Giải đề thi KHẢO SÁT HÀM SỐ (Fullbox)

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số... Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=4x+2.. Xác định m đ

ĐỀ THI ĐẠI HỌC: KHẢO SÁT HÀM SỐ

-

1) (ĐH A-2002) Cho hàm số: y= - +x3 3mx2+3(1-m x m2) + 3-m 2

a Tìm k để phương trình - +x3 3x2+k3-3k2 =0 có 3 nghiệm phân biệt

b Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Bài giải: TXĐ: D R=

a) Cách 1: Ta có - +x3 3x2+k3-3k2 = Û - +0 x3 3x= - +k3 3k

Đặt a= - +k3 3k Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình - +x3 3x a có 3 nghiệm phân =

biệt

3

2 2

î

k

- < <

ì

î

Cách 2: Ta có: - +x3 3x2+k3-3k2 = Û0 (x k x- )éë 2+(k-3)x k+ 2-3kùû=0

có 3 nghiệm phân biệtÛ g x( )=x2+(k-3)x k+ 2-3k =0 có 2 nghiệm phân biệt khác k

2

k k k k k

Δ

ì = - + + > ì- < <

ï

y = - x + mx+ -m = - x-m +

2

1 0

1

x m y

x m

= -é

/

y đổi dấu khi qua x và 1 x2 Þ Hàm số đạt cực trị tại x và 1 x 2

y = y x = -m + m- và ( ) 2

y =y x = -m + m+

2

2

2

y x m m

Δ = + - = > " Þ = có 2 nghiệm x1 ¹x2 và /

y đổi dấu khi qua x và 1

2

x Þ Hàm số đạt cực trị tại x và 1 x 2

m

y=æçè x- ö é÷ ëø - x + mx+ -m ùû+ x-m +m

y =y x = x -m +m và ( ) 2

y = y x = x -m +m

2

y= x-m +m

2) (ĐH B-2002) Tìm m để hàm số y mx= 4+(m2-9)x2+10 có 3 điểm cực trị

Bài giải: TXĐ: D R=

Ta có: y/ =4mx3+2(m2-9)x=2 2x mx( 2+m2-9 )

Ta có: /

0 0

= é

ë

x y

Hàm số có 3 điểm cực trị Û Phương trình /

0

y = có 3 nghiệm phân biệt (khi đó /

y đổi dấu khi qua các nghiệm) Û Phương trình 2mx2+m2- =9 0 có 2 nghiệm phân biệt 0¹

2

0

2

¹ ì ï

-= ïî

m

x

m

2

< -é

-> Û ê < <

ë

m m

m m

Vậy các giá trị m cần tìm là mÎ -¥ - È( ; 3) ( )0 3;

2

1

m

m x m

C y

x

-=

a Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )1

:

1

-=

-x

C y

x với hai trục toạ độ

b Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y x =

Bài giải: TXĐ: D R= \ 1{ }

a) Diện tích cần tìm là

0

3

ln4

1 4

3

1

m x m

F x

x

-=

- Yêu cầu bài toán tương đương với tìm m để hệ phương

trình sau có nghiệm:

( )

/ /

/

( )

( )

2 2

2

0 0

-=

-î

î

(I)

Ta thấy " ¹m 1;x =m luôn thỏa mãn hệ (I) Vì vậy với " ¹m 1, hệ (I) luôn có nghiệm, đồng thời khi m=1 hệ (I) vô nghiệm Do đó, đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y x= khi chỉ khi

1

m¹

Kết luận: m¹1 là yêu cầu bài toán

4) (Đề dự bị 2002) Xác định m để đồ thị hàm số y=x4-mx2+ -m 1 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

5) (Đề dự bị 2002) Cho hàm số:

2 2 2

=

-x x m y

x

a Xác định m để hàm số nghịch biến trên đoạn [-1;0]

b Tìm a để phương trình sau có nghiệm: 91 + - 1t2 - +(a 2)31 + - 1t2 +2a+ =1 0

6) (Đề dự bị 2002) Cho hàm số 1 3 2 1

-y x mx x m

2

=

m Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=4x+2

b Tìm m thuộc khoảng 0;5

6

è ø sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và

các đường x=0, x=2, y=0 có diện tích bằng 4

3

-y x m x

a Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x=0

b Tìm k để hệ phương trình sau có nghiệm:

3

3 2

ì - - - <

ï í

ï î

log x log x

8) (Đề dự bị 2002) Tìm m để đồ thị hàm số

2

1

+

=

-x mx y

x có cực đại, cực tiểu Với giá trị

nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng 10 ?

