Hãy xác định khoảng tăng giảm, điểm cực đại cực tiểu của hàm số 3 f x = ×x e− Hãy tìm phương trình của tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số x y x + = biết rằng mỗi một trong các tiếp
Trang 1CHUYÊN ĐỀ: KHẢO SÁT HÀM VÀ BÀI TOÁN PHỤ
1 khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1 1
1
y x
x
= + +
− (C)
Tìm những điểm trên (C) có hoành độ >1 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất
2 y x= +3 3x2+mx m+
Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị với m=0
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm nghịch biến trên đoạn có độ dài 1
3
1
x x
y
x
− +
=
− Khảo sát và vẽ đồ thị
Tìm tất cả những điểm M trên đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ M tới hai đường tiệm cận là nhỏ nhất
4 y= f x( )=mx3+3mx2−(m−1)x−1
a xác định giá trị của m để y=f(x) không có cực trị
b khảo sát vẽ đồ thị khi m=1
c với giá trị nào của a thì BPT sau có nghiệm x3+3x2− ≤1 a( x− x−1)3
5
( 1)
y
x m
− + + − −
=
− −
a khảo sát vẽ đồ thị khi m=2
b tìm m để hàm số xác định đồng biến trên (0;+∞)
6 Cho hàm số y x= +3 ax2−4
a khảo sát vẽ đồ thị với a=3
b tìm giá trị của tham số để phương trình x3+ax2− =4 0 có nghiệm duy nhất
7 khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2
1
x x y
x
+ +
=
+
Gọi I là tâm đối xứng của (C) và M∈( )C tiếp tuyến tại M với (C) cắt hai đường tiệm cận tại A,B CMR M là trung điểm của đoạn AB và diện tích tam giac IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên (C)
8 khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
x x y
x
− +
=
−
Biện luận số nghiệm của phương trình x2−6x+ =5 k| 2x−1|
9 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 44
1
x y x
= +
Tìm giá trị của m để BPT mx4−4x m+ ≥0 nghiệm đúng với mọi x
10 Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x= −3 6x2+9x−1
Từ một điểm x bất kỳ trên đường thẳng x=2 ta có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số
đã cho
11 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x= 4−2x2+1
Với những giá trị nào của m thì phương trình 4 2
4
|x −2x − =1| log m có 6 nghiệm phân biệt
y= x −mx − +x m
a CMR m∀ hàm số luân có cực đại cực tiểu Đồng thời CMR hoành độ cực đại và cực tiểu luân trái dấu
Trang 2Chuyên đề ksh & btp PHẠM HẢI SƠN THPT GIA PHÙ – SƠN LA
4x −3x= 1−x có bao nhiêu nghiệm ?
13 Cho
3
2
3
x
y= + m− x + m− x−
a Xác định m để hàm số đồng biến trên (0;3)
b Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị khi m=0
c Chứng tỏ đồ thị khảo sát ở mục b, nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
14 Hãy xác định khoảng tăng giảm, điểm cực đại cực tiểu của hàm số 3
f x = ×x e−
Hãy tìm phương trình của tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số
x y x
+
= biết rằng mỗi một trong các tiếp tuyến đó cùng với các trục tọa độ giới hạn một tam giác có diện tích 1
2
15 cho hàm số
1
x x y
x
+ +
= +
a khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm số đã cho
b tìm trên đồ thị hàm số đã cho các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó của đồ thị vuông góc với tiệm cận xiên của nó
16 Cho hàm số y x= + −3 x 1 (C)
a khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b Gọi x là một nghiệm của pt: 0 3
1 0
x + + =x CMR x0− <x0 0
c Từ (C) hãy vẽ đồ thị y=|x3|+ −x 1
17
2
1
x
y
x
=
+
a khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
b Tìm trên đồ thị 2 điểm phân biệt đối xứng nhau qua đường thẳng y = x+1
18 Cho hàm số y= f x( )=x4+2mx2+m
a khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hs khi m = -1
b tìm tất cả các giá trị của m để hàm số f(x)>0 với mọi x Với các giá trị của m tìm được ở trên, CMR F x( )= f x( )+ f x'( )+ f x''( )+ f x'''( )+ f(4)( ) 0x > với mọi x
