Trong chương 5 của tài liệu [10], Ray đãchứng minh một số quan hệ đặc biệt giữa các số cân bằng và các số vô tỷ λ1 và λ2.Mục tiêu đầu tiên của luận văn này là trình bày lại các kết quả n
Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
Trước khi trình bày các nội dung chính của chương, ta nhắc lại khái niệm về phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất: u_{n+1} = A u_n + B u_{n-1}, với A và B là các hằng số, n = 1, 2, … Đây là dạng phương trình sai phân quan trọng và để tìm nghiệm của phương trình sai phân (1.1) ta xem xét phương trình đặc trưng λ^2 − Aλ − B = 0 Trong trường hợp đặc trưng có hai nghiệm phân biệt λ1 và λ2, nghiệm tổng quát của phương trình sai phân (1.1) được cho bởi u_n = c1 λ1^n + c2 λ2^n, với các hệ số c1, c2 được xác định từ điều kiện ban đầu.
Phương trình bậc hai này được coi là phương trình đặc trưng của phương trình sai phân (1.1) Đối với trường hợp phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt α và β, Định lý 1.1.2 cho biết nghiệm của phương trình sai phân (1.1) có dạng u_n = C1 α^n + C2 β^n, với n = 0,1,2, và C1, C2 là các hằng số tự do.
Chúng ta cũng cần chú ý rằng, nếu biết điều kiện ban đầuu 0 vàu 1 thì các hằng số
C 1 vàC 2 hoàn toàn được xác định.
Ví dụ 1.1.3 Tìm nghiệm của phương trình sai phân u n+1 = 5u n −6u n−1 (1.4) với điều kiện ban đầuu 0 = 4, u 1 = 7.
Giải Phương trình đặc trưng của phương trình (1.4) là λ 2 −5λ+ 6 = 0.
Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt là 2 và3 Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình (1.4) là u n =C 1 2 n +C 2 3 n , n= 0,1,
Từ điều kiện ban đầuu 0 = 4, u 1 = 7ta có hệ phương trình
Giải hệ phương trình này ta đượcC 1 = 5, C 2 = −1 Vậy nghiệm của phương trình (1.4) với điều kiện ban đầuu 0 = 4, u 1 = 7là u n = 5.2 n −3 n , n = 0,1,
Trong phạm vi tổng quát, phương trình sai phân (1.1) cùng với điều kiện ban đầu u0 và u1 xác định một dãy số {u_n}_{n≥0}, được ký hiệu là b(A, B, u0, u1) Dãy này có công thức đóng u_n = (a α^n − b β^n)/(α − β) (1.5), trong đó α và β là hai nghiệm của phương trình đặc trưng (1.2) Các tham số a và b được xác định từ điều kiện ban đầu: a = u1 − u0 β và b = u1 − u0 α Nhờ hai nghiệm α, β của phương trình đặc trưng và các tham số a, b được xác định từ u0, u1, dãy u_n được xác định cho mọi n ≥ 0.
Số cân bằng
Trong mục này chúng tôi trình bày lại khái niệm về số cân bằng, một khái niệm có nhiều tính chất thú vị được tìm ra và công bố trong các tài liệu [4], [9] và [10] Đặc biệt một số kết quả trong các tài liệu này đã được trình bày lại bằng tiếng Việt trong luận văn thạc sĩ [1] của Hoàng Thị Hường Ở đây chúng tôi không trình bày lại các kết quả này mà chỉ trình bày về khái niệm và một số đẳng thức cần thiết Định nghĩa 1.2.1 Số nguyên được gọi là số cân bằng nếu
1 + 2 +ã ã ã+ (m−1) = (m+ 1) + (m+ 2) +ã ã ã+ (m+r) vớirlà số tự nhiên nào đó; sốrđược gọi là hệ số cân bằng củam.
Ví dụ 6 và 35 là hai số cân bằng với hệ số lần lượt là 2 và 14 Khái niệm về số cân bằng được đưa ra năm 1999 bởi Behera và Panda [4] Sau đó, Panda chứng minh nhiều tính chất thú vị của số cân bằng trong các công trình [9] Các kết quả này của Behera và Panda đã được trình bày lại trong luận văn của Hoàng Thị Hường [1].
Kí hiệu B n là số cân bằng thứ n và đặt B 0 = 1 Behera và Panda [4] đã chứng minh được dãy{B n } ∞ n=0 được xác định bởi phương trình sai phân
B n+1 = 6B n −B n−1 , n= 1,2, , (1.6) với điều kiện ban đầuB 0 = 1, B 1 = 6.Như vậy, ta có
Phương trình đặc trưng của phương trình (1.6) là λ 2 −6λ+ 1 = 0.
Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt λ 1 = 3 + 2√
2. Áp dụng công thức (1.5) ta được
B n = λ n+1 1 −λ n+1 2 λ 1 −λ 2 , n= 0,1,2, (1.7)Công thức (1.7) được gọi là công thức Binet cho số cân bằng.