9) (Đề dự bị 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

1

3

y x x x và trục hoành

10) (ĐH A-2003) Tìm m để đồ thị hàm số

2

1

+ +

=

-mx x m y

x cắt trục hoành tại hai điểm phân

biệt và hai điểm đó có hoành độ dương

Bài giải: TXĐ: D R= \ 1{ }

Đồ thị hàm số

2

1

+ +

=

-mx x m y

x cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương

Û Phương trình g x( )=mx2+ + =x m 0 có 2 nghiệm dương phân biệt 1¹

2

0 0

1

1 2

1

0 0

m m

m S

m

m m

P

m

Δ

ì

ï

¹ ì

ï ¹

ï ï

ï

= >

ï

î

Vậy các giá trị m cần tìm là: 1 0

- < <

11) (ĐH B-2003) Tìm m để đồ thị hàm số y=x3-3x2+m có hai điểm phân biệt đối xứng

nhau qua gốc toạ độ

Đồ thị hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ

Û tồn tại x0 ¹0 sao cho y x( )0 = - -y( x0)

x - x + = - -m é x - -x +mù

Û tồn tại x0 ¹0 sao cho 2

0

Û m>0

Kết luận: Các giá trị m cần tìm là: 1 0

- < <

12) (ĐH D-2003) Tìm m để đường thẳng d m: y mx= + -2 2m cắt đồ thị

2

=

-x x y

hai điểm phân biệt

Bài giải: TXĐ: D R= \ 2{ }

Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt m

2

x

Û - - = có 2 nghiệm phân biệt khác 2Û - > Ûm 1 0 m>1

Kết luận: Các giá trị m cần tìm là: m>1

13) (Đề dự bị 2003)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

2

-=

-x x y

x

b Tìm m để phương trình 2x2-4x- +3 2m x- =1 0 có hai nghiệm phân biệt

14) (Đề dự bị 2003) Tìm m để hàm số

=

+

y

khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

15) (Đề dự bị 2003) Tìm m để đồ thị hàm số y=(x-1)(x2+mx m cắt trục hoành tại 3 + ) điểm phân biệt

16) (Đề dự bị 2003) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C): 2 1

1

-=

-x y

điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM

17) (Đề dự bị 2003) Tìm m để hàm số

3

=

+

x x m y

x đồng biến trên khoảng (1;+¥)

18) (Đề dự bị 2003) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm k M(0; 1)- và có hệ số góc bằng k

Tìm k để đường thẳng d cắt (C): k y=2x3-3x2-1 tại 3 điểm phân biệt

19) (ĐH A-2004) Tìm m để đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số =

-=

-x x y

điểm A, B sao cho AB=1

Bài giải: TXĐ: D R= \ 1{ }

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng y m là: =

2

2

-x x

x

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khi chỉ khi

Δ > Û - - > Û > Ú <

-Với điều kiện (**), đường thẳng y m cắt đồ thị tại 2 điểm A, B phân biệt có hoành độ ,= x1 x 2

là nghiệm của (*)

AB= Û x -x = Û x -x = Û x +x - x x =

2

2

m

m

-= ê ê

= êë

thỏa mãn (**)

Kết luận: Các giá trị m cần tìm là: 1 5

2

m=

2

m= +

20) (ĐH B-2004) Viết phương trình tiếp tuyến D của (C) 1 3 2

3

y x x x tại điểm uốn

và chứng minh rằng D là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

Bài giải: TXĐ: D R=

Tại điểm uốn 2;2

3

Uæ ö

è ø, tiếp tuyến của (C) có hệ số góc

/( )2 1

y = -

y= - x- + Û = - +y x

Hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm bất kỳ có hoành độ x bằng:

y x =x - x+ = x- - ³ - Þ y x ³y "x

Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi x=2 (là hoành độ điểm uốn)