19.a khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị (C) của hàm số 3 3
1
y x
x
= − + +
−
Từ đó suy ra đồ thị hàm số
| 1|
x x y
x
− +
=
−
b Chứng minh rằng đường thẳng y=2x m+ luân cắt (C) tại hai điểm có hoành độ x x Tìm giá 1; 2
trị của m sao cho d =(x1−x2)2 dạt giá trị bé nhất
20 cho hàm số
2
x x y
x
+ +
= +
a khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b tìm các giá trị của m để đường thẳng (d ): m y mx= + −2 m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
thuộc cùng một nhánh của (C)
21 a khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số 2 1
2
x y x
+
= +
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (H), trục hoành và đường thẳng x = 1
Trang 3b tỡm những giỏ trị của t để phương trỡnh 2sin 1
x t
x + = + cú đỳng hai nghiệm thuộc đoạn [ ]0,π
22 Cho hàm số
2
1
x kx k y
x k
+ + −
=
+ − (1)
a khảo sỏt và vẽ đồ thị với k = 0
b CMR với mọi k≠2, đồ thị hàm số (1) luụn tiếp xỳc với một đường thẳng cố định tại một điểm
cố định
c xỏc định k để hàm số (1) đồng biến trờn khoảng (1,+∞)
1
mx m y
x m
+ −
= + −
1 với m = 2
a khảo sỏt vẽ đồ thị hs;
b tỡm trờn đồ thị những điểm cú tổng khoảng cỏch tới hai tiệm cận nhỏ nhất
2 CMR ∀ ≠m 1đồ thị hàm số luõn tiếp xỳc với một đường thẳng cố định
24 Cho hàm số y= − +x4 2mx2−2m+1 cú đồ thị (C ) m
a khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b chứng minh rằng (C luụn luụn đi qua hai điểm cố định A,B khi m thay đổi m)
c tỡm m để cỏc tiếp tuyến với đồ thị (C tại A và tại B vuụng gúc với nhau m)
25 Cho hàm số
2
1
x x y
x
+ +
= + (1)
a khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số
b tỡm những điểm trờn trục tung sao cho từ đú cú thể kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) và hai tiếp tuyến đú vuụng gúc với nhau
c tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị bộ nhất của biểu thức:
2
2cos | cos | 1
| cos | 1
A
x
=
+
26 khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (G) của hàm số y x= +3 3x2−9x+3
CMR trong số mọi tiếp tuyến của (G) thỡ tiếp tuyến tại điểm uốn cú hệ số gúc nhỏ nhất
27 khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số 3 2
y x= − x + x
Xỏc định tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để đường thẳng cú phương trỡnh y = mx cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phõn biệt: O(0,0); A và B chứng tỏ rằng khi m thay đổi trung điểm I của đoạn AB luụn nằm trờn một đường thẳng song song Oy
28: Cho h/s y = − + x3 3 x m 2 + 3(1 − m2)x + m3 − m2 (1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s (1) khi m = 1
b) Tìm k để phơng trình : − + x3 3x2 + k3 − 3 k2 = 0 có ba ngh phân biệt
29: Cho h/s y = m x4 + ( m2 − 9)x2 + 10 (1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s (1) khi m = 1
b) Tìm m để h/s (1) có 3 điểm cực trị ?
30: Cho h/s
2
y
x 1
m − − m
=
− (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị của h/s (1) khi m = -1
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và 2 trục tọa độ
c) Tìm m để đồ thị h/s (1) tiếp xúc với đờng thẳng y = x ?
Trang 4Chuyờn đề ksh & btp PHẠM HẢI SƠN THPT GIA PHÙ – SƠN LA
31: Cho h/s
2
y
x 1
m + + m
=
− (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s (1) khi m = -1
b) Tìm m để đồ thị h/s (1) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dơng
32: Cho h/s y x = 3 − 3x2 + m (1)
a) Tìm m để đồ thị h/s (1) có 2 điểm phân biệt đx với nhau qua gốc tọa độ
b) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s (1) khi m = 2
33: a) Khảo sát h/s
2
y
x 2
=
− (1) b) Tìm m để đờng thẳng dm : y = mx + 2 – 2m cắt đồ thị h/s (1) tại 2 điểm phân biệt ?