Số Lucas-cân bằng
Như đã trình bày ở phần trước một số nguyên dương n được gọi là một số cân bằng với hệ số cân bằngrnếu nó là nghiệm của phương trình Diophant
Kí hiệuB n là số cân bằng thứnvà với quy ước1cũng là số cân bằng ta đã thấy rằng dãy{B n }thỏa mãn điều kiện
Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai B_{n+1} = 6 B_n - B_{n-1} được áp dụng với n = 1, 2, , mô tả dãy B_n Để thuận tiện cho việc trình bày, ta đặt lại chỉ số sao cho B_1 = 1 và B_2 = 6 Như vậy dãy {B_n}_{n=1}^\infty được xác định hoàn toàn bởi phương trình hồi quy này cùng với điều kiện ban đầu đã nêu.
B n+1 = 6B n −B n−1 , n >2, (1.8) với điều kiện ban đầu làB 1 = 1vàB 2 = 6.
Với chỉ số mới này, công thức Binet (1.7) cho các số cân bằng trở thành
Behera và Panda [4] cũng đã chỉ ra rằng sốn là số cân bằng nếu và chỉ nếun 2 là số tam giác, tức làn 2 có dạng
Trong bài viết này, ta xem xét mối liên hệ giữa số cân bằng và số chính phương Với một số nguyên dương n, điều kiện 8n^2 + 1 là số chính phương được nêu rõ như một mệnh đề trong [1, Mệnh đề 1.1.1] Định nghĩa 1.3.1 cho biết nếu B_n là số cân bằng thứ n thì C_n = p, với p là một giá trị được xác định theo quy tắc nhất định; từ đó ta liên hệ các dãy B_n và C_n để rút ra các kết luận và công thức liên quan đến bài toán Điều này giúp làm rõ cách các khái niệm số cân bằng và số chính phương hỗ trợ lộ trình suy luận và ứng dụng của định nghĩa, mệnh đề và tham khảo.
8B n 2 + 1được gọi là số Lucas-cân bằngthứn.
Dựa vào định nghĩa của số Lucas-cân bằng, ta dễ dàng chứng minh được công thức Binet cho các số này Cụ thể, ta có Định lý 1.3.2 (trích từ [1, Mệnh đề 1.6.1]) Sử dụng các ký hiệu như trên, ta có thể thiết lập các mối liên hệ cần thiết để diễn giải và áp dụng công thức Binet cho số Lucas-cân bằng.
Sử dụng công thức Binet (1.10) ta có thể chứng minh được các số Lucas-cân bằng được xác định bởi phương trình sai phân tuyến tính cấp hai
C n+1 = 6C n −C n−1 , n >2, (1.11) với điều kiện ban đầu làC 1 = 3vàC 2 = 17.Trước khi chứng minh điều này, ta chứng minh bổ đề sau đây:
Bổ đề 1.3.3 Sử dụng các kí hiệu như trên ta có
Chứng minh Rõ ràng ta có λ 1 +λ 2 = 6, λ 1 −λ 2 = 2√
8, λ 1 λ 2 = 1 (1.13) Với các đẳng thức này, biến đổi từng vế của (1.12) ta có
Từ đây suy ra đẳng thức (1.12). Định lý 1.3.4 Dãy các số Lucas-cân bằng{C n }thỏa mãn phương trình sai phân
Sử dụng Bổ đề 1.3.3 ta thu được
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Một số tính chất của các số λ 1 và λ 2
Như ở các phần trên ta đã thấy λ 1 = 3 +√
8là hai nghiệm của phương trình đặc trưng λ 2 −6λ+ 1 = 0.
Qua đó ta dễ dàng có được các hệ thức (1.13) Phần này trình bày một số tính chất thú vị của hai số vô tỷ và mối quan hệ của chúng với các số cân bằng cũng như các số Lucas-cân bằng Đầu tiên, hai số vô tỷ này thỏa mãn một phương trình hồi quy có cấu trúc tương tự như phương trình sai phân định nghĩa các số cân bằng Các quan hệ này giúp khái quát cách các số vô tỷ liên hệ với chu trình số học của các số cân bằng và Lucas-cân bằng, đồng thời gợi ý các công thức tổng quát cho các hệ thức giữa chúng.
Mệnh đề 1.4.1 Với mọi số nguyên dươngnta có λ n+1 1 = 6λ n 1 −λ n−1 1 vàλ n+1 2 = 6λ n 2 −λ n−1 2
Chứng minh Doλ 1 vàλ 2 là hai nghiệm của phương trình λ 2 −6λ+ 1 = 0 nên ta có λ 2 1 = 6λ 1 −1 và λ 2 2 = 6λ 2 −1.
Bằng cách nhân cả hai vế của các hệ thức này lần lượt vớiλ n−1 1 vàλ n−1 2 ta thu được điều cần phải chứng minh.
