng, các số Fibonacci và các số Lucas có tính chất

Fn = Fn +1− Fn− 1; Ln = Fn +1+ Fn− 1 và Fn +1Fn− 1− Fn2 = (−1)n

Với các đẳng thức trên, ta dễ thấy rằng số Fibonacci và số Lucas tương ứng thỏa mãnphương trình (2.3)

Để chứng minh chiều ngược lại, ta giả sử y là số nguyên dương bé nhất không là

số Fibonacci mà thỏa mãn phương trình (2.3) Khi đó ta có y ≤ 4, 2y < x < 3y và

xvà y có cùng tính chẵn lẻ Đặt x = y + 2t với t < y Thế vào phương trình (2.3) tađược

là số Lucas tương ứng Tuy nhiên, ta lại có

2y = t ± s = Fn ± Ln

Do Ln > Fn, n >1, nên

2y = Fn + Ln = Fn+ (Fn +1+ Fn− 1) = 2Fn +1.Điều này chứng tỏ y cũng là một số Fibonacci

Bây giờ ta sẽ trình bày chứng minh kết quả chính Chứng minh được thực hiệnthành hai bước: 1) chứng tỏ rằng có hữu hạn nghiệm chung của các phương trìnhPell (2.2) và (2.3); 2) ước lượng khoảng giá trị của nghiệm chung để có thể kiểm trathông qua việc tính toán cụ thể Trong các chứng minh các chứng minh này Liptai sửdụng định lý sau của Baker và W¨ustholz [3]

Định lý 2.2.4 Cho α1, , αn là các số đại số khác 0 và khác 1, đặt

Λ = b1log α1+ · · · + bnlog αn,

trong đó b1, , bn là các số nguyên không đồng thời bằng không.

Ta giả sử rằng B = max(|b1|, , |bk|, e) và Ai = max{H(α1), e)}, (i =

1, 2, , n), trong đó H(α) bằng giá trị lớn nhất của các giá trị tuyệt đối của các

hệ số của đa thức cực tiểu của α Giả sử rằng trường K được sinh bởi α1, α2, , αn

trên trường các số hữu tỉ có bậc cao nhất là d Nếu Λ 6= 0 thì

log |Λ| > −(16nd)2(n+2)log A1log A2 .log Anlog B

Định lý 2.2.5 Không có số cân bằng Fibonacci nào ngoại trừ số 1.

Chứng minh. Trước tiên ta chứng tỏ rằng có hữu hạn các nghiệm chung của cácphương trình

x0 >0, nhưng nếu x1 được xác định bởi

y0+ x0√

5 = (y1+ x1√

5)(9 + 4√

5)

trong đó n = 0, 1, 2, Ta tìm các nghiệm chung của các phương trình từ (2.14) với phương trình (2.15) Sử dụng các phương trình (2.9) và (2.15) và cácphương trình liên hợp của chúng ta có

(2.9)-2x = (3 +

√8)n

√

8 − (3 −

√8)n

√

3 +√5

√

5 (9 + 4

√5)m− 3 −

√5

√

5 (9 − 4√5)m

3 +√5

√

5 (9 + 4

√5)m+

(2.16)Đặt

Q = √1

8(3 +

√8)n

, P = 3 +

√5

√

5 (9 + 4

√5)m

,trong phương trình (2.16) ta có

√

5 <

0.15(9 + 4√

m < 1

5.77(16 × 3 × 4)10log 8 log 18 log 1120 log m < 1024log m

√

5 (9 − 4√5)m = (3 +

√8)n

√

8 − (3 −

√8)n

√8tức là

√5

√

5 (9 + 4

√5)−m

= (3 +

√8)n

√

8 −(3 +

√8)−n

√

8 . (2.19)Nếu ta đặt

P1 = 7 + 3

√5

√

5 (9 + 4

√5)m, Q= (3 +

√8)n

5)2m.Thay vào (2.20) ta thu được

0 < m log(9 + 4√

5) − n log(3 +√8) + log(7 + 2

√5)√8

√

5 <

0.022(9 + 4√

√

Khi đó, α3 là nghiệm của phương trình

25α43− 7520α23+ 1024 = 0,tức là A3 = 7520 Áp dụng Định lí 2.2.4 như trước ta có

m < 1

5.77(16 × 3 × 4)10log 18 log 6 log 7520 log m < 1024log m