34: Cho h/s
2
y
2(x 1)
=
− (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị của h/s (1)
b) Tìm m để đờng thẳng d : y = m cắt đồ thị h/s (1) tại 2 điểm A, B sao cho AB = 1
3
= − + (1) có đồ thị (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s (1)
b) Viết phơng trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm uốn và CMR : ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất
36: Cho h/s y x = 3 − 3 x m 2 + 9x 1 + (1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s (1) khi m = 2
b) Tìm m để điểm uốn của đồ thị h/s (1) thuộc đờng thẳng y = x + 1
37: Gọi (Cm) là đồ thị h/s 1
x
m
= (*)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của h/s (*) khi m = 1
4
b) Tìm m để h/s (*) có cực trị và k/c từ ĐCTiểu của (Cm) đến TCXiên (Cm) bằng 1
2
38: Gọi (Cm) là đồ thị h/s
2
y
x+1
m
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của h/s (*) khi m = 1
b) CMR : Với ∀ m đồ thị (Cm) luôn có ĐCĐ, ĐCT và k/c giữa 2 điểm đó bằng 20
39: Gọi (Cm) là đồ thị h/s 1 3 2 1
m
Trang 5a) Khảo sát và vẽ đồ thị của h/s (*) khi m = 2
b) Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đt: y = 5x
40: a)Khảo sát h/s y 2x = 3 − 9x2 + 12x 4 −
b) Tìm m để phơng trình : 2 x3 − 9x2 + 12 x = m có 6 nghiệm phân biệt
41: Cho h/s
2
y
x+2
+ −
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó vuông góc với TCXiên của (C)
42: Cho h/s y x = 3 − 3x 2 +
a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s
b)Gọi d là đờng thẳng qua A(3 ; 20) có hệ số góc k Tìm k để đờng thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ?
43: Cho h/s
x 2( +1)x + m + 4m y
x + 2
m
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của h/s (1) khi m = - 1
b) Tim m để đồ thị của h/s (1)có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O
44: Cho h/s y = − + x3 3 x2 + 3( m2 − 1) x − 3 m2 − 1 (1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của h/s (1) khi m = 1
b) Tim m để đồ thị của h/s (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cách
đều gốc tọa độ O
45: Cho h/s 2x
y
x+1
= a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến tại M cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm A, B và OAB có diện tích bằng 1
4
y x= + mx + m − x m+ − m
a khảo sỏt sự biến thiờn vẽ đồ thị hàm số ứng với m = 0
b chứng minh rằng với mọi m hàm số đó cho luụn cú cực đại và cực tiểu; đồng thời chứng minh rằng khi m thay đổi cỏc điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số luụn luụn chạy trờn hai đường thẳng cố định
47 Cho hàm số 1
1
x y x
+
=
−
a khảo sỏt sự biến thiờn , vẽ đồ thị hàm số đó cho
Trang 6Chuyên đề ksh & btp PHẠM HẢI SƠN THPT GIA PHÙ – SƠN LA
b tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm ấy chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị ở phần a
48 Cho hàm số
1
x x y
x
+ +
=
+
a khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b tìm điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ điểm đó đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ điểm đó tới trục tung
49 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y x= −3 3x2
Gọi ( )V là đường thẳng qua O và có hệ số góc k Với những giá trị nào của k thì ( )V cắt (C) tại ba điểm phân biệt A,B,O? tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB khi k thay đổi
50 Cho hàm số
2
1
mx x m y
mx
+ +
=
+ (1)
a tìm tất cả các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (0,+∞)
b khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m=1
c tìm số tiếp tuyến có thể có với đồ thị (C) đi qua mỗi điểm của đồ thị (C)
51 Cho hàm số ( ) 3 3 2
2
f x = +x x
a tìm cực trị của hàm số f(x); xét tính lồi lõm của đường cong y = f(x)
b viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = f(x) song song với đường thẳng y = kx
c tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa đường thẳng y = kx và tiếp tuyến nói trên khi k ≤0,5
y= − +x m− x − m−
a xác định tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành một cấp
số cộng