Do đó, tiếp tuyến D của (C) tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất

21) (ĐH D-2004) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số y x= 3-3mx2+9x+1 thuộc

đường thẳng y x= +1

Bài giải:

Ta có: y/ =3x2-6mx+9; y// =6x-6m

// = Û = Þ = -0 2 3+9 +1

//

y đổi dấu từ âm sang dương khi qua m nên điểm uốn của (C) là ( ; 3 )

U m - m + m+

0

2

= é ê

ê = -ë

m

m

22) (Đề dự bị 2004) Tìm m để đồ thị hàm số

2

1

=

-x mx y

Chứng minh rằng khi đó đường thẳng AB song song với đường thẳng 2x y- -10 0=

23) (Đề dự bị 2004) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y x= + 1

x , biết tiếp tuyến đi qua

điểm M( 1;7)-

24) (ĐH A-2005) Tìm m để hàm số y mx= +1

x có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu

của đồ thị đến tiệm cận xiên của đồ thị bằng 1

2

Bài giải: TXĐ: D R= \ 0{ }

Ta có: y/ m 12; y/ 0

x

= - = có nghiệm khi chỉ khi m>0

Lúc đó: /

1 2

1 0

1

x

m y

x

m

é = -ê ê

= Û

ê = êë

Xét dấu /

y :

Hàm số luôn có cực trị với mọi m>0

Điểm cực tiểu của (C) là M 1 ;2 m

m

tiệm cận xiên của (C)

2

25) (ĐH B-2005) Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (C):

1

=

+

y

luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20

Bài giải: TXĐ: D R= \{ }-1

Ta có:

/

2

= Þ = + é

-ë

Xét dấu /

y :

Đồ thị hàm số luôn có điểm cực đại là M(-2;m-3) và điểm cực tiểu là N(0;m+1)

:

m

m

Tìm m để tiếp tuyến của ( )C tại M song song với đường thẳng 5 m x y- =0

Bài giải:

y =x -mx Điểm thuộc ( )C có hoành độ m x= -1 là 1;

2

m

Mæ- - ö

m

- 0 1

/

y + 0 - - 0 +

/

y + 0 - - 0 +

Do // :5 0 hay ( 5 ) 1 5 4

m

m

+ = ì

Kết luận: Vậy m=4 là y.c.b.t

27) (Đề dự bị 2005) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M( 1;0)- và tiếp xúc với

đồ thị (C):

2

1 1

+ +

= +

x x y

x

28) (Đề dự bị 2005) Tìm m để đồ thị ( ): = 2+2 + -1 3 2

-m

C y

về hai phía của trục tung

29) (Đề dự bị 2005) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của

2

( ) :

1

=

+

x x

C y

x

Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua điểm I

30) (Đề dự bị 2005)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y x= 4-6x2+5

b Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 4 2

2

x - x - m=

31) (ĐH A-2006)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=2x3-9x2+12x-4

b Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 3 2

2 x -9x +12 x =m

Bài giải: TXĐ: D R=

Phương trình đã cho tương đương với 2 x3-9x2+12 x - = -4 m 4

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số:

Từ đồ thị của hàm số đã cho suy ra đồ thị

Từ đồ thị suy ra phương trình đã cho có

6 nghiệmÛ < - < Û < <0 m 4 1 4 m 5

32) (ĐH B-2006) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

2

1 ( ) :

2

+

-= +

x x

C y

đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C)

Bài giải: TXĐ: D R= \{ }-2

Tiệm cận xiên của (C) là y= -x 1, nên tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên có hệ số góc là 1

k= -

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình

2 2

2 2

x

y x

x

x

é

= - + ê

ê

ê +

= -êë

x= - + Þ =y - Þ Phương trình tiếp tuyến là d1:y= - +x 2 2-5

x= - - Þ = -y - Þ Phương trình tiếp tuyến là d1:y= - -x 2 2-5

33) (ĐH D-2006) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm (3;20) A và có hệ số góc là m Tìm

m để đường thẳng d cắt đồ thị (C): 3

y=x - x+ tại 3 điểm phân biệt

Bài giải: TXĐ: D R=

Phương trình đường thẳng d là: y=m x( - +3) 20

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là:

x - x+ =m x- + Û x- x + x+ -m =

Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt ( ) 2

nghiệm phân biệt khác 3

4

24

m

m

ì

34) (Đề dự bị 2006)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2

( ) :