Các định lý trình bày các mối quan hệ giữa số cân bằng và hai số vô tỷ λ1 và λ2 Mối quan hệ nổi bật đầu tiên là công thức Binet dành cho số cân bằng, và phần này được chứng minh trực tiếp bằng phương pháp quy nạp để làm sáng tỏ tính đúng đắn của công thức này Định lý 1.4.2 khẳng định rằng với mọi số nguyên dương n, ta có một quan hệ cụ thể giữa các số cân bằng và các số vô tỷ λ1, λ2, từ đó làm rõ cấu trúc và tính chất của dãy số cân bằng.
Chứng minh Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp Vớin= 1ta có
8(λ i 1 −λ i 2 ), với mọii = 1,2, , k Khi đó ta có
Vậy theo nguyên lý quy nạp định lý hoàn toàn được chứng minh.
Ta thấy rằng 0 < λ 2 < 0,1716 Do đó, khin càng lớn thì λ n 2 càng tiến dần về 0. Điều này chứng tỏ rằng giá trị củaB n xấp xỉ với giá trị 1
8λ n 1 Cụ thể ta có định lý sau: Định lý 1.4.3 Với mọi số nguyên dươngn, số cân bằngB n là số nguyên gần nhất với
Chứng minh Theo công thức Binet ta có
2 với mọi số nguyên dươngnnên ta suy ra B n là số nguyên gần nhất với 1
8λ n 1 Đặc biệt khin đủ lớn thìB n rất gần với 1
Nhận xét 1.4.4 Theo định lý trênB n là số nguyên gần nhất với 1
8λ n 1 c,trong đúbãclà kớ hiệu hàm sàn.
Hoàn toàn tương tự, khi áp dụng công thức Binet cho các số Lucas cân bằng, ta có Định lý 1.4.5: với mọi số nguyên dương n, số Lucas cân bằng C_n là số nguyên gần nhất với 1.
Định lý 1.4.6 cho ta chặn trên và chặn dưới của λ_n−1 được biểu diễn bằng các số cân bằng và các số Lucas-cân bằng tương ứng Với mọi số nguyên dương n, định lý khẳng định rằng λ_n−1 nằm trong một khoảng giới hạn do các số cân bằng và Lucas‑cân bằng xác định, từ đó người đọc có thể ước lượng nhanh chóng và chính xác các giá trị liên quan.
Chứng minh Sử dụng công thức Binet cho số cân bằngB n ta có
8λ n 2 là số dương nên ta suy ra
Bây giờ sử dụng công thức Binet cho số Lucas-cân bằngC n ta có
2 dương nên ta suy ra λ n 1 0, nhưng nếux 1 được xác định bởi y 0 +x 0 √
5, ta có y 0 = 9y 1 + 20x 1 và x 0 = 9x 1 + 4y 1 Từ các phương trình trước, ta có x 1 9x 0 −4y 0 vàx 0 ≤ 4y 0
9 Sử dụng phương trình (2.4) ta có y 2 0 −4 = 5x 2 0 ≤ 80
Do đó lần lượt ta cóy 0 = 3,7,18vàx 0 = 1,3,8.Như vậy, nghiệm tổng quát của (2.4) là y +x
Thực hiện tương tự đối với phương trình (2.5), ta có y 1 = 9y 0 −20x 0 ≤ 0(trong trường hợp nàyx 0 luôn dương), vày 0 2 = 5x 2 0 −4≤ 400
81 x 2 0 Suy rax 0 = 1,2,5tương ứngy 0 = 1,4,11.Do đó, nghiệm tổng quát của (2.5) là y +x√
Nghiệm tổng quát của (2.6) là z+√ 8x= (3 +√
8) n (2.15) trong đó n = 0,1,2, Ta tìm các nghiệm chung của các phương trình từ (2.9)- (2.14) với phương trình (2.15) Sử dụng các phương trình (2.9) và (2.15) và các phương trình liên hợp của chúng ta có
5) m , trong phương trình (2.16) ta có
P −Q QP và dóP > 1vàQ > 1ta cóQ < P Do đó,P −Q = 4
5) 2m Áp dụng các bất đẳng thức ở trước và theo định nghĩa củaP vàQ,ta có
5) 2m (2.18) Áp dụng Định lí 2.2.4 vớin = 3và α1 = 9 + 4
5) −2 ) −m < e −5.77 Các phương trình được thỏa mãn với α 1 , α 2 , α 3 là α 2 1 −18α 1 + 1 = 0, α 2 2 −6α 2 + 1 = 0, 25α 2 3 −1120α 2 3 + 1024 = 0.
Từ đóA 1 = 18, A 2 = 1120vàd= 4.Áp dụng Định lí 2.2.4 và các bất đẳng thức phía trước ta có m < 1
5.77(16×3×4) 10 log 8 log 18 log 1120 logm