b gọi (C) là đồ thị khi m = 0 Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó cỏ thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị (C)
53 Cho hàm số 1
1
x y x
+
=
−
a khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b.Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến với đồ thị đều lập với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi
c tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đường tiệm cận một tam giác
có chu vi bé nhất
54 Cho hàm số f x( )= −x3 ax
a khảo sát vẽ đồ thị hàm số với a = 3 gọi đồ thị này là (G) viết phương trình của parabol qua điểm ( 3,0)
A − ; ( 3;0)B và tiếp xúc với (G)
b với những giá trị nào của x thì tồn tại t ≠x sao cho f(x)=f(t)
55 Cho hàm số y x= −3 3x
a khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm số đã cho
b sử dụng đồ thị ở phần a, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y= −sin 3x−3sin3x
56 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)của hàm số: y=3x−4x3
Từ đó suy ra đồ thị hàm số y=| | (3 4 )x − x2
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua A(1,3)
57 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 2
y x= − x −
Khi a thay đổi hãy biện luận số nghiệm của phương trình 3 2
|x −3x − =6 | a
Trang 758 Cho hàm số
1
x x y
x
+ −
=
−
a khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b tìm m để đường thẳng y= − +x m cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt khi đó chứng minh rằng hai
giao điểm cùng thuộc một nhánh của đồ thị
c tìm những điểm trên đồ thị mà tọa độ của chúng đều là số nguyên
59 Cho hàm số
2
x x y
x
+ +
= +
a khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b tìm trên (C) những điểm có tọa độ là số nguyên
c biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình 2
e + −m e + −m =
60 Cho hàm số y x 1
x
= + (C)
a khảo sát vẽ đồ thị (C)
b tìm những điểm trên trục hoành mà từ đó ta có thể kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau
61 Cho hàm số ( ) 1
1
x
y f x
x
+
−
a khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số
b gọi (d) là đường thẳng có phương trình: 2x y m− + =0 CMR (d) luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt A,B trên hai nhánh của (H)
c xác định m để đoạn thẳng AB ngắn nhất
62 cho hàm số
1
x mx m y
x
+ − −
=
+
a khảo sát vẽ đồ thị khi m = -1
b CMR họ (C luôn đi qua một điểm cố định m)
c tìm m để (C có cực trị, xác định tập hợp các điểm cực trị m)
63 Cho hàm số y x= 4−5x2+4
a khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b tìm điều kiên của tham số m để dường thẳng y = m cắt đồ thị (C) của hàm số tại 4 điểm phân biệt
c tìm m sao cho đồ thị (C) của hàm số chắn đường thẳng y = m ba đoạn có độ dài bằng nhau
64 Cho hàm số
1
m x m mx y
mx
=
+ (1)
a khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên với m = -2
b CMR với mọi m≠0, hs (1) luôn có cực đại cực tiểu
c CMR với mọi m≠0, tiệm cận xiên của đồ thị (1) luôn tiếp xúc với một parabol cố định Tìm phương trình của parabol đó
65 Cho hàm số y x= +3 mx2− −m 1
a viết pt tiếp tuyến tại các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m
tìm quỹ tích giao điểm của các tiếp tuyến đó khi m tahy đổi
b khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = -3
c hãy xác định tất cả các giá trị của a để điểm cực đại và cực tiểu của (C) ở hai phía khác nhau của
x +y − ax− ay+ a − =
66 Cho hàm số
1
1 2 ) 2 3 ( 2
−
− + + +
=
x
m x m x
1 Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) khi m = 0
Trang 8Chuyên đề ksh & btp PHẠM HẢI SƠN THPT GIA PHÙ – SƠN LA
2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa
độ một tam giác có diện tích bằng 2
67 Cho họ đường cong (Cm) y = (m + 3)x3 - 3(m + 3)x2 - (6m + 1)x + m + 1
a Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) khi m = -2
b Chứng minh rằng (Cm) luôn luôn qua ba điểm cố định phân biệt thẳng hàng
68 Cho hàm số y = x4 + 2mx2 +3m – 2 ( Cm )
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số khi m = 1
2 Tìm m để đồ thị ( Cm ) có điểm cực đại ,điểm cực tiểu ,đồng thời tam giác có các đỉnh là các điểm cực trị của ( Cm ) là tam giác vuông
……… tạm thế thôi………