1

=

+

x x

C y

x

b Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình sau có hai nghiệm

dương phân biệt: x2+2x+ =5 (m2+2m+5)(x+1)

35) (Đề dự bị 2006) Viết phương trình các đường thẳng đi qua (0;2)A và tiếp xúc với đồ

2

36) (Đề dự bị 2006) Tìm trên đồ thị

3

đối xứng nhau qua trục tung

37) (Đề dự bị 2006) Cho điểm M x y thuộc đồ thị (C): 0( ; )0 0 3

1

+

=

-x y

x Tiếp tuyến của (C)

tại M cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B CMR: 0 M là trung điểm AB 0

38) (Đề dự bị 2006) Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C):

1

-= +

x x y

tiếp tuyến đi qua điểm (0; 5)A -

39) (Đề dự bị 2006)Tìm các giá trị của m để đồ thị

(C):y x= 3+ -(1 2 )m x2+ -(2 m x m) + +2 có cực đại, điểm cực tiểu đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1

40) (ĐH A-2007)Tìm m để hàm số:

2

=

+

y

tiểu,đồng thời các điểm cực trị của hàm số cùng với gốc toạ độ O tạo thành 1 tam giác vuông tại O

Bài giải: TXĐ: D R= \{ }-2

Ta có:

2

2

y

x

-=

-/

( )

2

2

0

m

m

ìD = - + >

ï

ïî

Gọi A, B là các điểm cực trị Þ A(- -2 m;-2 ) (, B - +2 m;4m-2)

Do OA= - -( 2 m;- ¹2) 0 , OB= - +( 2 m m;4 -2) ¹0 nên O, A, B tạo thành 1 tam giác vuông

4 2 6

m

m

é = - +

= -êë

 

thỏa mãn m¹0

Kết luận: Vậy các giá trị m cần tìm là m= - +4 2 6 ; m= - +4 2 6

41) (ĐH B-2007) Tìm m để hàm số:y= - +x3 3x2+3(m2-1)x-3m3-1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị cách đều gốc toạ độ O

Bài giải: TXĐ: D R=

1 2

1 2

m

m

é = ê

ê = -êë

thỏa mãn m¹0

Kết luận: Vậy các giá trị m cần tìm là 1; 1

m= m=

1

=

-x y

x , biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt

các trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 1

4

Bài giải: TXĐ: D R= \ 1{ }

( )( )

/

2 0

o

Từ giả thiết ta có:

2 0

0

0

1

2

1

o

o

x

é

ê

2

2

Mæ- - ö

Với x0 =1 ta có M( )1 1;

Kết luận: Có 2 điểm M thỏa yêu cầu bài toán là 1; 2

2

Mæ- - ö

è ø và M( )1 1;

43) (Đề dự bị 2007) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị

hàm số (C):

2

2

=

-x x y

44) (Đề dự bị 2007) Tìm m để đồ thị ( ):

2

= + +

-m

m

C y x m

x có cực trị tại các điểm A, B

sao cho đường thẳng AB đi qua gốc toạ độ

45) (Đề dự bị 2007) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) :C y= -2x3+6x2-5, biết tiếp tuyến của (C) đi qua ( 1; 13)A - -

46) (Đề dự bị 2007) Tìm m để đồ thị ( ): 1

2

= - + +

-m

m

x có cực đại tại A sao cho tiếp

tuyến với ( )C tại A cắt trục Oy tại B mà tam giác OBA vuông cân m

47) (Đề dự bị 2007) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) : 1

- +

= +

x

C y

x , biết tiếp tuyến của

(C) đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox

48) (Đề dự bị 2007) Viết phương trình tiếp tuyến d của ( ) :

1

=

-x

C y

x , sao cho d và hai

đường tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân

49) (ĐH A-2008) Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị

(C):

3

-=

+

y

0

45

Bài giải:

TXĐ: D= R\{-3m}

2

m= Þ =y x- đồ thị không có tiệm cận

Với

1 3 0

m m

ì ¹

ï

í

ï ¹

î

ta có do lim

3

x m+y

®- = +¥ và lim ( 2) 0

x y mx

®+¥éë - - ùû = nên đồ thị có tiệm cận đứng x= -3mÛd1:x+3m=0 và tiệm cận xiên y=mx- Û2 d2:mx- - =y 2 0

Ta có d1 có 1 vectơ pháp là n1=( )1 0; và d2 có 1 vectơ pháp là n2 =(m;-1)

1 2

1 2

d d

n n

2

1 2

1 2

1

m m

m m

= é

Kết luận: Vậy các giá trị m cần tìm là m=1 ; m= -1

50) (ĐH B-2008) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) :C y=4x3-6x2+1, biết tiếp tuyến của (C) đi qua ( 1; 9)A - -

Bài giải: TXĐ: D R=

Đường thẳng D với hệ số góc k đi qua ( 1; 9) A - - có phương trình: y=kx+ -k 9

D là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

2

12 12 (2)

-ï í

ïî

x x k

Thay (2) vào (1) ta được phương trình:

1

4

x

x

= -é ê

ê = ë

Với x= - Þ =1 k 24, phương trình tiếp tuyến là y=24x+15

x= Þ =k , phương trình tiếp tuyến là 15 21

y= x-

Kết luận: Vậy các tiếp tuyến cần tìm là y=24x+15 và 15 21

y= x-

51) (ĐH D-2008) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm (1;2)I với hệ số góc ( > -3)

k k đều cắt đồ thị ( ) :C y x= 3-3x2+4 tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I

là trung điểm của đoạn thẳng AB

Bài giải: TXĐ: D R=

Ta thấy IÎ( )C Đường thẳng d với hệ số góc ( k k > -3) đi qua (1;2)I có phương trình:

2

y=kx- +k

Hoành độ giao điểm của (C) và d là nghiệm của phương trình:

2

1

= é

ë

x

x x k

Do k> -3 nên phương trình (*) có biệt thức /

D = + > và x=1 không là nghiệm

của (*) Suy ra d luôn cắt (C) tại 3 điểm phân biệt I x y( I; I) (, A x A;y A) (, B x B;y B) với x A; x B

là nghiệm của (*)

52) (Đề dự bị A- 2008) Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):

53) (Đề dự bị A- 2008) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx – 9 tiếp xúc

với đồ thị hàm số (1):y = x 4 -8x 2 +7

54) (Đề dự bị B- 2008) Tìm các giá trị m để hàm số (C): y=x3-3x2-3 (m m+2)x-1 có hai cực trị cùng dấu

55) (Đề dự bị B- 2008) Tìm các giá trị của m để hàm số (C):

2

2

-=

+

y

x

đồng biến trên từng khoảng xác định

56) (Đề dự bị D- 2008) Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến

1

+

= +

x y

x tại điểm M(–2 ;5)

+

= +

x y

x , biết tiếp tuyến

đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O

Bài giải: TXĐ: \ 3

2

D R= ì- ü

Tam giác OAB vuông cân tại O, suy ra hệ số góc tiếp tuyến bằng 1±

2

0 2

0

1

1 v« nghiÖm

1

x x

-é

= -ê

+ êë

Với x0 = -1 , y0 =1; phương trình tiếp tuyến là y= -x (loại) Với x0 = -2 , y0 =0; phương trình tiếp tuyến là y= - -x 2 (thỏa mãn) Kết luận: Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y= - -x 2

58) (ĐH B-2009) Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số(C): y=2x4 – 4x2 Với các giá trị nào của m, phương trình 2 2

2

- =

x x m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?

Bài giải: TXĐ: D R=

x x m x x m Phương trình có đúng 6 nghiệm thực phân biệt khi

và chỉ khi đường thẳng y=2m Ox// cắt đồ thị hàm số 4 2

=

y x x tại 6 điểm phân biệt

Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán được thỏa

Û < < Û < <